(共30张PPT)
4.6 角
2．角的比较和运算
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
1
2
(1)度数 (2)同侧
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新知笔记
1
2
3
4
D
D
B
5
C
两个相等的角
见习题
6
7
8
9
D
10
155
11
12
13
14
65°或35°
D
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15
D
见习题
(1)50° (2)77°36′18″
56°35′43″
D
见习题
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16
17
见习题
见习题
18
见习题
1．角的比较：(1)度量法：可以用量角器分别量出角的________，然后比较角的度数的大小；(2)叠合法：把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在重合的这一条边的________，即可比较角的大小．
度数
同侧
2．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成_________________，这条射线叫做这个角的平分线．
两个相等的角
1．用量角器测量∠MON，下列操作正确的是( )
C
A
B
C
D
2．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有( )
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＞∠BOC
C．∠BOC＞∠AOB
D．∠AOB＞∠AOC
D
3．如图，直线m外有一点O，点A是m上一点，当点A在直线m上运动时，下列选项一定成立的是( )
A．∠α＞∠β
B．∠α＜∠β
C．∠α＝∠β
D．∠α＋∠β＝180°
D
4．【2021·成都锦江区校级期末】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A，∠B，∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大！”∠B说：“我是48.3°，我应该最大！”∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来进行评判！”，杨老师评判的结果是( )
A．∠A最大
B．∠B最大
C．∠C最大
D．∠A＝∠C
B
5．如图，已知∠α，求作∠CAB，使得∠CAB＝∠α.
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，∠CAB即为所求．
6．【2021·长春双阳区期末】将一副三角板按如图方式放置，则∠AOB的大小为( )
A．60°
B．105°
C．85°
D．75°
D
7．【2021·成都成华区期末】如图，在直角∠AOB的内部作射线OC，若∠AOC＝33°24′17″，则∠BOC＝______________．
56°35′43″
8．(1)【2021·驻马店汝南期末】计算：110°36′－60.6°＝______________．
(2)【2021·甘孜州九龙期末】已知∠A＝41°18′36″，∠B＝36°17′42″.则∠A＋∠B＝______________．
50°
77°36′18″
9．如图，OC平分∠AOB，下列结论错误的是( )
A．∠AOB＝2∠AOC
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＝
∠AOB
D．∠BOC＝∠AOB
D
10．【2021·成都期末】如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝________°.
155
11．【2021·甘孜州九龙期末】如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝
∠EOC，∠COD＝15°.求：
(1)∠EOC的大小；
解：因为∠COD＝
∠EOC，∠COD＝15°，
所以∠EOC＝60°.
(2)∠AOD的大小．
解：因为OE平分∠AOD，
所以∠AOD＝2∠DOE.
因为∠EOC＝60°，∠COD＝15°，
所以∠DOE＝45°，
所以∠AOD＝2∠DOE＝90°.
12．用一副三角尺不能全部画出的一组角度是( )
A．15°，30°，45°
B．45°，60°，75°
C．90°，105°，120°
D．100°，135°，150°
【点拨】用一副三角尺画出的角的度数都是15°的倍数．
D
13．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为( )
A．150°
B．145°
C．140°
D．135°
D
【点拨】∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝80°－25°＝55°，
∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝80°＋55°＝135°.
14．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，射线OM，ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，则∠MON＝________．
所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋15°＝65°；
当射线OC在∠AOB内部时，
因为∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，OM，ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
所以∠BOM＝
∠AOB＝
×100°＝50°，
∠BON＝
∠BOC＝
×30°＝15°，
所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－15°＝35°.
【答案】65°或35°
15．如图，AB，CD交于点O，解答下列问题：
(1)用叠合法比较∠FOD与∠FOE的大小；
解：∠FOD＜∠FOE.
用含有45°角的三角尺比较，可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，所以∠DOE＞∠BOF.
用量角器量得∠AOE＝30°，∠DOF＝30°，故∠AOE＝∠DOF.
(2)借助三角尺比较∠DOE与∠BOF的大小；
(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．
16．如图，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.
解：作法：①作∠AOC＝∠α；②以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠COB，使∠COB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角，如图．
17．【2021·商丘柘城期末】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
解：因为∠EOC＋∠EOD＝180°，∠EOC＝70°，
所以∠EOD＝110°.
因为OA平分∠EOC，
所以∠AOE＝
∠EOC＝
×70°＝35°.
所以∠BOD＝180°－∠AOE－∠EOD＝35°.
(2)若∠EOC
∶∠EOD＝2
∶3，求∠BOD的度数．
解：设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°，
根据题意得2x＋3x＝180，解得x＝36，
所以∠EOC＝2x°＝72°，∠EOD＝3x°＝108°.
因为OA平分∠EOC，
所以∠AOE＝
∠EOC＝
×72°＝36°，
所以∠BOD＝180°－∠AOE－∠EOD＝36°.
18．已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)如图①，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
所以∠AOC＝90°＋60°＝150°.
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC＝
∠AOC＝75°，∠NOC＝
∠BOC＝30°，
所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°.
(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，直接写出∠MON与α的数量关系．
(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α，β的数量关系，并说明理由．
【点拨】从任意一个角的顶点引出一条射线，这条射线与原角的两边组成两个新角，这两个新角的平分线的夹角等于原角的一半．(共31张PPT)
阶段综合训练
【范围：4.5～4.6】
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七年级上
第4章 图形的初步认识
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1
2
3
4
B
A
B
5
D
B
6
7
8
9
95°18′
10
②
A
D
B
11
12
13
14
见习题
见习题
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15
10°或50°或70°
＝
16
见习题
见习题
17
见习题
1．下列说法错误的是( )
A．直线AB和直线BA是同一条直线
B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC不可能是1
C．画一条5厘米长的线段
D．若线段AM＝2，BM＝2，则M为线段AB的中点
D
2．在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短
D．过一点可以作无数条直线
B
3．【2021·周口鹿邑期末】“在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有无数条直线
D．连结两点之间的线段的长度是两点间的距离
A
4．下列图形中，能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是( )
B
A
B
C
D
5．已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于( )
A．140°
B．130°
C．120°
D．50°
B
【点拨】这个角的度数为90°－40°＝50°，根据补角的定义，这个角的补角为180°－50°＝130°.
