2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 《2.4解直角三角形》同步专题提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步专题提升训练（附答案）
1．下列条件中，不能确定一个直角三角形大小的条件是（　　）
A．已知两条直角边
B．已知一条直角边和斜边
C．已知一边和一个锐角
D．已知两个锐角
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝α，BD是斜边AC上的高，那么（　　）
A．AC＝BC?sinα
B．AC＝AB?cosα
C．BC＝AC?tanα
D．BD＝CD?cotα
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB边上的高为h，那么AB的长等于（　　）
A．h?sinα?cosα
B．
C．
D．
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B为锐角且sinB＝，则∠C的正弦值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，一个底角的余弦值为，那么这个等腰三角形的底边长等于（　　）
A．12
B．16
C．
D．
6．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则tanC的值是（　　）
A．
B．
C．
D．以上都不是
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB＝c，∠A＝α，则CD长为（　　）
A．c?sin2α
B．c?cos2α
C．c?sinα?tanα
D．c?sinα?cosα
8．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（　　）
A．点C1处
B．点C2处
C．点C3处
D．点C4处
9．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tanB＝　
　．
10．在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝θ，AC＝b，则AB＝　
　（用b和θ的三角比表示）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是　
　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝　
　．
13．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为　
　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上一点，DC＝2BD，连接AD，那么cot∠DAC＝　
　．
16．如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，那么cot15°＝cotD＝＝2+．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是　
　．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣cosB|+的值．
18．如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，，
求：（1）DC的长；
（2）sinB的值．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求cot∠BAD的值．
20．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
参考答案
1．解：A、已知两条直角边的长度，可以确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意；
B、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意．
C、已知一边和一个锐角，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意；
D、已知两个锐角，若两个锐角的和不等于90°，则不能确定一个直角三角形；故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：如图所示，
在△ABC中，∠A＝α，
A、sinα＝，
∴AC＝，故本选项错误；
B、cosα＝，
∴AC＝，
故本选项错误；
C、sinα＝，
∴BC＝ACsinα，故本选项错误；
D、∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠C+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝∠A＝α，
在△DBC中，cotα＝，
∴BD＝DCcotα，故本选项正确；
故选：D．
3．解：如图，在Rt△ACD中，sinα＝，
∴AC＝＝，
在Rt△ABC中，cosα＝，
∴AB＝＝＝．
故选：D．
4．解：过点A作AD⊥BC，
∵sinB＝，
∴＝，
∵AB＝5，
∴AD＝3，
∴BD＝＝4，
∵BC＝6，
∴CD＝2，
∴AC＝＝，
∴sinC＝＝＝，
故选：C．
5．解：如图所示，在直角三角形ABD中，AB＝AC＝10，cosB＝．
过点A作AD⊥BC于D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
在直角三角形ABD中，∠ADB＝90°，
∴cosB＝＝，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
则BC＝2BD＝12．
故选：A．
6．解：设AD＝x，
在RT△ABD中可得：BD＝，
在RT△ADC中可得：CD＝，
又∵BC＝4，
∴BC＝+＝4，
解得x＝，
∴CD＝
在RT△ADC中可求得：tanC＝＝．
结合选项可得A、B、C都不对．
故选：D．
7．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，∠A＝α，
sinα＝，BC＝c?sinα，
∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝α，
在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，
cos∠DCB＝，
CD＝BC?cosα＝c?sinα?cosα，
故选：D．
8．解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．
∵AB＝5，△ABC的面积为10，
∴CD＝4．
∵sinA＝，
∴AC＝4，
∴AD＝＝8，
∴点C在点C4处．
故选：D．
9．解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，
∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB＝＝＝2．
故答案是：2．
10．解：在△ABC中，∠A＝90°，BC为斜边，
∴AB＝AC?cot∠B＝b?cotθ．
11．解：如图，过点B作BD⊥AC于D，设AH＝BC＝2x，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝x，
根据勾股定理得，AC＝＝＝x，
S△ABC＝BC?AH＝AC?BD，
即?2x?2x＝?x?BD，
解得BD＝x，
所以，sin∠BAC＝＝＝．
故答案为：．
12．解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，
∴BE＝4，
∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，
∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，
∴设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴4＝16x2+9x2，
解得：x＝，
则CD＝．
故答案是：．
13．解：由图可得，
AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝，
故答案为：．
14．解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
15．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
设BD＝x，则DC＝2x，
∴BC＝3x，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝x，DE＝CE＝CD＝x，
则AE＝AC﹣CE＝x，
∴cot∠DAC＝＝＝，
故答案为：．
16．解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D，
∵∠ABC＝∠BAD+∠D，
∴∠D＝∠ABC＝22.5°，
设AC＝t，则BC＝t，AB＝t，
∴CD＝BC+BD＝t+t＝（+1）t，
在Rt△ADC中，cotD＝＝＝+1，
∴cot22.5°＝+1．
故答案为+1．
17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴；；；，
∴原式＝＝．
18．解：（1）在直角△ACD中，＝，
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
（2）在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB＝2，
∴sinB＝＝＝．
19．解：（1）设AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，BC＝4x，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
∴4x＝2x+4，
解得x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴cot∠BAD＝＝＝，
即cot∠BAD的值是．
20．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC＝，
∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．