10.3.2随机模拟（34张PPT）

09人教A版 必修二
7.1复数的概念
10.3 频率与概率
10.3.2 随机模拟
用频率估计概率，需要做大量的重复试验．有没有其他方法可以替代试验呢？
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
随机数与伪随机数
例如我们要产生1～9 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数．计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0, 1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上．这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验．
又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1, 2, 3, 4, 5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球．这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验．
n
10
20
50
100
150
200
250
300
nA
6
7
20
45
66
77
104
116
fn(A)
0.6
0.35
0.4
0.45
0.44
0.385
0.416
0.39
画岀频率折线图(图10.3-2)，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4．
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯·诺依曼．这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用．
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的．设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件发生的概率．
解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验．
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
方法2：利用电子表格软件模拟试验．在Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格分别输入“＝RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验．统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值．
表10.3-4是20次模拟试验的结果．事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大．
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2：0或2：1．显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同．每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果．
解：设事件A ＝“甲获得冠军”，事件B＝“单局比赛甲胜”，则P(B) ＝ 0.6．用计算器或计算机产生1?5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如：产生20组随机数：
423
123
423
344
114
453
525
332
152
342
534
443
512
541
125
432
334
151
314
354
相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，
用随机模拟的方法得到的是20次试验中事件A发生的频率，事件A的概率的精确值为0.648．
练习（第257页）
1．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，设事件A＝“恰好两次正面朝上”，
（1）直接计算事件A的概率；
（2）利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率．
2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球．
（1）“取出的球是黄球是”什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率．
（1）“取出的球是黄球”是不可能事件，概率为0；
（3）“取出的球是白球或黑球”是必然事件，概率为1；
2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球．
（1）“取出的球是黄球是”什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率．
3．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；
（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；
（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
（3）重复试验次数为120，不够多，频率与概率可能有比较大的差异．由于频率的不确定性，频率和概率会有一定的差异．
习题10.3（第257页）
1．在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内．被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率：
（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞．
用频率估计概率，得
(1) 圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0；
(2) 椭圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0.2；
(3) 不规则形状细胞的豚鼠感染的概率约为1．
2．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录：每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率．
四面体的面
1
2
3
4
频数
22
18
21
39
解：标记3的面落在桌面上的概率的近似值为0.21．
3．在英语中不同字母岀现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定．有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：
元音字母
A
E
I
O
U
频率
7.88%
12.68%
7.07%
7.76%
2.80%
（1）从一本英文(小说类)书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；
（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原:因是什么．
（1）略．（提示：可以使用计算机软件进行统计）
（2）如果统计的字母个数较少，与表格中的频率差距较大；如果统计的字母个数足够多，与表格中的频率比较接近．差异是由频率的不确定性引起的．
4．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．
一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：
父母血型的基因类型组合
子女血型的概率
O
A
B
AB
ai×bi
ai×bb
aa×bi
aa×bb
0.25
0.25
0.25
0.25
0
0
0. 5
0. 5
0
0. 5
0
0. 5
0
0
0
1
说法不确切．反例：抛掷一枚硬币，正面超上的概率为0.5．抛掷两次硬币，正面朝上的频率可能为0.5，抛掷99次硬币，正面朝上的频率不可能为0.5．
放回摸球
不放回摸球
f10(A1)
f10(A2)
f10(A3)
（2）略．（提示：可以用电子表格软件模拟有放回摸球试验，而用电子表格软件模拟不放回摸球试验较难．）
复习参考题10（第263页）
1．在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放
回，然后再随机取出1个球．
（1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；
（2）用集合表示“第一次取出的是红球”的事件；
（3）用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件．
A
B
4
A
B
4
3．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
276
144
80
如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率:
（1）这个人的体重减轻了；（2）这个人的体重不变；
（3）这个人的体重增加了．
4．某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科
研究生
合计
35岁以下
50
35
85
35～50岁
20
13
33
50岁以上
10
2
12
从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率：
(1)具有本科学历；(2)35岁及以上；(3)35岁以下且具有研究生学历．
5．一个袋子中有4个红球，6个绿球，釆用不放回方式从中依次随机地取岀2个球．
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
6．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的．
(1)求这两个人在不同层离开电梯的概率；
(2)求这两个人在同一层离开电梯的概率．
第一个人离开电梯有 6 种等可能的结果，第二个人离开电梯也有6种等可能的结果, 所以共有36种等可能的结果.
8．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）在右侧的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
Y
NY
NNY
NNN
（2）求李明第二次答题通过面试的概率；
（3）求李明最终通过面试的概率．
9．有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球．现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？
做出你的推断，并说说你的想法．你认为能否做出完全正确的判断？
推断选到的是1号盒子．
推断过程为：如果选择的是1号盒子，摸到红球的概率为0.95 ；如果取到的是2号盒子，摸到红球的概率为0.05 ．利用概率进行推断，一般我们认为先发生的事件概率大．现在已知摸到的是红球，所以认为它发生的概率最大，由此判断选择的是1号盒子．