6．如图，O是直线AB上一点，OC、OD、OE是三条射线，则图中互补的角共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
B
7．【2021·商丘梁园区期末】已知AB＝21cm，BC＝9cm，A，B，C三点在同一直线上，那么AC等于( )
A．30cm
B．15cm
C．30cm或15cm
D．30cm或12cm
【点拨】当点C在A，B之间时，如图①所示，
因为AB＝21cm，BC＝9cm，
所以AC＝AB－BC＝21－9＝12(cm)；
当点B在A，C之间时，如图②所示，
因为AB＝21cm，BC＝9cm，
所以AC＝AB＋BC＝21＋9＝30(cm)．
所以AC的长为30cm或12cm.
【答案】D
8．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是( )
A．90°－α－β
B．90°－α＋β
C．90°＋α－β
D．α－β
【点拨】如图，因为∠BOD＝90°－∠1＝90°－α，∠EOC＝90°－∠2＝90°－β，所以∠3＝∠BOD＋∠EOC－∠BOE＝90°－α＋90°－β－90°＝90°－α－β.故选A.
【答案】A
9．计算：48°59′＋67°31′－21°12′＝______________．
95°18′
10．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域(不包含边界)，当点Q落在区域________时，线段PQ与线段AB相交(填写区域序号)．
②
11．如图，点C，D，E都在线段AB上，已知AD＝BC，E是线段AB的中点，则CE________DE(填“＞”“＜”或“＝”)．
＝
【点拨】因为AD＝BC，所以AD－CD＝BC－CD，
即AC＝BD，因为E是线段AB的中点，
所以AE＝BE，所以AE－AC＝BE－BD，即CE＝DE.
12．已知∠AOB和∠COD是共顶点的两个角，∠COD的OC边始终在∠AOB的内部，并且∠COD的边OC把∠AOB分为1∶2两部分，若∠AOB＝60°，∠COD＝30°，则∠AOD的度数是______________．
【点拨】如图①，因为∠AOB＝60°，OC把∠AOB分为1∶2两部分，所以∠AOC＝
∠AOB＝20°，
所以∠AOD＝∠COD＋∠AOC＝30°＋20°＝50°.
如图②，因为∠AOB＝60°，OC把∠AOB分为1∶2两部分，
所以∠AOC＝
∠AOB＝40°，所以∠AOD＝∠AOC－∠COD＝40°－30°＝10°.
如图③，因为∠AOB＝60°，
OC把∠AOB分为1∶2两部分，
所以∠AOC＝
∠AOB＝40°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°.
综上所述，∠AOD的度数是10°或50°或70°.
【答案】10°或50°或70°
13．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x，则它的补角的度数为(180°－x)，余角的度数为(90°－x)，由题意得180°－x＝4(90°－x)，解得x＝60°，即这个角的度数为60°.
14.【2021·益阳赫山区期末】如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东70°的方向上．
(1)求∠APB的度数；
解：由题意可知∠APN＝30°，∠BPS＝70°，所以∠APB＝180°－∠APN－∠BPS＝80°.
(2)若轮船C在∠APB的平分线上，则轮船C在灯塔P的什么方向上？
解：因为PC平分∠APB，∠APB＝80°，
所以∠APC＝
∠APB＝40°，
所以∠NPC＝∠APN＋∠APC＝70°，
所以轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上．
15．【2021·绵阳江油月考】(1)如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，当∠BOD＝40°时，求∠AOC的度数；
解：因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠COD－∠BOD＝90°＋90°－40°＝140°.
(2)如图②，当∠AOB＝82°，∠COD＝110°，且∠AOC＝2∠BOD时，请直接写出∠BOD的度数；
【点拨】因为∠AOB＝82°，∠COD＝110°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠COD－∠BOD＝82°＋110°－∠BOD＝192°－∠BOD.
又因为∠AOC＝2∠BOD，
所以2∠BOD＝192°－∠BOD，
所以∠BOD＝
＝64°.
解：∠BOD＝64°.
【点拨】因为∠AOB＝α，∠COD＝β，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠COD－∠BOD＝α＋β－∠BOD.
又因为∠AOC＝n∠BOD，
所以n∠BOD＝α＋β－∠BOD，
所以∠BOD＝
(3)如图③，当∠AOB＝α，∠COD＝β，且∠AOC＝n∠BOD(n＞1)时，请直接用含有α，β，n的代数式表示∠BOD的度数．
16．(1)观察思考：如图，线段AB上有两个点C，D，图中共有多少条线段？请写出来．
解：图中共有6条线段．分别是线段AB，AC，AD，CD，CB，DB.
(2)模型构建：如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？
解：设该线段上共有x条线段，
则x＝(m－1)＋(m－2)＋(m－3)＋…＋3＋2＋1，
即x＝1＋2＋3＋…＋(m－3)＋(m－2)＋(m－1)，
所以2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m(m－1)，
所以x＝
m(m－1)．
故该线段上共有
m(m－1)条线段．
(3)拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握手多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
解：把45名同学看成直线上的45个点，每两名同学之间的1次握手看成1条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此共握手
×45×(45－1)＝990(次)．
17．如图，线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B左侧，C在D左侧)，|m－2n|＝－(6－n)2.
(1)求线段AB，CD的长．
解：因为|m－2n|＝－(6－n)2，
所以m－2n＝0，(6－n)2＝0，
所以n＝6，m＝12，所以CD＝6，AB＝12.
(2)若M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求MN的长．
解：当点C在点B右侧时，如图①，
因为M，N分别为线段AC，BD的中点，
所以AM＝
AC＝
(AB＋BC)＝8，
DN＝
BD＝
(CD＋BC)＝5，
所以MN＝AD－AM－DN＝9；
当点C在点B左侧时，如图②，
因为M，N分别为线段AC，BD的中点，
所以AM＝
AC＝
(AB－BC)＝4，
DN＝
BD＝
(CD－BC)＝1，
所以MN＝AD－AM－DN＝9.
