广东省实验中学2011-2012学年高二下学期模块考试题数学理

广东实验中学2011—2012下学年高二级模块考试
理科 数学
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.用数学归纳法证明(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4
2．如果复数是实数，则实数( )
A． B． C． D．
3．已知函数，对于任意正数，是成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A10 B.20 C.30 D.120
5．若抛物线的离心率，则该抛物线准线方程是 （ ）
A ． B ． C． D ．
6．如果双曲线的两条渐近线互相垂直，则离心率e等于（）
A B 2 C D
7．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．32种
8．已知点,向量，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
9.不等式①,②,其中恒成立的是（ ）
A．① B．② C．①② D．都不对
10. 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若，，则以为邻边的平行四边形的面积为
12. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是
13. ．
14.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．计算：
16.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。
（1）每次取出的产品不再放回去
（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
17．已知展开式中的系数为11，求：
（1）的系数的最小值；
（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
18．曲线上的点到直线的最短距离是 ____．
19.将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. （本小题满分12分）
已知命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根； 若“或”为真命题，求实数的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．
22．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．
广东实验中学2011—2012下学年高二级模块考试
理科 数学参考答案
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1~10. C B B B B A C A A B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11． 12.. 13. 14.
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．计算：
解：原式=……………10分
16.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。
（1）每次取出的产品不再放回去
（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，
，
,
所以X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
………………5分
(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，
，
,
.
所以X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
………………10分
17．已知展开式中的系数为11，求：
（1）的系数的最小值；
（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。
解：（1），所以………………2分
………………4分
当时有最小值；………………5分
（2）由（1），所以
从而，………………7分
，………………9分
所以，即奇数次幂项的系数之和为………………10分
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
18．． 19. 42.
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. （本小题满分12分）
已知命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根； 若“或”为真命题，求实数的取值范围．
解：若P为真，则或解得：。………………4分
若q为真，则，解得；………………8分
因为“或”为真命题，所以P为真或q为真，………………10分
所以或，即………………12分
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．
解:（1）由离心率，得，即. ① ……2分
又点在椭圆上，即. ② ……4分
解 ①②得，故所求椭圆方程为. ……5分
由得直线l的方程为. ………6分
（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.
设与直线l相切于点T，则由，得，………… 10分
当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得.……………… 12分
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得.……… 14分
22．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．
（1）解：因为，所以．……………………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．…………………………………………………………………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分
令，
则，……………………………………………………………………4分
令，
则，
所以函数在上单调递增．……………………………………………5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．…………………7分
所以．
故整数的最大值是3．…………………………………………………………………8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………9分
所以当时，．……………………………………………………10分
即．
整理，得
．………………………………………11分
因为， 所以．……………………………12分
即．
即．…………………………………………………………13分
所以
．………………………………………………………………………14分
证明2：构造函数
，………………………………………9分
则．………………………………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增．………………………………11分
因为， 所以．
所以
．…12分
即．
即．
即．……………………………………………………………13分
所以．………………………………………………………………14分