2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.3正方形的性质与判定》能力达标专题提升训练(word解析版)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》能力达标专题提升训练（附答案）
一、单选题
1．如图，正方形的面积是2，，，分别是，，上的动点，的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE=1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
3．如图边长为12的正方形中，E是上一点，，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
4．如图，已知正方形的边长为2，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝25°，若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．25° B．40° C．90° D．50°
6．如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
7．如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________．
8．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，点是上一点，且，则的长度为_____________．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为___．
11．如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折到，延长交边于点，连接，．下列结论中：①；②；③；④．正确的有____ ．（请填入序号）
12．如图，正方形ABCD的边长为3，点F是射线BC上一动点，连接DB、DF，将沿DF翻折得，延长交直线AB于E，若，则______．
13．正方形ABCD的边长为2，E为CD边中点，把△AED绕点A旋转得到△AFG（点F与点E对应，点G与点D对应），若点F刚好落在直线BC上，则EF的长为__．
14．如图,已知直线的解析式为,在点作轴的垂直交直线于点,以为边作第个正在方形,在轴上,的延长线交直线于点,以为边作第2个正在方形,……;按此作法继续下去,则第个正在方形的边长为________．
三、解答题
15．如图菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
16．如图，在正方形的对角线上取一点．连接并延长到点，使与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，判断之间的数量关系，并说明理由．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
18．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
19．在正方形ABCD中：
（1）如图1，如果点P、E分别在AB、AD上，且，求证：；
（2）如图2，点P、Q、E分别在AB、CD、AD上不与A、D重合，且PQ是BE的垂直平分线，．
①若，求BP的长；
②如图3，连接PE、EQ、BQ，求四边形BPEQ面积S的取值范围．
20．旋转与等腰直角三角形、正方形：把共顶点的一个等腰直角三角形和正方形中的一个绕一点旋转到一定位置，探究图形的几何性质，为我们提供一个动态的数学环境．
已知等腰直角三角形ABC和正方形BDEF有一个公共的顶点B，AB＞BD．
（1）如图1，AF与CD的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）将正方形BDEF绕着点B顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），
①如图2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若AB＝4，BD＝2，当正方形BDEF绕着点B顺时针旋转到点A、D、F三点共线时，连接CD，则CD的长度为　 　；（在备用图中补全图形求解）
③如图3，若BC＝2，AC＝4AD，当正方形BDEF绕着点B顺时针旋转，当点D在AC上时，延长CB交AF的延长线于点G，连接GE，求GE的长度.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B B B C
1．解：过点作交于点，交于点，如图所示：
四边形为正方形，
，
（当时取等号），（当时取等号），
，
正方形的面积是2，
．
的最小值为．故选：．
2．解:如图，连接BE，
∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG=AE，∠GAB=∠EAD，
∴∠GAB=∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF=∠EAF+∠BAF，
∴∠GAF=∠EAB，
∴△GAF?△EAB（SAS），
∴FG=EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，
∵DE=1，
∴CE=3，
∴在Rt△BCE中，BE=，
∴FG=5故选C
3．解：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中，，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG．
在△GCE和△GCF中，
∴GCE≌△GCF(SAS)，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
设AG=x，由（2）可知：GF=GE=16-x．
在Rt△AGE中，由勾股定理，得：x2+64=(16-x)2，
解得：x=6，
∴GE=16-x=16-6=10．
故选：
4．解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵将沿直线BE对折得到，
∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC，
在Rt与Rt中，
，
∴Rt≌Rt（HL），
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFD=∠MDF，
∴MD=MF=MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF=MC=DM=1，
设AE=EF=x，
∵，
即
解得：

故选：B．
5．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°
由旋转不变性可知：AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝25°，
∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，
∴旋转角为40°，
故选：B．
6．C
解:过点O作OG⊥AD于点G，如图
∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O
∴OA=OB=OD ，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90°
∵OE⊥OF
∴∠AOE+∠AOF=90°
∴∠FOA=∠EOB
在△FOA和△EOB中

∴ △FOA≌△EOB(ASA)
∴OF=OE
∵OE⊥OF
∴由勾股定理得：
∴当OF最小时，EF最小
∵OG⊥AD
∴OF≥OG
即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为
∵OA=OD，OG⊥AD
∴G点是AD的中点
∴OG=AD=2
∴
故选：C．
7．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF=×2=1，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH，
在△PDH和△CFH中
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD=CF=1，
∴AP=AD-PD=1，
∴PE==，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=EP=；
故答案为：．
8．1
解:如图，连接过作垂足为
，分别是边，的中点，正方形边长为
正方形
故答案为：1
9．2
解：如图，过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P⊥AD于P，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADF≌△AD′F，
∴AD′＝AD＝4，
∵D′与D关于AE对称，
∴QD＝QD′，
∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，
∴D′P即为DQ＋PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP＝PD′，
∴在Rt△APD′中，PD′2＋AP2＝AD′2，即2D'P2＝16，
∴PD′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2．
故答案为：2
10．1或3．
解:①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
，
∴，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为1或3．
11．①③④
解：如图所示：
①四边形为正方形，
，，
由折叠可知：
，，，则，
，，
，
，
设，则，
，，
根据勾股定理，得
在中，，
解得，则，
，
所以①正确；
②，，
点不是的中点，，
所以②错误．
③∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，
∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1，
∴（3-x）2+22=（x+1）2，
解得：x=，
∴BG=GF=CG=，
∵△CEF和△CEG中，分别把EF和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴S△EFC：S△ECG=EF：EG=2：5，
，
所以③正确；
④∵，
，
又，
，
．所以④正确；故答案为：①③④．
12．2.4
解：如图所示，连接DE，过点D作于点G，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∵，
∴，
∴在中，
，
∵沿DF翻折得，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得，
故答案为：2.4 .