综上，MN的长为9.(共25张PPT)
4.1 生活中的立体图形
第4章 图形的初步认识
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七年级上
1
2
棱柱；圆柱；棱锥；圆锥
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新知笔记
1
2
3
4
C
C
A
5
C
平的
圆柱；长方体；圆柱；正方体；圆锥
6
7
8
9
A
10
B
11
12
13
14
C
D
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15
B
C
①②⑤⑦⑧；④⑥；③
B
B
见习题
答案显示
16
17
见习题
见习题
18
见习题
1．生活中的立体图形主要有柱体、锥体、球体，其中柱体包括________和________，锥体包括________和________．
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
2．围成立体图形的每一个面都是________，这样的立体图形称为多面体．
平的
1．【2020?乐山市中区二模】下列几何体中，是圆锥的为( )
C
A
B
C
D
2．下列几种物体：①三棱镜；②乒乓球；③铅锤；④纸杯；⑤文具盒；⑥羽毛球，其中类似于圆锥的是( )
A．③⑤⑥
B．①②③
C．③⑥
D．④⑤
C
3．下列物体的形状不能抽象成球体的是( )
A．西红柿
B．西瓜
C．铅笔盒
D．铅球
C
4．下列立体图形中，由三个面围成的是( )
A．圆柱
B．三棱锥
C．球
D．三棱柱
A
物体
日光
灯管
课本
没有削
的铅笔
魔方
圣诞帽
类似图形
?
?
?
?
?
5．填表.
圆柱
长方体
圆柱
正方体
圆锥
6．【2021?郑州金水区期末】下列几何体中，属于柱体的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
7．【2021·重庆沙坪坝区校级期中】在下列几何体中，棱柱有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
8．如图所示的立体图形中，是柱体的有____________，是锥体的有_______，是球体的有________．(填序号)
①②⑤⑦⑧
④⑥
③
9．【2020·重庆】围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是( )
A
A
B
C
D
10．如图所示的立体图形中，不是多面体的有( )
A．①②④
B．②④⑤
C．②⑤⑥
D．①③⑥
【点拨】判断一个立体图形是不是多面体，只需看组成这个立体图形的每一个面是不是都是平的，若存在曲面，则不是多面体．
B
11．下列立体图形中，既不是柱体，又不是锥体的是( )
C
A
B
C
D
12．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们均有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱的条数相等的是( )
A．五棱柱
B．六棱柱
C．七棱柱
D．八棱柱
【点拨】根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9＋9＝18(条)棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数可得答案．
B
13．【2020·郑州中原区校级月考】一个棱柱有10个面，那么它的棱数是( )
A．16
B．20
C．22
D．24
D
14．下列说法中，正确的有( )
①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C
15．将如图所示的立体图形分类．
解：按柱体、锥体、球体划分：①②④⑥⑦是一类，即柱体，⑤是锥体，③是球体．(答案不唯一)
(4)通过对棱柱的观察，请你写出n棱柱面的个数、顶点的个数及棱的条数．
16．如图是一个三棱柱，观察这个三棱柱，回答下列问题：
(1)这个三棱柱共有多少个面？
(2)这个三棱柱共有多少条棱？
(3)这个三棱柱共有多少个顶点？
解：这个三棱柱共有5个面．
这个三棱柱共有9条棱．
这个三棱柱共有6个顶点．
n棱柱的面的个数是n＋2，顶点的个数是2n，棱的条数是3n.
17．观察如图所示的图形，然后回答下列问题：
解：相同点：底面为圆，侧面为曲面；
不同点：题图①有两个底面，题图②有一个底面．
(1)比较图①与图②的异同点；
(2)比较图①与图③的异同点；
相同点：都有两个底面，且两个底面平行且相等；
不同点：题图①的底面为圆，侧面为曲面；题图③的底面为五边形，侧面为五个长方形．
(3)比较图②与图③的异同点．
解：相同点：无；
不同点：题图②有一个底面，且底面为圆，侧面为曲面；题图③有两个底面，且底面为五边形，侧面为五个长方形．
解：如图所示，答案不唯一．
18．如图，把这个立体图形用刀切去一部分，如何把它变成三棱柱、三棱锥、四棱柱？动手试一试．(共31张PPT)
4.5 最基本的图形——点和线
2．线段的长短比较
第4章 图形的初步认识
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七年级上
1
2
(1)长度；长度
(2)AB＝CD；AB>CD；AB提示：点击
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新知笔记
1
2
3
4
C
A
C
5
A
相等
见习题
6
7
8
9
1
10
见习题
11
12
13
14
C
答案显示
15
B
C
C
C
C
见习题
见习题
答案显示
16
17
见习题
见习题
1．线段的长短比较方法：
(1)度量法：分别度量出每条线段的________，再按长度的大小，比较线段的长短，线段的长短关系和它们________的大小关系是一致的．
长度
长度
(2)叠合法：比较两条线段AB，CD的长短，可将线段AB放到线段CD上，点A和点C重合，观察另外两个端点B，D的位置，如果点B和点D重合，则_________；如果点D在线段AB内部，则___________；如果点D在线段AB外部，则____________．
AB＝CD
AB>CD
AB2．把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．
相等
1．如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是( )
A．A′B′＞AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB
D．A′B′≤AB
A
2．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
C
3．七(1)班的同学举行拔河比赛，他们想从两条绳子中挑出一条较长的绳子，比较合适的方法是( )
A．把两条绳子的一端对齐，另外两端在公共端点的同侧，然后拉直两条绳子，另一端在外面的即为长绳
B．把两条绳子接在一起
C．分别称一下两条绳子的质量
D．分别量出两条绳子的长度
A
4．如图，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是( )
A．AC＞BD
B．AC＜BD
C．AC＝BD
D．无法确定
C
5．如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规画图(保留画图痕迹)，并用字母表示出所画线段．
(1)画一条线段，使它等于a＋b；
(2)画一条线段，使它等于a－c.
解：(1)如图①，线段AC即为所求．
(2)如图②，线段EF即为所求．
6．【2021·成都武侯区期末】下列条件中能确定点C是线段AB的中点的是( )
A．AC＝BC
B．AB＝BC
C．AC＝BC＝
AB
D．AC＋BC＝AB
C
7．如图，M是线段AB的中点，N是线段AM上的任意一点，则下列结论不一定正确的是( )
A．MN＝BM－AN
B．MN＝
AB－AN
C．MN＝
AM
D．MN＝BN－AM
C
【点拨】因为E为DB的中点，且EB＝3，
所以BD＝2BE＝6.
因为线段AB＝20，C为AB的中点，所以CB＝AC＝10，
所以CD＝BC－BD＝10－6＝4.
