重庆第八高级中学校2022届高三上学期7月月考（一）数学试题 Word版含解析

重庆第八高级中学校2022届高三上学期7月月考（一）
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，则false
A．false B．false
C．false D．false
2.已知复数false，则false的共轭复数在复平面对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．设false，false，false，则false、false、false的大小关系是
A．false B．false
C．false D．false
4．祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为false，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为false ，则“false恒成立”是“false”的
A．充要条件 B．必要不充分条件??
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为
A．false B．false C．false D．false
6．函数false的图象不可能是
A. B. C. D.
7.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》PK赛．false两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，共比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛false队选手获胜的概率均为false，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时false队的得分高于false队的得分概率为
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false对任意false都有false，false的图象关于点false对称，则false
A. 0 B. false C. false D. false
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．已知复数false，下列结论正确的有（　　）
A．false B．若false，则false中至少有一个为0
C．false D．若false，则false
10．若false，则下列结论中正确的是
A．false B．false
C．false D．false．
11.老杨每天false下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有false，false两条线路可以选择．乘坐线路false所需时间（单位：分钟）服从正态分布false，false，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路false所需时间（单位：分钟）服从正态分布false，false，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是false　　false
（参考数据：false，则false，false，false
A．若乘坐线路false，false前一定能到家
B．乘坐线路false和乘坐线路false在false前到家的可能性一样
C．乘坐线路false比乘坐线路false在false前到家的可能性更大
D．若乘坐线路false，则在false前到家的可能性不超过false
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数false，称为狄利克雷函数，则关于false，下列说法正确的是
A．false
B．函数false是偶函数
C．任意一个非零实数false，false对任意false恒成立
D．存在三个点false，使得false为等边三角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上.
13．已知命题false，则false为________.
14．设偶函数false在false上是增函数，false，则false的解为___________.
15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为false，各成员的支付方式相互独立．设false为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，false，false，则false　 　．
16．函数false对于任意false，均满足false， false，若存在实数falsefalse满足false，则false的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列false的前false项和false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）设false，求数列false的前false项和．
（12分）
在false中，角false的对边分别为false，已知false满足下列三个条件：①false，②false，③false。
求false；
设false为false边上一点，且false，求false的面积.
（12分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由。
方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；
方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成．
（12分）
由各棱长均相等的四棱柱false截去三棱锥false后得到的几何体如图所示，底面false为正方形，点false为线段false与false的交点，点false为线段false中点，false平面false.
4084955133985证明：false平面false
若点false为线段false（包含端点）上一点，求false与平面false所成角的正弦值的最大值.
（12分）
已知椭圆false过点false，椭圆的左、右顶点分别为false，false，点false坐标为false，false，false，false成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线false与椭圆恒有false，false两个交点，且false，证明：直线false定点。
22.（12分）
已知函数false，false.
（1）当false时，求函数false的最大值；
（2）若函数false在false上恰有两个极小值点false.
①求false的取值范围；
②判断是否存在实数false，使得false成立？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由.
重庆第八高级中学校2022届高三上学期7月月考（一）
数学答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
B
D
C
D
ABC
ACD
BCD
ABD
1解:由题意易知：false，故：falsefalse，选：false．
2解：已知复数false，则false在复平面对应的点位于第三象限。故选：false.
3解：由题意易知false，false，false故选：false.
4解：由祖暅原理知，若false总相等，则 false相等成立，即充分性成立，若 false 相等，则只需要底面积和高相等即可，则false不一定相等，即必要性不成立，即“ false 恒成立”是“ false ”的充分不必要条件.故选：false.
