《第三章 勾股定理》单元测试题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 《第三章 勾股定理》单元测试题 （含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-03 18:32:37 | ||
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文档简介
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《第三章 勾股定理》单元测试题
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.3，0.4，0.5 B.32，42，52 C.3，4，5 D.，，
2.满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A.三角形的三边长满足关系a＋b＝c B.三角形的三边长之比为2:3:4
C.三角形的三边长分别为5、12、13 D.三角形的一边长等于另一边长的一半
3.如图所示，分别以直角△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，若S2＝7，S3＝2，则S1＝（ ）
A.9 B.5 C.45 D.53
4.四个边长分别为a，b，c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得（ ）
A.（a＋b）2＝c2 B.（a-b）2＝c2 C.a2＋b2＝c2 D.a2-b2＝c2
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC的长为直径的圆恰好过点B.若AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A.100π-24 B.100π-48 C.25π-24 D.25π-48
6.如图所示，有一长方形空地ABCD，如果AB＝6米，AD＝8米，那么要从A走到C，至少要走（ ）
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
7.如图所示，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
8.如图所示，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC＝5，BC＝10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A.1.8 B.2.5 C.3 D.3.75
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC:AC＝3:4，则BC＝__________.
10.如图所示，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝__________.
11.如图所示，在高为3米，坡面长度AB为5米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯__________米.
12.如图所示，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为_________.
13.已知直角三角形的三边长分别为6、8、x，则以x为边长的正方形的面积为_________.
14.如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝__________.
三、解答题（共52分）
15.（8分）已知，如图所示，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求BC的长.
16.（8分）甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了避免走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米，如图所示，上午8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走（OA方向），1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进（OB方向），上午10:00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
17.（8分）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心.如图所示，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶.
（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
18.（8分）如图所示，在长方形ABCD中，DC＝9，在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若△ABF的面积是54，求DE的长.
19.（10分）观察下列勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.
请根据你发现的规律，回答下列问题:
（1）当a＝19时，求b，c的值；
（2）当a＝2n＋1时，求b，c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是不是一组勾股数，并说明理由.
20.（10分）如图所示，对任意符合条件的Rt△BAC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到△EAD，所以∠BAE＝90°，连接BE，延长DE、BC，交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D
二、填空题
9. 9 10. 12 11. 7 12. 96 cm2 13. 100或28 14. 1.4
三、解答题
15.解析:∵AD2＋BD2＝144＋25＝169，AB2＝169，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，∴CD＝9，∴BC＝CD＋BD＝9＋5＝14.
16.解析 甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了12千米，即OA＝12千米.
乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5千米.
在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169，∴AB＝13千米，
因此，上午10:00，甲、乙两人相距13千米.
∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系.
答:上午10:00，甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系.
17.解析（1）村庄A能听到宣传，
理由:∵村庄A到公路MN的距离AB为800米＜1000米，
∴村庄A能听到宣传.
（2）如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A开始听到宣传，行驶到Q点时，村庄A听不到宣传，则AP＝AQ＝1000米，又∵AB＝800米，
∴BP2＝BQ2＝10002-8002＝6002，∴BP＝BQ＝600米，PQ＝1200米，
∴村庄A总共听到宣传的时间为1200÷300＝4分钟，
∴村庄A总共能听到4分钟的宣传.
18.解析 因为AB·BF＝54，DC＝AB＝9，,所以BF＝12.
所以AF2＝92＋122＝225，∴AF＝15.
所以BC＝AD＝AF＝15，所以CF＝BC-BF＝15-12＝3.
设DE＝x，则CE＝9-x，EF＝DE＝x.
则x2＝（9-x）2＋32，所以x＝5.
所以DE的长为5.
19.解析 （1）观察给出的勾股数得，斜边长与较长直角边长的差是1，即c-b＝1.
∵a＝19，a2＋b2＝c2，∴192＋b2＝（b＋1）2，
∴b＝180，∴c＝181.
（2）由（1）知c-b＝1，∵a＝2n＋1，∴（2n＋1）2＋b2＝c2，
∴c2-b2＝（2n＋1）2，即（c＋b）（c-b）＝（2n＋1）2，
∴b＋c＝（2n＋1）2，又c＝b＋1，∴2b＋1＝（2n＋1）2，
∴b＝2n2＋2n，∴c＝2n2＋2n＋1.
（3）15，111，112不是一组勾股数.
理由:由（2）知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数，
当2n＋1＝15时，n＝7，但2n2＋2n＝2×72＋2×7＝112≠111，2n2＋2n＋1＝113≠112，∴15，111，112不是一组勾股数.