8．如图，线段AB＝20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB＝3，则CD等于( )
A．10
B．6
C．4
D．2
C
9．【中考·日照】如图，已知AB＝8
cm，BD＝3
cm，C为AB的中点，则线段CD的长为________cm.
1
【点拨】因为C为AB的中点，AB＝8
cm，
所以BC＝
AB＝
×8＝4(cm)．
因为BD＝3
cm，所以CD＝BC－BD＝4－3＝1(cm)．
10．【2021·许昌长葛期末】如图，已知线段a和线段AB.
(1)延长线段AB到C，使BC＝a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图．
(2)在(1)的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
解：因为AB＝5，BC＝3，所以AC＝8，
因为点O是线段AC的中点，所以AO＝CO＝4，
所以BO＝AB－AO＝5－4＝1，
所以线段OB的长为1.
11．已知直线AB上有两点M，N，且MN＝8
cm，再找一点P，使MP＋PN＝10
cm，则点P( )
A．只能在直线AB上
B．只能在直线AB外
C．在直线AB上或在直线AB外
D．不存在
C
【点拨】因为图中共有6条线段，所以能量出6个长度，分别是2厘米、3厘米、5厘米、7厘米、8厘米、10厘米．故选B.
12．如图是一根长为10厘米的线段，线段有两个刻度，若把它当成尺子，量一次要量出一个长度，能量的长度共有( )
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
B
13．【2020·凉山州】点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为( )
A．10cm
B．8cm
C．10cm或8cm
D．2cm或4cm
【答案】C
14．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC＝BD，点E是线段BC的中点．
(1)点E是线段AD的中点吗？说明理由．
解：点E是线段AD的中点．理由：
因为AC＝BD，所以AB＋BC＝BC＋CD，所以AB＝CD.
因为E是线段BC的中点，所以BE＝EC.
所以AB＋BE＝CD＋EC，即AE＝ED.
所以点E是线段AD的中点．
(2)当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．
解：因为AD＝10，AB＝3，
所以BC＝AD－2AB＝10－2×3＝4.
所以BE＝
BC＝
×4＝2.
15．【2021·成都成华区期末】如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD
∶AC＝4
∶3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长．
解：因为AB＝3cm，BC＝2AB，所以BC＝6cm，
所以AC＝AB＋BC＝9cm.
因为AD
∶AC＝4
∶3，所以AD＝9×
＝12(cm)，
所以BD＝AD＋AB＝15cm，
因为点M是BD的中点，所以BM＝
BD＝
cm，
所以AM＝BM－AB＝
－3＝
(cm)．
16．如图，有两根木条，
AB长80
cm，CD长130
cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N(圆孔直径忽略不计)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？
解：当A，C(或B，D)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，如图①，MN＝CN－AM＝
CD－
AB＝65－40＝25(cm)；
当B，C(或A，D)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，如图②，MN＝CN＋BM＝
CD＋
AB＝65＋40＝105(cm)．
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25
cm或105
cm.
17．【2021·商丘柘城期末】如图，点C在线段AB上，AC＝16
cm，CB＝12
cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a
cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b
cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，直接写出你的结论．
解：如图所示，MN＝
b
cm.(共11张PPT)
专题技能训练(五)
训练1 由视图判断小正方体个数的常见类型
华师版
七年级上
第4章 图形的初步认识
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答案显示
1
2
3
4
5
8
7；10
5
C
见习题
6
7
C
A
1．如图是由若干个相同小正方体组成的几何体的三视图，这个几何体所含的小正方体有( )
A．11个
B．7个
C．5个
D．6个
【点拨】综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，因此这个几何体所含的小正方体有4＋1＝5(个)．
C
2．【2021·焦作沁阳模拟】如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数为________．
5
3．如图是由若干个相同的小立方块搭成的一个几何体的三视图，这个几何体中小立方块共有________个．
8
4．【2021·成都期末】用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得主视图和俯视图的形状如图所示，则搭出这个几何体至少需要________个小立方块，最多需要________个小立方块．
7
10
5．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示．
(1)请你画出这个几何体的其中两种左视图；
解：如图所示．(答案不唯一)
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为n，请你写出n的所有可能值．
解：因为俯视图有5个正方形，所以最底层有5个小正方体，
由主视图可知第二层最少有2个小正方体，最多有4个小正方体，第三层最少有1个小正方体，最多有2个小正方体，所以该几何体最少有5＋2＋1＝8(个)小正方体，最多有5＋4＋2＝11(个)小正方体，所以n可能为8或9或10或11.
6．【2021·郑州二七区校级月考】如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、左面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体的个数最少为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
A
7．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，其最下层放了9个小立方块，那么这个几何体的搭法共有( )
A．8种
B．9种
C．10种
D．11种
【点拨】由最下层放了9个小立方块，并结合主视图和左视图，可得俯视图(如图所示)．
a
b
c
3
d
e
f
g
4
若b为2，则a，c，d，e，f，g中可有一个为2，其余为1，共6种情况；
若a为2，则d，g中可有一个为2，其余为1，有2种情况；
若c为2，则d，g中可有一个为2，其余为1，有2种情况．
综上共有10种情况．
【答案】C(共22张PPT)
4.2 立体图形的视图
1．由立体图形到视图
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
1
2
中心投影；平行投影
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新知笔记
1
2
3
4
①②⑤
B
B
5
A
平行投影；主视图；俯视图；侧视图
见习题
6
7
8
9
C
10
A
11
12
13
14
见习题
见习题
答案显示
C
A
B
B
C
1．投影分为中心投影和平行投影．灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为__________；而太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为__________．
中心投影
平行投影
2．视图是一种特殊的________．从正面得到的投影，称为________；从上面得到的投影，称为________；从侧面得到的投影，称为________．通常将主视图、俯视图与左(或右)视图称做一个物体的三视图．
平行投影
主视图
俯视图
侧视图
1．下列光线所形成的是平行投影的是( )
A．太阳光线
B．台灯的光线
C．手电筒的光线
D．路灯的光线
A
2．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯．发出的光线所形成的投影是中心投影的是__________________．
①②⑤
3．【2020?阜新】下列立体图形中，左视图与主视图不同的是( )
B
A
B
C
D
4．【中考?天门】如图所示的正六棱柱的主视图是( )
B
A
B
C
D
5．画出如图所示几何体的三视图．
解：如图所示．
6．【2020·辽阳】如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是( )
C
A
B
C
D
7．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )
B
A
B
C
D
8.
