第三章 3.1 3.1.3 第2课时
请同学们认真完成
[练案23]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( )
A．－15
B．－13
C．－5
D．5
2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)3．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A．
B．
C．
D．
5．设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为( )
A．(－∞，－2]∪(0,2]
B．[－2,0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,0)∪(0,2]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)在R上是奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，
f(x)＝2x2，则f(7)等于____.
7．f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围为____.
8．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)的图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为____.
三、解答题(共20分)
9．(6分)已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
10．(7分)已知函数f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求满足f(x－1)<0的x的取值范围．
11．(7分)已知函数f(x)＝，且f(1)＝2.
(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性；
(2)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
(3)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
2．已知定义在R上的函数满足f(－x)＝f(x)，且在(0，＋∞)上为增函数，若f(m)>f(n)，则必有( )
A．m>n
B．mC．|m|<|n|
D．m2>n2
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝f(|x|)
B．y＝f(x2)
C．y＝x·f(x)
D．y＝f(x)＋x
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)＞f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－3)＞f(－1)
B．f(0)＜f(5)
C．f(－1)＜f(3)
D．f(2)＞f(0)
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，且f(x＋2)为偶函数，则f，f，f(1)的大小关系为___.
6．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则b＝____，f(x－1)≥f(3)的解集为____.
四、解答题(共10分)
7．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：
①对于任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f()；
②f(x)在(－1,1)是单调递增函数，且f()＝1.
(1)求f(0)；
(2)证明：f(x)为奇函数；
(3)解不等式f(2x－1)<1.
第三章 3.1 3.1.3 第2课时
请同学们认真完成
[练案23]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( A )
A．－15
B．－13
C．－5
D．5
解析：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值．因为函数在[3,6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故选A．
2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( D )
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)3．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为( B )
A．
B．
C．
D．
解析：∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－)＝0，
∴当x∈(－∞，－)∪(0，)时，f(x)＞0，
当x∈(－，0)∪(，＋∞)时，f(x)＜0.
若xf(x)＞0，则x与f(x)同号，则x∈(－，0)∪(0，)．
4．已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( B )
A．
B．
C．
D．
解析：由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)，所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.故选B．
5．设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为( C )
A．(－∞，－2]∪(0,2]
B．[－2,0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,0)∪(0,2]
解析：∵在(0，＋∞)上，<0，
∴>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为奇函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f(2)＝0，则f(－2)＝0，示意图如图所示．
∴＝＝－≤0，
∴≥0，∴x≥2或x≤－2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)在R上是奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，
f(x)＝2x2，则f(7)等于__－2__.
解析：∵x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2.
又∵x∈R,
f(x＋4)＝f(x)，
∴f(－3＋4)＝f(－3)＝f(1)＝2，
∴f(3)＝－2.
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝－2.
7．f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围为__a<3__.
解析：∵f(2－a)＋f(4－a)<0，
∴f(2－a)<－f(4－a)．
又∵f(x)为奇函数，
∴－f(4－a)＝f(a－4)，
∴f(2－a)又∵f(x)是单调递减函数，
∴2－a>a－4，∴a<3.
8．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)的图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为__(－3,0)∪(0,3)__.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴x[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0.
∴x与f(x)异号，由题图及f(x)图像关于原点对称知，－3三、解答题(共20分)
9．(6分)已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，
∴g(－1)＝.
又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．
∴g(1)＝－g(－1)＝－.
∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－)＋1＝－6.
10．(7分)已知函数f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求满足f(x－1)<0的x的取值范围．
解析：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即f(x)＝－x－1(x<0)，
∴f(x)＝.
∴f(x－1)＝.
当x≥1时，由f(x－1)＝x－2<0，得x<2，
∴1≤x<2；
当x<1时，由f(x－1)＝－x<0，得x>0，
∴0综上可知，满足f(x－1)<0的x的取值范围为{x|011．(7分)已知函数f(x)＝，且f(1)＝2.
(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性；
(2)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
(3)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值．
解析：(1)由题意知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数．证明如下：
∵f(x)＝x＋，f(1)＝1＋a＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x＋.
又f(－x)＝－x－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)且1∵1＜x1＜x2，∴x2－x1>0，x1x2>1，<1,1－>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
(3)∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴在区间[2,5]上，f(x)min＝f(2)＝2＋＝，f(x)max＝f(5)＝5＋＝.
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( D )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解析：∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝1，
由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．
2．已知定义在R上的函数满足f(－x)＝f(x)，且在(0，＋∞)上为增函数，若f(m)>f(n)，则必有( D )
A．m>n
B．mC．|m|<|n|
D．m2>n2
解析：由f(－x)＝f(x)知，函数为偶函数，所以f(|m|)>f(|n|)．又函数在(0，＋∞)上为增函数，所以|m|>|n|，即m2>n2.故选D．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是( ABC )
A．y＝f(|x|)
B．y＝f(x2)
C．y＝x·f(x)
D．y＝f(x)＋x
解析：∵f(x)的定义域为R，又∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴A是偶函数；令F(x)＝f(x2)，则F(－x)＝f(x2)＝F(x)，
∴F(x)是偶函数，即B是偶函数；
令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，
∴M(x)是偶函数，即C是偶函数；
令N(x)＝f(x)＋x，
则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x
＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，
∴N(x)是奇函数，即D是奇函数，故选ABC．
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)＞f(1)，则下列各式中一定成立的是( AC )
A．f(－3)＞f(－1)
B．f(0)＜f(5)
C．f(－1)＜f(3)
D．f(2)＞f(0)
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，f(3)＞f(1)，所以f(－3)＞f(－1)，f(3)＞f(－1)都成立．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，且f(x＋2)为偶函数，则f，f，f(1)的大小关系为__f＜f(1)＜f()__.
解析：∵f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
即f(x)＝f(4－x)，
∴f＝f＝f，f＝f＝f.
又∵＜1＜，f(x)在(0,2)上是增函数，
∴f＜f(1)＜f.即f＜f(1)＜f.
6．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则b＝__3__，f(x－1)≥f(3)的解集为__{x|－2≤x≤4}__.
解析：f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
所以－2b＋3＋b＝0，所以b＝3，
所以f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，
且在[－6,0]上为增函数，所以f(x)在[0,6]上为减函数，
所以由f(x－1)≥f(3)得：
解得－2≤x≤4，所以f(x－1)≥f(3)的解集为：{x|－2≤x≤4}．
四、解答题(共10分)
7．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：
①对于任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f()；
②f(x)在(－1,1)是单调递增函数，且f()＝1.
(1)求f(0)；
(2)证明：f(x)为奇函数；
(3)解不等式f(2x－1)<1.
解析：(1)令x＝y＝0，则
f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)在(－1,1)上是单调递增函数，f()＝1，
∴f(2x－1)<1＝f()可化为，
解得0∴不等式f(2x－1)<1的解集为{x|01．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)、f(－π)、f(3)的大小关系是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(－π)D．f(－π)2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
3．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)____f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)
4．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝___.
第三章 3.1 3.1.3 第2课时
1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)、f(－π)、f(3)的大小关系是( A )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(－π)D．f(－π)解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
∴f(2)即f(－π)>f(3)>f(－2)．
2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( A )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
解析：∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x2)＝f(x2)3．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)__≥__f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)
解析：由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．
∵a2≥0，∴a2＋4≥4.
又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．
4．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝__0__.
解析：由奇函数定义知f(－x)＝－f(x)，
∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，
∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.