5解：false，故选：false．
解：false，false选项中，图象关于原点对称，false为奇函数，即false，即false，false，当false时，false的图象为选项false；当false时，false的图象为选项false；而false，false选项中，图象关于false轴对称，所以false为偶函数，即false，即false，false，当false时，false，故false的图象为选项false，不可能为选项false．故选：false．
7.解：比赛结束时false队的得分高于false队的得分的情况有3种；false全胜，false三胜一负，false第三局胜，另外三局两胜一负，故比赛结束时false队的得分高于false队的得分的概率为：falsefalse．故选：false．
8.解：false的图象关于点false对称，false的图象关于点false对称，即false为奇函数．
令false，可知false（2）false（2），false（2），又false（2），false（2）false，
false，false，false是一个周期为8的周期函数，
于是false（4）false．false．故选：false．
9解:取false，则false，故false错误，由复数性质易知false正确，故选：false．
10解：取false时，易知false，取false时，易知false，故：false，
取false时，易知false，又因为false均为负数，故：
false.故选：false．
11解：对于false，false，故选项false错误；
对于false，false，
false，故选项false正确；
对于false，false，false，故选项false正确；
对于false，false，故选项false正确．故选：false．
12解：对于false，当false为有理数时，false；当false为无理数时，false，当false为有理数时，false（1）false；当false为无理数时，false，即不管false是有理数还是无理数，均有false，故false正确；对于false，有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，可得对任意false，都有false，false为偶函数，故false正确；对于false，由于非零实数false，若false为无理数，当false是有理数时，false是无理数，故false错误；
对于false，取false，false，false，可得false，false，false，false，false，false，false，false，恰好false为等边三角形，故false正确．故选：false．
二、填空题
13. false 14. false 15.false 16. false．
13解：：false为false，
14解：false是偶函数，所以false，函数false的图象关于false轴对称，函数false在false上是增函数，falsefalse，falsefalse．falsefalse或false，false或false．故答案为：false．．
15解：解：由题意，使用移动支付的人数false服从二项分布，则false，解得false或false，
又false，即false，化简得false，解得false，所以false．
5151755505714016解：由函数false对于任意false，均满足false，可知false的对称轴方程为false．又当false时，false，false作出函数false的图象如图：
由图可知，false与false，false与false关于直线false对称，false，false，
又falsefalse，false，false，
false，
false，设falsefalse，false，
falsefalse，false在false上单调递增，falsefalse，即false，
false，false，falsefalse
即false的范围为false．
四、解答题
17．解：（1）当false时，false，
当false时，false，false时也成立，则false； ···········5分
（2）false，
当false为偶数时，数列false的前false项和为
false； ·············8分
false． ··········10分．
18.解：（1）由false即false，解得false（舍去）或false，故false．·········6分
（2）法一：false，false，false，
falsefalse，
false，false. ············12分
法二：由于false， 所以false，解得false，
所以false. · ···········12分
19.解：（1）设顾客所获取的奖励额为false，依题意，得false，
即顾客所获得奖励额为60元的概率为false， ············4分
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以需要顾客奖励额的期望为60元．
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案false，15，45，false设顾客所获取的奖励额为false，则false的分布列为
false
60
30
90
false
false
false
false
false 的数学期望为false．
false 的方差false，············8分
对于方案2，即方案false，20，40，false设顾客所获取的奖励额为false，则false的分布列为
false
40
60
80
false
false
false
false
false 的数学期望为false，
false 的方差false．············11分
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2． ···········12分
解：（1）取false中点false，连接false，false，false，且false，故四边形false为平行四边形，故易得：false且false，false，false，
故四边形false为平行四边形，false， ···········3分
且false平面false平面false，false平面false。· ···········5分
由题意，分别以false为false轴，false轴，false轴建立空间直角坐标系，不妨设棱长为2，则易得以下点坐标：false，false，false，false，false，false；
false，false，
设false为平面false的法向量，则有false，解得false，
设false，false，因为点false在线段false上，则false，
false时取等false。· ···········12分
21.解：（1）由题意知，false，false，false，false，false，false成等差数列．false，解得false或0（舍去）．又false，false，
联立解得false，false．故椭圆标准方程为false． ···········5分
（2）证明：设直线方程为false，false，false，false，false．
联立false，化简得false．
false，false， ···········7分
falsefalsefalse
falsefalsefalse，
故得false，解得false或false，·········10分
故直线方程为false或false．
所以直线恒过点false或false。
又因为直线false与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线false恒过点false。·······12分
22.解：（1）当false时，false，则false，
令false，则false，false，则false，
所以false在false上单调递增. …………2分
又false，所以当false时，false；当false时，false.
所以false在false上单调递减，在false上单调递增.
因为false，false，所以函数false的值域为false.
故函数false的最大值为false ……4分
（2）①因为false，所以false是false上的偶函数.
故“函数false在false上恰有两个极小值点”等价于“函数false在false上恰有一个极小值点”.
由题知：false，令false，则false.
当false时，false，则false在false上单调递减.所以false，即false，此时false在false上单调递减，无极小值；
当false时，false，则false在false上单调递增.所以false.则false，此时false在false上单调递增，无极小值.
当false时，存在唯一的false，使false.
当false时，false，false单调递减；当false时，false，false单调递增.
因为false，所以false.又false，
（i）当false，即false时，false.所以false，此时false在false上单调递减，无极小值.
（ii）当false，即false时，false.则存在唯一false，使得false ……（*）
当false时，false，false单调递减；当false时，false，false单调递增.
所以函数false在false上恰有一个极小值点false.此时，false是函数false的极大值点.
所以当函数false在false上恰有两个极小值点时，false的取值范围为false.…………10分
②因为false，若false，则false.
由（*）式，知false.所以false.
整理得false.因为false，false，所以false.
所以存在false，使得false成立. …………12分
另解：①因为false，所以false是false上的偶函数.
故“函数false在false上恰有两个极小值点”等价于“函数false在false上恰有一个极小值点”.
由题知：false，则false在false上有一个零点，即false在false有唯一的实根，令false（false），则false，令false，则false，
当false时，false，故false在false上单调递减，又false，故false时，false，false，从而false在false上单调递减，又由洛必达法则知：false，false， 则false，解得：false，此时设方程false在false上的唯一实根为false，由false在false上单调递减，可知：false时，false，false；
false时，false，false，故false是false在false上的唯一极小值点.又易知false是函数false的极大值点.
综上所述，当函数false在false上恰有两个极小值点时，false的取值范围为false.……10分
②同法一