【2020·梧州】如图是由五个完全一样的立方体搭建而成的立体图形，它的左视图是( )
B
A
B
C
D
9．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走向B处的过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
【点拨】中心投影的特点是等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源远的物体影子长．
C
10．【2020?青岛】如图所示的几何体，其俯视图是( )
A
A
B
C
D
【点拨】一个几何体恰好无缝隙地以三种不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，即这个几何体的三视图分别是正方形、圆和三角形．选项A的主视图是正方形，左视图是三角形，俯视图是圆．故选A.
11．如图，有一个几何体恰好无缝隙地以三种不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )
A
A
B
C
D
12．用12个棱长为1的小正方体搭成的几何体如图所示，标有正确小正方体个数的俯视图和此几何体的表面积是( )
C
13．【2021·郑州中原区校级月考】如图是由9个相同的棱长为2
cm的小立方体组成的一个几何体．
(1)请在下面的网格图中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
解：如图所示．
(2)计算这个几何体的表面积(含底面)．
6×6×(2×2)＝144(cm2)．
答：这个几何体的表面积(含底面)是144cm2.
14．按要求完成下列问题(其中小正方体的棱长为1)．
(1)如图①，它是由六个同样大小的小正方体摆成的几何体．将最右边的小正方体移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，哪一个视图没有发生改变？
解：将最右边的小正方体移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变．
(2)如图②，请你借助虚线网格(图④)画出该几何体的俯视图，该几何体的体积为________．
解：如图①所示.
7
(3)如图③，它是由几个同样大小的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方体的个数，请你借助虚线网格(图⑤)画出该几何体的主视图．
解：如图②所示．(共25张PPT)
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
4.3 立体图形的表面展开图
1
2；1；1；1
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新知笔记
1
2
3
4
C
B
C
5
A
①圆柱 ②圆锥 ③长方体 ④三棱柱 ⑤四棱锥⑥三棱锥
2
长方形；扇形
6
7
8
9
D
10
B
11
12
13
14
真
A
答案显示
15
C
B
B
A
D
见习题
答案显示
16
见习题
1．圆柱的表面展开图是由________个圆和________个长方形组成的；圆锥的表面展开图是由________个圆和________个扇形组成的．
2
1
1
1
2．圆柱的侧面展开图是____________，圆锥的侧面展开图是____________．
长方形
扇形
1．【2020·泰州】把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．三棱锥
D．四棱锥
A
2．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
C
A
B
C
D
3．【中考·连云港】一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是( )
【点拨】由侧面展开图可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选B.
A
B
C
D
B
4．【中考·南充】如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是( )
C
A
B
C
D
①____________；②____________；③____________；
④____________；⑤____________；⑥____________.
5．如图是某些几何体的表面展开图，请在横线上写出这些几何体的名称：
圆柱
圆锥
长方体
三棱柱
四棱锥
三棱锥
6．【2020?绵阳】下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是( )
D
A
B
C
D
7．【中考·河北】如图(1)(2)中所有的正方形大小都相同，将图(1)的正方形放在图(2)中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
A
【点拨】展开图中“点”与“春”是相对面，“亮”与“想”是相对面，“青”与“梦”是相对面．故选B.
8．【中考·山西】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是( )
A．青
B．春
C．梦
D．想
B
9．【2020·天水】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对的面上的汉字是( )
A．文
B．羲
C．弘
D．化
D
10．如图，添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法有( )
A．7种
B．4种
C．3种
D．2种
A
【点拨】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，不同的添法共有4种，即在没有小正方形的一侧，每一个长方形的宽的左边添加都可以．
11．【中考·济宁】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是( )
B
12．毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校．现用一个如图所示的正方体盒子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则此包装盒的展开图(不考虑文字方向)不可能是( )
C
A
B
C
D
13．【2020·江西】如图所示的正方体的表面展开图为( )
A
A
B
C
D
【点拨】由展开图可知，“世”和“彩”相对，“界”和“真”相对，“杯”和“精”相对，正方体依次翻到第3格时，“界”在下面，则这时正方体朝上的一面的字是“真”．
14．如图①所示是一个正方体的展开图，正方体从图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时正方体朝上的一面的字是________．
真
15．【2021·达州达川区校级月考】如图是一个正方体盒子的展开图，若展开图折成正方体后相对面上的两个数互为相反数．
(1)分别求出x，y，z的值；
解：易知“x”与“0”所在的面是相对面，
“y”与“－20”所在的面是相对面，
“z”与“18”所在的面是相对面，
因为折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，
所以x＝0，y＝20，z＝－18.
(2)求x＋y－z的倒数．
解：由(1)知x＋y－z＝0＋20＋18＝38，
所以x＋y－z的倒数是
.
16．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：
颜色
红
黄
蓝
白
紫
绿
花的朵数
1
2
3
4
5
6
现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个水平放置的长方体(如图)，问：长方体的下底面共有多少朵花？
解：由题意，可得右数第一个正方体的下底面为白色，第二个正方体的下底面为绿色，第三个正方体的下底面为黄色，第四个正方体的下底面为紫色，那么长方体的下底面共有4＋6＋2＋5＝17(朵)花．(共27张PPT)
4.5 最基本的图形——点和线
1．点和线
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
1
2
一方；两方
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新知笔记
1
2
3
4
A
D
6
5
B
长度；线段；线段
见习题
3
一；一；一
6
7
8
9
两点确定一条直线
10
1或3
11
12
13
14
3
答案显示
15
C
C
③④
B
B
见习题
答案显示
16
17
见习题
见习题
1．把线段向________无限延伸所形成的图形叫做射线，把线段向________无限延伸所形成的图形叫做直线．
一方
两方
2．连结两点的线段的________叫做这两点间的距离．两点间的距离是一个数，它不是线段．两点之间的所有连线中，________最短．即两点之间，________最短．
长度
线段
线段
3．经过两点有________条直线，并且只有________条直线．即两点确定________条直线．
一
一
一
1．下列表示方法不正确的是( )
B
2．下列图形中直线AB，线段CD，射线EF不可能相交的是( )
A
A
B
C
D
3．【2021·长沙岳麓区校级月考】如图，下列说法正确的是( )
A．点O在线段AB上
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线
D．图中共有3条线段
D
4．如图，以A，B，C，D为端点的线段共有________条．
【点拨】图中的线段有：线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD，共6条．
6
5．【2021·驻马店汝南期末】点A，B，C，D的位置如图所示，按下列要求作出图形．
(1)作直线AB、直线CD，它们相交于点E；
(2)连结AC，连结BD，它们相交于点O；
(3)作射线AD、射线BC，它们相交于点F.
