直线参数方程标准式和一般式

直线的参数方程参数的几何意义及应用
一.直线参数方程标准式和一般式中参数的几何意义
（一）.直线的参数方程标准式中，直线恒过定点,倾斜角为，参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离即，此时若，则的方向向上，若，则的方向向下.
（二）.直线的参数方程一般式中，当时
(三）.设过点倾斜角为的直线的参数方程为若是上两点,对应的参数分别为和.则有：
1.
2.线段中点到定点的距离
3.若是线段的中点，则
例1 直线与双曲线相交于两点，求弦中点到点的距离.
解：将直线的参数方程代入双曲线得
即
， 所以可设两点对应参数方程分别为
因为点是的中点，可得点对应的参数
由参数的几何意义得
例2 已知直线的参数方程为，上一点对应的参数为，求点与点之间的距离.
解：因为点对应的参数为，
将代入直线的参数方程，得
点的坐标为，再由两点距离公式，得到
思考：若直接利用直线参数方程一般式中参数的几何意义是不是更简单呢？
例3 已知直线经过点倾斜角，设直线与圆交于两点，求的长和点到两点的距离之积.
解：因为直线过点，且的倾斜角为，所以它的参数方程是
即
把它代入圆方程，得
由参数的几何意义得
思考：若将点的坐标改为,求线段的长，能否直接用求解？
二.参数几何意义的应用
（一）利用参数求弦长问题和求已知点到交点问题.
1.求圆锥曲线的弦长的一般步骤
（1）.根据已知条件设出相应的直线的参数方程.
（2）.将直线参数方程代入圆锥曲线的普通式中，若曲线不是直角坐标方程先化成普通方程.
（3）.利用韦达定理求出关于参数的一元二次方程的两根之积、两根之和.
（4）.根据参数的几何意义知弦长求解即可.
2.求已知点到交点需注意的几个问题
（1）.已知直线方程和曲线方程，求一点到两交点的距离之和、距离之积，看给的点是否在给定的直线上，若在,可利用直线参数来解，若不在,则不能利用直线的参数的几何意义去解.
（2）.给定的点若在曲线外时，求给定的点到直线与曲线的两交点距离之和，根据几何知识可得距离，因为这时与在定点的同一侧.
由此例3的思考题，若将点的坐标改为,求线段的长，显然不能直接用求解，而是，求得
例1 经过点作倾斜角为的直线，与椭圆交于两点.求点到和两点的距离积的最小值
解：设直线的参数方程为 ，把它代入，得
点到和两点的距离之积
所以当，时，点到和两点的距离和的最小值为
1