第三章 3.2 第1课时
1．函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A．(－1,0)，(3,0)
B．x＝－1
C．x＝3
D．－1和3
2．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A．
B．
C．
D．
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是____.
4．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有____个．
第三章 3.2 第1课时
1．函数y＝x2－2x－3的零点是( D )
A．(－1,0)，(3,0)
B．x＝－1
C．x＝3
D．－1和3
解析：令x2－2x－3＝0得(x－3)(x＋1)＝0，所以x1＝－1，x2＝3.
2．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数，所以与之相对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像恒在x轴下方，则有
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是__(1,3)__.
解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，
所以1＜x＜3.
4．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有__2__个．
[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上的图像与x轴只有一个交点，
又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上的图像与x轴也只有一个交点，
即f(－2)＝0，
∴f(x)有2个零点．第三章 3.2 第1课时
请同学们认真完成
[练案24]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若函数f(x)＝mx2＋8mx＋21，当f(x)<0时，－7A．1
B．2
C．3
D．4
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－
B．0，
C．0,2
D．2，－
4．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是( )
A．f(－1)
B．f(1)
C．f(2)
D．f(5)
5．函数f(x)＝x－－2的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝2x－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝____.
7．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点个数为____.
8．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是____.
三、解答题(共20分)
9．(6分)函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．
10．(7分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,3)，它的图像的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
11．(7分)若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a的取值集合．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )
A．(－3,0)
B．[－3,0)
C．[－3,0]
D．[－1,0]
2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1
010个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1
010
B．1
011
C．2
020
D．2
021
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列图像对应的函数中有零点的是( )
4．若关于x的方程＝kx有三个不等零点，则实数k可取值为( )
A．
B．
C．
D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．观察下图函数y＝f(x)的图像，填空：
当x∈____时，f(x)＝0；
当x∈____时，f(x)＞0.
当x∈____时，f(x)＜0.
6．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是____.
四、解答题(共10分)
7．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(t＋1)x＋(t－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，t＝2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意t∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
第三章 3.2 第1课时
请同学们认真完成
[练案24]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，
∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
2．若函数f(x)＝mx2＋8mx＋21，当f(x)<0时，－7A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意知，方程mx2＋8mx＋21＝0的两个根分别为－7，－1，所以＝(－7)×(－1)＝7，所以m＝3.
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( A )
A．0，－
B．0，
C．0,2
D．2，－
解析：∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
4．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是( B )
A．f(－1)
B．f(1)
C．f(2)
D．f(5)
解析：由f(2＋t)＝f(2－t)知，抛物线对称轴为x＝2，若a＞0，则f(2)最小；若a＜0，则f(－1)与f(5)最小．
5．函数f(x)＝x－－2的零点个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：根据题意，对于函数f(x)＝x－－2，其对应的方程为x－－2＝0，令t＝，则有t≥0，有t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍去)，则x＝4，即方程x－－2＝0有一个根4，则函数f(x)＝x－－2有1个零点．故选B．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝2x－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝__6__.
解析：f(x)＝2x－ax＋3有一个零点为1，则2×1－a×1＋3＝0，即a＝5，所以f(x)＝2x－5x＋3＝－3x＋3，故f(－1)＝6.
7．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点个数为__2__.
解析：令函数g(x)＝f(x)－2＝0，则f(x)＝2.
当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；
当x>1时，令x2＝2，解得x＝或x＝－(舍去)，
所以函数g(x)的零点为x＝或x＝，
所以函数g(x)＝f(x)－2有两个零点．
8．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是__(0,4)__.
解析：由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图像(如图)，则由图像可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
三、解答题(共20分)
9．(6分)函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．
[解析] f(x)的顶点(－，－)在直线x＝2上，
∴k＝－4，
由x2－4x－32＝0，得f(x)的零点为－4和8.
10．(7分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,3)，它的图像的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－＝2，∴－＝4.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－)2－＝16－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
11．(7分)若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a的取值集合．
[解析]
①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．
∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，
∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝.
综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝}．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( C )
A．(－3,0)
B．[－3,0)
C．[－3,0]
D．[－1,0]
[解析] 当m＝0时，x＝－<0成立，排除选项A、B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，
两根为x1＝0，x2＝－，也符合题设．
2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1
010个，则f(x)的零点的个数为( D )
A．1
010
B．1
011
C．2
020
D．2
021
解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1
010个零点，
∴在(－∞，0)内也有1
010个零点．
又∵f(0)＝0，∴共有2
020＋1＝2
021(个)零点．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列图像对应的函数中有零点的是( BCD )
[解析] 因为函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标，因此，若函数图像与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图像，可知A中的图像对应的函数没有零点．B、C、D有零点．
4．若关于x的方程＝kx有三个不等零点，则实数k可取值为( ACD )
A．
B．
C．
D．
解析：由题意可知k≠0，
∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|，
当x≥0时，kx2－2kx＝x，
解得x＝0或x＝，
∴>0，∴k>0或k<－.
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝，
∴<0，∴0综上可知，k的取值范围是(0，)．故选ACD．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．观察下图函数y＝f(x)的图像，填空：
当x∈__{－2,2,3}__时，f(x)＝0；
当x∈__(－∞，－2)∪(3，＋∞)__时，f(x)＞0.
当x∈__(－2,2)∪(2,3)__时，f(x)＜0.
解析：根据图像知，f(x)＝0的解集是：{－2,2,3}．
f(x)＞0的解集是：(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
f(x)＜0的解集是：(－2,2)∪(2,3)．
6．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是__(－∞，1]__.
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1，当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
四、解答题(共10分)
7．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(t＋1)x＋(t－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，t＝2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意t∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，t＝2时，由f(x1)＝x1得x＋3x1＋1＝x1，解得x1＝－1.
∴f(x)的不动点为－1.
(2)∵f(x)恒有两个相异不动点，
∴方程ax2＋(t＋1)x＋(t－1)＝x恒有两不等根，
即方程ax2＋tx＋(t－1)＝0有两不等根．
∴对于一切t∈R恒成立，
∴Δ2＝16a2－16a＜0，解得0＜a＜1，
∴实数a的取值范围是(0,1)．