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)如图所示．
6．【2021·重庆九龙坡区校级期末】如图，从A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线a，b，c，则从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．直线比曲线短
B
7．如图所示，从A地到达B地，最短的路线是( )
A．A→C→E→B
B．A→E→B
C．A→D→E→B
D．以上均可
B
8．下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有____________．(填序号)
③④
9．【2021·吉林期末】整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌便整整齐齐摆在了一条线上，这其中蕴含的数学道理是_________________________．
两点确定一条直线
10．【2021·成都锦江区期末】经过平面内任意三点中的两点共可以画出________条直线．
1或3
11．【2021·成都锦江区校级期末】下列说法正确的是( )
A．延长射线AB到C
B．若AM＝BM，则M是线段AB的中点
C．两点确定一条直线
D．过三点能作且只能作一条直线
C
12．如图，小明从家到学校有①②③三条路线可走，则最短路线为( )
A．①
B．②
C．③
D．三条路线一样长
C
13．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有______条．
【点拨】如图所示．
3
14．下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
图形
…
直线条数
2
3
4
…
最多交
点个数
1
3＝1＋2
6＝1＋2＋3
…
按此规律，6条直线相交，最多有_______个交点；n(n≥2，且n为正整数)条直线相交，最多有__________个交点．
15
15．往返于A，B两地的客车，途中要停靠C，D两个车站，如图所示．
(1)需要设定几种不同的票价？
解：题图中共有6条线段，故需要设定6种不同的票价．
(2)需要准备多少种车票？
解：因为车票有来向和去向之分，所以需要准备12种车票．
16．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和OA＋OB＋OC＋OD最小，并说明你作图的理由．
解：要使OA＋OB＋OC＋OD最小，则点O是线段AC，BD的交点．如图所示，点O即为所求．
理由如下：如图，如果存在不同于点O的交点P，连结PA，PB，PC，PD，根据两点之间线段最短，得PA＋PC＞AC，
即PA＋PC＞OA＋OC，
同理，PB＋PD＞OB＋OD，
所以PA＋PB＋PC＋PD＞OA＋OB＋OC＋OD，
所以点O是线段AC，BD的交点时，OA＋OB＋OC＋OD之和最小．
17．如图所示．
(1)试验观察：
每过两点可以画1条直线，则
第①组最多可以画________条直线；
第②组最多可以画________条直线；
第③组最多可以画________条直线．
3
6
10
(3)解决问题：
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握________次手．
(2)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3，且n为正整数)个点，且每3个点均不在同一直线上，那么最多可以画___________(用含n的代数式表示)条直线．
990(共27张PPT)
4.6 角
1．角
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
1
2
端点；端点
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新知笔记
1
2
3
4
B
B
∠α；∠ABC(或∠ABF)；∠ACB(或∠ACE)；∠ACF
5
B
锐角；直角；钝角；平角；周角
D
3
60；60
6
7
8
9
D
10
B
11
12
13
14
A
C
答案显示
15
见习题
A
C
C
D
6；30；100°
答案显示
16
17
见习题
见习题
18
见习题
1．角可以看成是由一条射线绕着它的________旋转而成的图形．射线的________叫做角的顶点．
端点
端点
2．角的分类：大于0°，且小于90°的角是________，等于90°的角是________，大于90°，且小于180°的角是________，等于180°的角是________，等于360°的角是________．
锐角
直角
钝角
平角
周角
3．度、分、秒是常用的角的度量单位.1°＝______′，1′＝________″.
60
60
1．下列对角的表示方法理解错误的是( )
A．角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间
B．任何角都可以用一个字母表示
C．记角时可靠近顶点处加上弧线，注上数字来表示
D．记角时可靠近顶点处加上弧线，注上希腊字母来表示
B
2．【2021·许昌长葛期末】下列图中，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的是( )
B
A
B
C
D
3．如图所示，下列表示角的方法，错误的是( )
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角，即∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
B
表示方法1
∠ABE
?
?
?
表示方法2
?
∠1
∠2
∠3
4．如图，请根据角的不同表示方法填写下表．
∠α
∠ABC
(或∠ABF)
∠ACB
(或∠ACE)
∠ACF
5．小于平角的角可分为( )
A．锐角、钝角
B．直角、平角
C．钝角、周角
D．锐角、直角与钝角
D
6．两个锐角的和( )
A．一定是锐角
B．一定是直角
C．一定是钝角
D．可能是钝角、直角或锐角
【点拨】设这两个锐角分别为α和β，则0°＜α＋β＜180°，所以两个锐角的和可能是钝角、直角或锐角．故选D.
D
7．下列关于平角、周角的说法正确的是( )
A．平角是一条直线
B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就形成一个平角
D．两个锐角的和不一定小于平角
C
8．1.5°＝( )
A．15′
B．150′
C．90′
D．9′
C
9．【中考·百色】下列关系式正确的是( )
A．35.5°＝35°5′
B．35.5°＝35°50′
C．35.5°<35°5′
D．35.5°>35°5′
D
10．如图，9点30分时，钟面上分针与时针所成角的度数为( )
A．90°
B．105°
C．120°
D．135°
B
11．【2021·郑州巩义期末】如图，OA是表示北偏东40°方向的一条射线，∠AOB＝90°，则OB表示的方向是( )
A．南偏东50°
B．南偏东40°
C．东偏南50°
D．南偏西50°
A
12．如图，指出OA是表示什么方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的射线：
(1)北偏东65°方向的OB；
(2)南偏西50°方向的OC；
(3)西北方向的OD.
