高一数学参考答案 2021.07
一、单项选择题：每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
A
D
C
B
二、多项选择题：每小题5分，共20分．
题号
9
10
11
12
答案
AD
BCD
AB
ACD
三、填空题：每小题5分，共20分．
题号
13
14
15
16
答案
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，
所以平面，
………………3分
而平面平面，平面，
所以. ………………5分
（Ⅱ）因为平面，平面，所以，
因为四棱锥的底面是正方形，所以，
而与相交，
所以平面， ………………8分
又平面，
所以平面平面. ………………10分
17.（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，
所以平面，
………………3分
而平面平面，平面，
所以. ………………5分
（Ⅱ）因为平面，平面，所以，
因为四棱锥的底面是正方形，所以，
而与相交，
所以平面， ………………8分
又平面，
所以平面平面. ………………10分
18.（本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
， ………………2分
因为的最小值为，所以的最小正周期，解得.…4分
所以，由， ……………5分
得（），
所以的单调递减区间为（）.
……………6分
（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），
得，再向左平移个单位，得，………8分
设，因为，所以， ………………10分
由正弦函数图像可知，所以. ………………12分
18.（本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
， ………………2分
因为的最小值为，所以的最小正周期，解得.…4分
所以，由， ……………5分
得（），
所以的单调递减区间为（）.
……………6分
（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），
得，再向左平移个单位，得，………8分
设，因为，所以， ………………10分
由正弦函数图像可知，所以. ………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：结论：（或）.…2分
证明如下：
……………4分
.
……………6分
（Ⅱ）等式右边，
…………………7分
……………8分
……………10分
，
由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立.
……………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：结论：（或）.…2分
证明如下：
……………4分
.
……………6分
（Ⅱ）等式右边，
…………………7分
……………8分
……………10分
，
由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立.
……………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由可知，，从而
……………………1分
， ………………………2分
因为，所以，
因为，，解得， …………4分
所以. …………6分
（Ⅱ）因为，所以，
以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
………………7分
由为（异于，）上一点，从而设，
则，， ………………9分
所以，，
……………………10分
因此，
因此，与的夹角为. ……………………12分
21.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取中点并连接，
因为是的中点，所以，…………1分
因为是的中点，所以，…………2分
所以，所以四边形为平行四边形，
所以， ……………………3分
因为平面，平面，
所以平面.（也可取中点，利用面面平行证）…………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）连接，因为，，是的中点，
所以，所以，所以，
同理可得，所以， ……………………5分
因为，所以二面角的平面角为，……………6分
又，所以平面，
因为平面，所以， ……………………7分
因为直三棱柱，所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，因为平面，所以，………8分
易求，
在中可求，.……………9分
（ⅱ）因为平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， ………10分
设点到平面的距离为，
因为，所以， ……………………11分
即，解得，
所以直线到平面的距离为.
……………………12分
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知，四边形为矩形,记交水面于点，
过作，垂足为.
在中，，
所以，
所以,
在中，，
从而浸入水中部分的长度为.
……………………4分
（Ⅱ）由题意可知，四边形为等腰梯形，过作，为垂足.
在中，，,所以，
所以.
……………………6分
在中，设，
易知，
所以，
，
由正弦定理可知，
，即，
所以，
……………………8分
由于为锐角，所以，
所以
，
……………10分
记与交于，过作，垂足为.
在中，,
从而浸入水中部分的长度为.
……………………12分
高一答案第1页（共5页）威海市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.角为
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.已知向量，且，则
A.
B.
C.
D.
3.已知，则
A.
B.
C.
D.
4.如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为
A.
B.
C.
D.
5.在中，内角所对的边分别为，已知，，，则
A.
B.
C.
D.
6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
7.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线.
已知正三棱锥，侧棱长为，底面边长为，设球为其外接球，则球对应的球面上经过,两点的测地线长为
A.
B.
C.
D.
8.在正方体中，分别为的中点，为底面 上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是
A.
B.若，则，，，四点共线
C.任意向量，
D.若向量，满足，则，共线
10.下列等式正确的是
A.
B.
C.
D.
11.已知正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，高为，则
A.该四棱台的侧棱长为
B.二面角的大小为
C.该四棱台的体积为
D.与所成角的余弦值为
12.将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上的最高点和最低点此时的空间距离为，则
A.为函数的一个周期
B.函数的图像关于直线对称
C.函数在上单调递增
D.方程在上有两个实根，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设向量，为单位正交基底，若，，且，则_______.
14.在中，已知，若，则的面积为________.
15.现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为cm，底面半径为cm，从底面圆周上一点，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为_______cm.
16.在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边.
已知角的终边在直线上，则________；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________.（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知四棱锥的底面是正方形，平面.
（Ⅰ）设平面平面，求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面.
18.（本小题满分12分）
已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为.
（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的值域.
19.（本小题满分12分）
某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：
①
②
③
（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：.
20.
（本小题满分12分）
已知菱形的边长为，为对角线（异于）上一点.
（Ⅰ）如图1，若，，设，.
试用基底表示，并求；
（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角.
图1 图2
21.（本小题满分12分）
在直三棱柱中，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，.
（ⅰ）求二面角的正切值；
（ⅱ）求直线到平面的距离.
22.（本小题满分12分）
如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为cm，容器甲的底面直径的长为cm，容器乙的两底面直径，的长分别为cm和cm.
分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为cm.
现有一根玻璃棒，其长度为cm.（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；
（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度.
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