重庆第八高级中学校2022届高三上学期8月月考（二）数学试题 Word版含解析

重庆第八高级中学校2022届高三上学期8月月考（二）
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为,，那么的取值范围为　　
A． B．, C． D．
3．曲线在处的切线如图所示，则　　
A．0 B．
C．1 D．
4．设复数（其中，为实数，为虚数单位），则“”是“为虚数”的　　
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．既非充分又非必要条件 D．必要非充分条件
5．某市一诊考试的数学成绩近似地服从正态分布,．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为　　
A． B． C． D．
6．函数f（x）的定义域为R，，对任意x∈R，，则的解集为（　　）
A． B． C． D．R
7．已知，，，则　　
A． B． C． D．
8．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．下列说法中正确的是　　
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
C．用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
D．在列联表中，的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱
10．、、、、、六个人并排站在一起，则下列说法正确的有　　
A．若、两人相邻，则有120种不同的排法
B．若、不相邻，则共有480种不同的排法
C．若在左边（可以不相邻），则有360种不同的排法
D．若不站在最左边，不站最右边，则有504种不同的排法
11．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法正确的是　　
A．函数是偶函数
B．10是函数的一个周期
C．对任意的，都有
D．函数的图象关于直线对称
12．已知函数，，若，，则的取值可能是　　
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上.
13．已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是　 　．
14．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是　 　．
15．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则　 　．
16．已知函数，，若函数与,的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设数列满足：，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为与的等比中项，求数列的前项和．
18．设，，分别为三个内角，，的对边，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
19．已知四棱锥中，四边形是菱形，且，为等边三角形，平面平面．
（1）求证：；
（2）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份 1 2 3 4
违章驾驶员人数 125 105 100 90
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；
（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过2年 10 20
驾龄2年以上 8 12
能否据此判断有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中．
21．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围．
22．已知函数，．
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，为的两个不同极值点，证明：．
重庆第八高级中学校2022届高三上学期8月月考（二）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A D C A C AC BCD BCD BC
13． 14． 15． 16．,
1．解：由，得．由，得，所以．故选：．
2．解：若零点所处的初始区间为，，则，解得：，故选：．
3．解：由切线经过点和，可得切线的斜率为，切线的方程为，可得（1），（1），则（1）（1）．故选：．
4．解：当时，为虚数，反之，若为虚数，则，解得．“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选：．
5．解：由题意可知，抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为，故所求概率为．
6．解：令g（x）＝f（x）﹣3x，则g′（x）＝f′（x）﹣3＜0，∴函数g（x）在R上单减，又f（﹣1）＝3，∴g（﹣1）＝6，∴f（x）＞3x+6等价为f（x）﹣3x＞6，即为g（x）＞g（﹣1），又函数g（x）在R上单减，∴x＜﹣1．
7．解：，，，，，，，且，，即，．故选：．
8．解：令，则，结合函数的图象可知，，，又函数关于对称，．故选：．
9．解：根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故正确；回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，错误；用相关指数来刻画回归效果，越接近1，说明模型的拟合效果越好，正确；在列联表中，越大，说明两个分类变量之间的关系越强，故错误；故选：．
10．解：对于，若、两人相邻，需要将、看成一个整体，与其他四人全排列，有种不同的排法，错误；对于，若、不相邻，先将其他4人排成一排，排好后，有5个空位，将、安排在空位中，有种不同的排法，正确；对于，不考虑限制条件，6人有种不同的排法，其中在左边和在右边的情况一样，则在左边的排法有种，正确；对于，不考虑限制条件，6人有种不同的排法，站在最左边的排法有种，站在最右边的排法有种，站在最左边且站在最右边的排法种，则有种不同的排法，正确；故选：．
11．解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，又由函数是偶函数，则，即函数为奇函数，错误
对于，由于是偶函数，且，得，即，则是周期为10的周期函数，故正确；
对于，，，而是周期为10的周期函数，则，则，故正确；对于，，所以函数的图象关于直线对称，正确；故选：．
12．解：，即，
①，，②，又在,上单调递增，故由①②得，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在,递增，故，故选：．
13．解：依题意知，当，即时，函数的图象恒过定点，即．故定点的坐标是．
14．解：的值域为，，是函数的值域的子集，①时，显然满足题意；②时，，解得，实数的取值范围是．
15．解：由题意可得，，，所以．
16．解：函数与,的图象上至少存在一对关于轴对称的点，等价于在,有零点，令，则，所以在,上，，单调递减，所以（4）①，（1）②，解得．
17解：（1）由，得，所以数列是以1为公差的等差数列，所以．
（2）由为与的等比中项，得，所以，．
18．解：（1）因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，又因为，所以．
（2）当时，由①可得，，当且仅当时取等号，故，所以，所以面积的最大值为．
19．（1）证明：取的中点，连接、和，因为为等边三角形，所以；又四边形是菱形，且，所以为等边三角形，所以；又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面；又，所以、、两两垂直；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系；不妨设，则，，，，0，，，0，；所以，，，，，；设平面的一个法向量为，，，由，得，令，得，1，，又，，，所以，，，又，，，所以，，，设直线与平面所成的角为，则．
20．解：（1）由表中数据知，，，
所以，所以，
故所求回归直线方程为，令，则人．
（2）由表中数据得，没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．
21．解：（1）由题意得，，，解得，，所以双曲线的方程为：．
（2）证明：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，，，联立，整理可得，，所以
，
直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，，所以．
22．（1）解：函数，．，函数存在单调增区间，只需有解；即有解．令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时有最大值，最大值为（1）．故（1），解得，故的取值范围是．
（2）证明：，，是方程的两个根，即①，②，要证，即证明．①②，得：，即证，不妨设，则，则证，，设，则，在单调递增，（1），故得证．：试题解析
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