解：OA表示的方向是北偏东30°方向．
(1)(2)(3)如图所示．
13．下列说法错误的是( )
A．∠AOB的顶点是点O
B．∠AOB的两边是两条射线
C．射线BO、射线AO分别是∠AOB的边
D．∠AOB与∠BOA表示同一个角
C
14．【2021·南阳淅川期末】如图，海平面上有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°的方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东80°的方向上，则灯塔的位置可以是( )
A．点O1
B．点O2
C．点O3
D．点O4
A
15．【2021·鹤壁淇滨区校级月考】时钟的分针每分钟转过的角度是________°，时针每小时转过的角度是_______°，4时40分，时针与分针的夹角是______．
6
30
100°
16．观察如图所示的图形，回答下列问题：
(1)以A为顶点的角有多少个？把它们分别表示出来．
解：以A为顶点的角有6个，分别是∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠DAE，∠DAC，∠EAC.
(2)能用一个大写字母表示的角有多少个？把它们分别表示出来．
能用一个大写字母表示的角有2个，分别是∠B，∠C.
(3)一条边经过A点(不包括以A为顶点)的角有多少个？把它们分别表示出来．
解：一条边经过A点(不包括以A为顶点)的角有6个，分别是∠B，∠BDA，∠ADE，∠AED，∠AEC，∠C.
17．【2021·长春南关区期末】如图，在某地区的一张地图上有学校、超市、公园三地，由于地图被墨迹污染，公园的具体位置看不清楚了，已知公园在学校的南偏西45°的方向上，在超市的北偏东60°的方向上，根据上述信息，请你找出公园的具体位置．
解：如图所示，点P即为公园的具体位置．
解：图①中有1个角．
18．观察如图所示的图形，回答下列问题：
(1)图①中有几个角？
(2)图②中有几个角？
(3)图③中有几个角？
图②中有3个角．
图③中有6个角．
(4)以此类推，如图④，若一个角内有n条射线，请直接写出此时共有多少个角．
【点拨】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．此题的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与(n－1)条射线构成了(n－1)个角，则共有n(n－1)个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总个数为
.(共11张PPT)
专题技能训练(五)
训练2 有关正方体展开图的常见类型
华师版
七年级上
第4章 图形的初步认识
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1
2
3
4
C
见习题
C
5
C
见习题
6
7
见习题
见习题
1．【2021·驻马店汝南期末】下列图形中，是正方体的展开图的是( )
C
A
B
C
D
2．下列图形中，不是正方体表面展开图的是( )
C
A
B
C
D
3．如图所示，用标有数字1，2，3，4的四个正方形，以及标有字母A，B，C，D，E，F，H的七个正方形中任意一个，连在一起并折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．例如：(1，2，3，4，F)
解：一共有5种不同的方法：(1，2，3，4，A)，(1，2，3，4，B)，(1，2，3，4，C)，(1，2，3，4，D)，(1，2，3，4，E)．
4．【2021·重庆北碚区期末】如图是一个表面分别标有“郑”“州”“中”“心”“城”“市”字样的正方体的展开图，则在原正方体中，与“州”相对的字是( )
A．中
B．心
C．城
D．市
C
5．【2021·福州晋安区期末】如图，纸板上有5个小正方形．
(1)请你再添加1个小正方形，使这6个小正方形能折叠成一个正方体；
解：如图所示．(答案不唯一)
(2)若折叠成的正方体相对面上的两个数互为相反数，求x，y的值．
解：根据题意，得3x＋1＋x＋3＝0，x＋y＝0，
解得x＝－1,
y＝1.
6．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，根据如图所示的三个图中所写数字想一想，“？”处的数字是什么？
解：由题图①②可知标1的面与标2，3，5，4的面相邻，所以标1的面与标6的面相对；由题图②③可知标3的面与标1，2，5的面相邻，所以标3的面与标4的面相对；由题图①③可知标5的面与标1，3，4的面相邻，所以标5的面与标2的面相对；所以“？”处的数字是6.
7．一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在这个正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来，这样的最短路线有几条？(提示：两点之间，线段最短)
解：如图所示，最短路线有6条．(共25张PPT)
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
4.4 平面图形
1
曲线；线段
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新知笔记
1
2
3
4
B
圆；三角形；正方形
B
5
D
B
2
边的条数；三角形
6
7
8
9
见习题
10
D
11
12
13
14
③
B
答案显示
15
C
B
C
见习题
19
②
答案显示
16
见习题
1．圆是由________围成的封闭图形，多边形是由________围成的封闭图形．
曲线
线段
2．按照组成多边形的____________，可将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等，________是最基本的多边形．
边的条数
三角形
1．【2021·广西贺州月考】下面的四个几何图形中，是平面图形的是( )
D
A
B
C
D
2．下列图形中，不是多边形的是( )
B
A
B
C
D
3．如图是小明为班级报刊设计的图案，则图案中的平面图形有________、________、________．
圆
三角形
正方形
4．从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，可以得到的三角形个数为( )
A．6
B．5
C．8
D．7
B
5．【2021·天津和平区校级期末】在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
B
6．【2021·成都邛崃期末】从n边形的一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝________．
19
【点拨】从n边形的一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成(n－2)个三角形，所以n－2＝17，所以n＝19.
7．如图，从一个多边形的某一条边上任取一点(不与端点重合)，分别连结这个点与所有顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，以三角形、四边形、五边形为例进行探究，你能求出八边形被分成多少个三角形吗？n边形呢？
解：
八边形被分成7个三角形，n边形被分成(n－1)个三角形．
8．将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成如图所示的图案的是( )
C
9．如图是两个大小完全相同的直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的多边形？请你画出拼成的图形．
解：能拼成6种不同形状的多边形，如图所示．
10．如图所示图形中，长方形有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
D
11．如图甲所示，用边长为4的正方形做了一副七巧板，拼成如图乙所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积是( )
A．4
B．8
C．12
D．16
B
12．长方形剪去一个角后所得的图形一定不是( )
A．五边形
B．梯形
C．长方形
D．三角形
C
【点拨】当沿着经过长方形对角两个顶点的直线剪去一个角时，所得图形为三角形；
当沿着经过长方形一组对边的直线剪去一个角时，所得图形是梯形；
当沿着经过长方形一组邻边的直线剪去一个角时，所得图形是五边形．故不可能是长方形．
13．用M，N，P，Q代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种．如图所示图形是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．
A
B
C
D
则下列组合图形中，表示P&Q的是( )
【点拨】由题图可知P代表圆，M代表正方形，N代表正三角形，Q代表线段，则P，Q组合而成的图形是圆加线段．
B
【点拨】仔细观察题图方框中上两行，最右边的图案是左边两个图案的叠加，根据这一特点，即可得解．
14．如图，从方框外的图形中挑选合适的图形放在方框内的横线上，你挑的是________．(填序号)
③
15．将如图所示的长方形按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是________．(填序号)
②
16．【2021·成都成华区期末】如图，以n边形的n个顶点和它内部的m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：
(1)填表：
6
8
(2)三角形内部有m个点，则原三角形被分割成__________个互不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成____________个互不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成____________个互不重叠的小三角形；
(2m＋1)
(2m＋2)
(2m＋n－2)
(3)若某个多边形内部的点的个数为其顶点数的五分之一，分割成的互不重叠的小三角形共有2
021个，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为x，则它内部的点的个数为
x，
根据题意，得2×
x＋x－2＝2
021，
解得x＝1
445.