20.解析 由题图可得正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD＝S△BAE＋S△BFE，
∴b2＝c2＋，整理，得a2＋b2＝c2.
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《第三章 勾股定理》单元测试题
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.3，0.4，0.5 B.32，42，52 C.3，4，5 D.，，
2.满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A.三角形的三边长满足关系a＋b＝c B.三角形的三边长之比为2:3:4
C.三角形的三边长分别为5、12、13 D.三角形的一边长等于另一边长的一半
3.如图所示，分别以直角△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，若S2＝7，S3＝2，则S1＝（ ）
A.9 B.5 C.45 D.53
4.四个边长分别为a，b，c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得（ ）
A.（a＋b）2＝c2 B.（a-b）2＝c2 C.a2＋b2＝c2 D.a2-b2＝c2
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC的长为直径的圆恰好过点B.若AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A.100π-24 B.100π-48 C.25π-24 D.25π-48
6.如图所示，有一长方形空地ABCD，如果AB＝6米，AD＝8米，那么要从A走到C，至少要走（ ）
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
7.如图所示，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
8.如图所示，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC＝5，BC＝10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A.1.8 B.2.5 C.3 D.3.75
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC:AC＝3:4，则BC＝__________.
10.如图所示，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝__________.
11.如图所示，在高为3米，坡面长度AB为5米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯__________米.
12.如图所示，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为_________.
13.已知直角三角形的三边长分别为6、8、x，则以x为边长的正方形的面积为_________.
14.如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝__________.
三、解答题（共52分）
15.（8分）已知，如图所示，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求BC的长.
16.（8分）甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了避免走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米，如图所示，上午8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走（OA方向），1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进（OB方向），上午10:00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
17.（8分）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心.如图所示，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶.
（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
18.（8分）如图所示，在长方形ABCD中，DC＝9，在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若△ABF的面积是54，求DE的长.
19.（10分）观察下列勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.
请根据你发现的规律，回答下列问题:
（1）当a＝19时，求b，c的值；
（2）当a＝2n＋1时，求b，c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是不是一组勾股数，并说明理由.
20.（10分）如图所示，对任意符合条件的Rt△BAC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到△EAD，所以∠BAE＝90°，连接BE，延长DE、BC，交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D
二、填空题
9. 9 10. 12 11. 7 12. 96 cm2 13. 100或28 14. 1.4
三、解答题
15.解析:∵AD2＋BD2＝144＋25＝169，AB2＝169，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，∴CD＝9，∴BC＝CD＋BD＝9＋5＝14.
16.解析 甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了12千米，即OA＝12千米.
乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5千米.
在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169，∴AB＝13千米，
因此，上午10:00，甲、乙两人相距13千米.
∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系.
答:上午10:00，甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系.
17.解析（1）村庄A能听到宣传，
理由:∵村庄A到公路MN的距离AB为800米＜1000米，
∴村庄A能听到宣传.
（2）如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A开始听到宣传，行驶到Q点时，村庄A听不到宣传，则AP＝AQ＝1000米，又∵AB＝800米，
∴BP2＝BQ2＝10002-8002＝6002，∴BP＝BQ＝600米，PQ＝1200米，
∴村庄A总共听到宣传的时间为1200÷300＝4分钟，
∴村庄A总共能听到4分钟的宣传.
18.解析 因为AB·BF＝54，DC＝AB＝9，,所以BF＝12.
所以AF2＝92＋122＝225，∴AF＝15.
所以BC＝AD＝AF＝15，所以CF＝BC-BF＝15-12＝3.
设DE＝x，则CE＝9-x，EF＝DE＝x.
则x2＝（9-x）2＋32，所以x＝5.
所以DE的长为5.
19.解析 （1）观察给出的勾股数得，斜边长与较长直角边长的差是1，即c-b＝1.
∵a＝19，a2＋b2＝c2，∴192＋b2＝（b＋1）2，
∴b＝180，∴c＝181.
（2）由（1）知c-b＝1，∵a＝2n＋1，∴（2n＋1）2＋b2＝c2，
∴c2-b2＝（2n＋1）2，即（c＋b）（c-b）＝（2n＋1）2，
∴b＋c＝（2n＋1）2，又c＝b＋1，∴2b＋1＝（2n＋1）2，
∴b＝2n2＋2n，∴c＝2n2＋2n＋1.
（3）15，111，112不是一组勾股数.
理由:由（2）知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数，
当2n＋1＝15时，n＝7，但2n2＋2n＝2×72＋2×7＝112≠111，2n2＋2n＋1＝113≠112，∴15，111，112不是一组勾股数.
20.解析 由题图可得正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD＝S△BAE＋S△BFE，
∴b2＝c2＋，整理，得a2＋b2＝c2.
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