13．或
解:如图，当点F在线段BC上时，
∵正方形ABCD的边长为2，E为CD边中点，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，DE＝EC＝1，
∵把△AED绕点A旋转得到△AFG，
∴AD＝AG，∠ADE＝∠AGF＝90°，DE＝GF＝1，
∴AB＝AG，
在Rt△ABF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AGF（HL），
∴BF＝FG＝1，
∴CF＝1，
∴EF＝＝＝，
当点F'在线段CB的延长线上，
∵把△AED绕点A旋转得到△AF'G'，
∴ADAB，∠ADE∠AG'F'90°，DE 1，
又∵∠ABF'＝90°，
∴点B与点G重合，
∴CF'＝3，
∴＝＝＝，
综上所述：EF的长为或．
故答案为：或．
14．
解:由题意可知:点 ,,, ,在直线的图象上,即,,,,,
又∵点的坐标为 ,
∴;
;
;
,
∴,
故答案为:．
15．解:证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠HEA=∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH，
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形.
16．解:证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
∵在△ABE和△ADE中，
∵，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；
（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连接CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝60°-15°=45°，
∴∠ECD＝∠GCF．
∵在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG＋GF，
∴EF＝CE＋ED．
17．解:（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠BAF，
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；
（3）∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，
∵GE2＝CG2＋CE2
∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，
解得：x＝2，
∴BG＝2．
18．解:（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝(﹣1)＝2﹣．
19．解:（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在△BAE和△CBP中，，
∴≌，
∴．
（2）如图，连接PE．
∵垂直平分线段BE，
∴，
设，
∵AB=4，
∴AP=4-x，
在中，，即，
解得：，
．
如图，过点Q作于H，
∵，，∠A=90°，
∴，∠ABE+∠QPH=90°，，
∴，
∵，
∴四边形BCQH是矩形，
∴，
在△BAE和△QHP中，，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∵不与A、D重合，
∴，
∴．
20．解：（1）AF与CD的数量关系为：AF＝CD，位置关系为：AF⊥CD，理由如下：
延长AF交CD于H，如图1所示：
∵等腰直角三角形ABC和正方形BDEF有一个公共的顶点B，
∴AB＝CB，BF＝BD，∠ABF＝∠CBD＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
在△ABF和△CBD中，，
∴△ABF≌△CBD（SAS），
∴AF＝CD，∠BAF＝∠BCD，
∵∠CFH＝∠AFB，
∴∠BCD+∠CFH＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CHF＝90°，
∴AF⊥CD；
故答案为：AF＝CD，AF⊥CD；
（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由如下：
设AF交BC于点M，交CD于点N，如图2所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD＝BF，∠FBD＝90°，
∴∠ABC+∠CBF＝∠FBD+∠CBF，
即∠ABF＝∠DBC，
∴△ABF≌△CBD（SAS），
∴AF＝CD，∠FAB＝∠DCB，
∵∠AMB＝∠NMC，
∴∠CNM＝∠ABM＝90°，
∴AF⊥CD；
②分两种情况：
a、如图4所示：连接BE交DF于O，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD＝DE＝EF，BE⊥DF，∠DEF＝90°，OB＝OE＝OD＝OF，
∴DF＝BE＝BD＝×2＝4，OB＝OD＝OF＝DF＝2，
∴AO＝＝＝2，
∴AF＝AO+OF＝2+2，
由（1）得：AF＝CD，
∴CD＝2+2；
b、如图5所示：连接BE交DF于O，
同上得：OB＝OD＝OF＝DF＝2，
∴AO＝＝＝2，
∴AF＝AO﹣OF＝2﹣2，
由（1）得：AF＝CD，
∴CD＝2﹣2；
综上所述，当正方形BDEF绕着点B顺时针旋转到点A、D、F三点共线时，则CD的长度为2+2或2﹣2；
故答案为：2+2或2﹣2；
③∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴AC＝BC＝×2＝4，
∵AC＝4AD，
∴AD＝AC＝1，
过B作BH⊥AC于H，过E作EM⊥DA于M，EN⊥AF于N，如图3所示：
则BH＝AH＝AC＝2，∠BHD＝∠DME＝90°，四边形AMEN是矩形，
∴DH＝AH＝AD＝1，
∵四边形BDEF是正方形，
∴DE＝BD＝BF，∠DBF＝∠BDE＝90°，
∴∠BDH+∠EDM＝∠BDH+∠DBH＝90°，
∴∠EDM＝∠DBH，
∴△DME≌△BHD（AAS），
∴DM＝BH＝2，EM＝DH＝1，
∴AM＝DM﹣AD＝1，
∴AM＝EM，
∴矩形AMEN是正方形，
∴AN＝EN＝AM＝1，
由①得：△ABF≌△CBD（SAS），
∴AF＝CD＝AC﹣AD＝3，∠AFB＝∠CDB，
∴∠BFG＝∠BDA，
∵∠ABG＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABG＝∠DBF，
∴∠FBG＝∠DBA，
∴△BFG≌△BDA（ASA），
∴GF＝AD＝1，
∴AG＝AF+GF＝4，
∴GN＝AG﹣AN＝3，
在Rt△GEN中，由勾股定理得：GE＝＝＝，
故答案为：．