2021-2022学年九年级数学北师大版上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步能力提升训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．一元二次方程（x﹣5）（x+2）＝x+2的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝5 C．x1＝﹣2，x2＝5 D．x1＝﹣2，x2＝6
2．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
3．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的解，则三角形的周长为（　　）
A．12 B．16 C．12或16 D．不能确定
5．若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
6．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
二．填空题
7．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为　 　．
8．在面积为10的平行四边形ABCD中，AB，BC是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，且AB＜BC，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，则CE+CF的值为　 　．
9．一元二次方程3（x﹣5）2＝2（x﹣5）的解是　 　．
10．若一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根分别是矩形的边长，则矩形对角线长为　 　．
11．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝　 　．
12．直角三角形的一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，该直角三角形的面积是　 　．
13．已知公式：ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）可用来进行因式分解，其中x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，试分解因式：2x2﹣x﹣1＝　 　．
14．已知等腰三角形的两边长恰好是方程x2﹣9x+18＝0的解，则此等腰三角形的三边长是　 　．
15．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，则k的值为　 　．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0；
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0．
17．解方程：（x+2）2﹣x﹣2＝0．
18．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
19．请用合适的方法解方程
（1）x2﹣5x+6＝12
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
20．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
参考答案
一．选择题
1．解：（x﹣5）（x+2）＝x+2
（x﹣5）（x+2）﹣（x+2）＝0
（x+2）（x﹣5﹣1）＝0
x+2＝0，x﹣6＝0
x1＝﹣2，x2＝6
故选：D．
2．解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
3．解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
4．解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
x﹣3＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝3，x2＝7，
而3+3＝6，
所以三角形的第三边为7，
所以这个三角形的周长为3+6+7＝16．
故选：B．
5．解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
6．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
二．填空题
7．解：x2﹣7x+10＝0
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
所以x1＝2，x2＝5，
因为2+3＝5，
所以三角形第三边长为2，
所以△ABC的周长为2+3+2＝7．
故答案为7．
8．解：解方程x2﹣9x+20＝0得，x＝4或5，
∵AB，BC是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，且AB＜BC，
∴AB＝4，BC＝5，
∵平行四边形ABCD面积为10，
∴BC?AE＝10，CD?AF＝10，
∴5×AE＝10，4AF＝10，
∴AE＝2，AF＝，
∴BE＝＝＝2，DF＝＝＝，
∴CE＝5﹣2＝3，CF＝4﹣＝，
∴CE+CF＝3+＝；
如图2所示：EC＝5+2＝7，CF＝4+＝，
∴CE+CF＝7+＝
故答案为或．
9．解：∵3（x﹣5）2＝2（x﹣5），
∴3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]＝0，
∴x＝5或x＝；
故答案为：5或
10．解：解方程x2﹣14x+48＝0得：x1＝6，x2＝8，
即AD＝8，AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
故答案为：10．
11．解：设x＝m2+n2（x≥0）．
由原方程，得
x（x﹣2）＝4，
x2﹣2x﹣4＝0．
x＝＝1±．
∵x≥0，
∴x＝1+，即m2+n2＝1+．
故答案是：1+．
12．解：解方程x2﹣5x+6＝0得：x＝2或3，
即斜边为3，直角边为2，
则另一直角边为＝，
所以直角三角形的面积为×2×＝，
故答案为：．
13．解：∵解方程2x2﹣x﹣1＝0得：x1＝﹣，x2＝1，
∴2x2﹣x﹣1＝2（x+）（x﹣1）＝（2x+1）（x﹣1），
故答案为：（2x+1）（x﹣1）．
14．解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
因为3+3＝6，所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，
故答案为：3，6，6．
15．解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝1或k＝2，
由②得：k≠1，
∴k的值为2．
故答案为：2．
三．解答题
16．解：（1）由原方程，得（x+2）2＝16，
直接开平方，得x+2＝±4．
解得x1＝2，x2＝﹣6；
（2）设y＝x﹣1，则原方程转化为y2﹣2y＝0，
整理，得y（y﹣2）＝0．
解得y＝0或y＝2．
∴x﹣1＝0或x﹣1＝2，
∴x1＝1，x2＝3．
17．解：（x+2）2﹣x﹣2＝0，
（x+2）（x+2﹣1）＝0，
x+2＝0或x+2﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣1．
18．解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，
（x﹣9）（x+2）＝0，
∴x﹣9＝0或x+2＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，
[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，
∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
19．解：（1）x2﹣5x+6＝12，
x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0，x+1＝0，
x1＝6，x2＝﹣1；
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
x+2﹣5＝0，
x＝3，
即x1＝x2＝3．
20．解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；
故答案为：换元，化归；
（2）令x2+x＝m，
则m2﹣m﹣2＝0，
∴（m﹣2）（m+1）＝0，
∴m﹣2＝0或m+1＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+x＝﹣1，即x2+x+1＝0，
∵△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴此方程无解；
综上，原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．