人教A版
必修1
第一章
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．?
答案 C
解析 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－3,5}
D．{－3,5,9}
答案 D
解析 当x＝－1,3,5时对应的2x－1的值分别为－3,5,9.
3.
函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1
B．2
C．0或1
D．1或2
答案 C
解析 结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
答案 C
解析 正方形的对角线长为x，从而外接圆半径为y＝×x＝x.
5.
如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．a>－
B．a≥－
C．－≤a<0
D．－≤a≤0
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得0>a≥－.
综合上述得－≤a≤0.
6．若f(x)＝ax2－(a＞0)，且f()＝2，则a等于( )
A．1＋
B．1－
C．0
D．2
答案 A
解析 f()＝2a－＝2，∴a＝1＋.
7．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
答案 B
解析 ∵f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，
令t＝3x＋2，∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.
8．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：
则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )
答案 A
解析 由图象知y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数，
∴F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D不正确．
在x＝0的左侧附近，∵f(x)>0，g(x)<0，∴F(x)<0，
在x＝0的右侧附近，∵f(x)<0，g(x)>0，
∴F(x)<0，故答案为A.
9．下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
①y＝，y＝x－5；
②y＝，y＝；
③y＝x，y＝；
④y＝x，y＝；
⑤y＝()2，y＝2x－5.
A．①②
B．②③
C．③⑤
D．④
答案 D
解析 ①中的y＝与y＝x－5定义域不同；②中两个函数的定义域不同；③中第1个函数的定义域、值域都为R，而第2个函数的定义域是R，但值域是{y|y≥0}；⑤中两个函数的定义域不同，值域也不同；④中显然是同一函数．
10．若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,0)
B．[－2,0)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)
答案 B
解析 由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1，
由x<1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a<0，
分段点1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2，∴－2≤a<0.
11．已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A.
B．－
C．1
D．－1
答案 A
解析 f(x)＝在[1,2]上单调递减，∴f(1)＝A，f(2)＝B，
∴A－B＝f(1)－f(2)＝1－＝.
12.
已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1，－)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．[－1，－]∪(0,1)
答案 B
解析 ①当－1≤x<0时，0<－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x－2>－1，
解得x<－，则－1≤x<－.
②当0此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x＋2>－1，
解得x<，则0故所求不等式的解集为[－1，－)∪(0,1]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，
不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
14．已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)在R上是增函数，
∴解之得≤a<3.
15.
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
答案 ＋
解析 在f(x)＝2f()－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，
可求得f(x)＝＋.
16．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是____________．
答案 ，1
解析 f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
解 (1)m＝1，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝?，即m≥1＋3m时得m≤－，满足B??RA，
当B≠?时，要使B??RA成立，
则或解之得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.
18.
(12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解 (1)设每天来回y次，每次挂x节车厢，
由题意设y＝kx＋b.
当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，
得到16＝4k＋b,10＝7k＋b.
解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.
(2)设每天来回y次，每次挂x节车厢，
由题意知，每天挂车厢最多时，运营人数最多，
设每天运营S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营人数为110×72＝7
920(人)．
答 这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7
920人．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调增区间与减区间．
解 (1)函数f(x)的图象如下图
(2)当x∈[－1,2]时，f(x)＝3－x2，
知f(x)在[－1,0]上递增；在[0,2]上递减，
又f(x)＝x－3在(2,5]上是增函数，因此函数f(x)的增区间是[－1,0]和(2,5]；减区间是[0,2]．
20．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解 (1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数．所以最大值为f(4)＝＝，最小值为f(1)＝＝.
21.(12分)函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)求g(t)的最小值．
解 (1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
从而g(t)＝
(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8.
22.
(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以增区间为[，1]；
由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)因为g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意，得f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以，所以a＝.人教A版
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第一章
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．?
2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－3,5}
D．{－3,5,9}
3.
函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1
B．2
C．0或1
D．1或2
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
5.
如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．a>－
B．a≥－
C．－≤a<0
D．－≤a≤0
6．若f(x)＝ax2－(a＞0)，且f()＝2，则a等于( )
A．1＋
B．1－
C．0
D．2
7．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
8．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：
则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )
9．下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
①y＝，y＝x－5；
②y＝，y＝；
③y＝x，y＝；
④y＝x，y＝；
⑤y＝()2，y＝2x－5.
A．①②
B．②③
C．③⑤
D．④
10．若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,0)
B．[－2,0)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)
11．已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A.
B．－
C．1
D．－1
12.
已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1，－)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．[－1，－]∪(0,1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
14．已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________．
15.
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
16．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是____________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
18.
(12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调增区间与减区间．
20．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
21.(12分)函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)求g(t)的最小值．
22.
(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