答：这个多边形的边数为1
445.(共30张PPT)
全章整合与提升
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七年级上
第4章 图形的初步认识
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1
2
3
4
B
①；④；②③
C
5
B
D
6
7
8
9
见习题
10
见习题
C
见习题
见习题
11
12
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见习题
见习题
1．下列图形中，是立体图形的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
B
2．【2020·衡阳】下列不是三棱柱展开图的是( )
B
A
B
C
D
3．如图，将一副三角板按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是________，∠α与∠β互补的是________，∠α与∠β相等的是________．(填序号)
【点拨】①根据平角的定义得∠α＋90°＋∠β＝180°，所以∠α＋∠β＝90°，即∠α与∠β互余．
②根据同角的余角相等得∠α＝∠β.
③根据三角板的特点和摆放位置得∠α＋45°＝180°，∠β＋45°＝180°，所以∠α＝∠β.
④根据图形可知∠α与∠β是邻补角．
【答案】①；④；②③
4．在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是( )
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
C
5．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A．两直线相交只有一个交点
B．两点确定一条直线
C．经过一点有无数条直线
D．两点之间，线段最短
D
6．【2021·长沙天心区期末】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且AB
∶BC
∶CD＝2
∶3
∶5，BC＝6.
(1)求线段AB，CD的长；
解：因为AB
∶BC
∶CD＝2
∶3
∶5，BC＝6，
所以AB＝4，CD＝10.
(2)若在直线上存在一点M使得AM＝2，求线段DM的长．
解：因为AB＝4，CD＝10，BC＝6，
所以AD＝AB＋BC＋CD＝20.
若点M在点A左侧，则DM＝AM＋AD＝22；
若点M在点A右侧，则DM＝AD－AM＝18.
综上所述，线段DM的长为22或18.
7．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)如图，若OC在∠AOB内，探究∠MON与∠AOB的数量关系；
(2)若OC在∠AOB外，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系(提示：分三种情况讨论)．
8．【2020·广安】如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )
A
B
C
D
C
9．(1)若直线l上有2个点，一共有
________条线段；
若直线l上有3个点，一共有________条线段；
若直线l上有4个点，一共有________条线段；…；
若直线l上有n个点，一共有____________条线段．
1
3
6
(2)不在一条直线上，有公共顶点的2条射线可以组成________个小于平角的角；
不在一条直线上，有公共顶点的3条射线可以组成________个小于平角的角；
不在一条直线上，有公共顶点的4条射线可以组成________个小于平角的角；…；
不在一条直线上，有公共顶点的n条射线可以组成____________个小于平角的角．
1
3
6
(3)你学过的知识里还有满足类似规律的吗？试着写一个．
解：答案不唯一，例如：平面上有n个点，最多能画出
n(n－1)条直线．
10．如图，线段AB的长度是x
cm，线段BC的长度比线段AB长度的2倍多1
cm，线段AD的长度比线段BC长度的2倍少1
cm，若图形中所有线段之和为50
cm，求线段BC，AD和CD的长．
解：根据题意，得BC＝(2x＋1)cm，
AD＝2BC－1＝2(2x＋1)－1＝4x＋1(cm)，
CD＝DA＋AB＋BC＝(4x＋1)＋x＋(2x＋1)＝7x＋2(cm)，
因为所有线段之和为50
cm，
所以AD＋BD＋CD＋AB＋AC＋BC＝AD＋AD＋AB＋CD＋AB＋AB＋BC＋BC＝2AD＋3AB＋2BC＋CD＝2(4x＋1)＋3x＋2(2x＋1)＋7x＋2＝50，
解得x＝2，所以BC＝5
cm，AD＝9
cm，CD＝16
cm.
11．一条笔直的街道上从西到东依次有A，B，C三个居民小区，其中A，B两个居民小区相距3千米，B，C两个居民小区相距5千米，光明饮品公司想在这条街道上设立一个服务站Q，使得服务站Q到A，B，C三个居民小区的距离之和等于9千米，你能帮助光明饮品公司确定服务站Q的位置吗？请简要进行分析并说明结果．
解：当服务站Q在AB之间时，设AQ＝x千米，
则x＋(3－x)＋(3－x)＋5＝9，
解得x＝2，所以AQ＝2千米，
当服务站Q在BC之间时，设BQ＝y千米，
则(3＋y)＋y＋(5－y)＝9，
解得y＝1，所以BQ＝1千米，所以AQ＝4千米，
故服务站Q的位置在A居民小区的东2千米或4千米处．
12．【2021·成都期末】如图①，在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC(点C在直线AB上方)，且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
(1)求∠COD的度数；
解：因为∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，
所以∠BOC＝120°.
易得∠BOD＝180°－∠MON＝90°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝30°.
(2)如图②，将∠MON绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜180°)，若三条射线OD，OC，OA，当其中的一条射线将另外两条射线所夹角分成的两角的度数之比为1
∶
2时，求∠BON的度数．
解：由(1)知∠BOC＝120°，所以∠AOC＝
∠BOC＝60°.
若射线OC在∠AOD内，则∠COD＝30°，
易得α＝0°，不符合题意．
若射线OD在∠AOC内，
如图①，当∠AOD＝2∠COD时，
因为∠AOC＝60°，所以∠COD＝20°，
易得α＝20°＋30°＝50°，
所以∠BON＝90°－50°＝40°；
如图②，当∠COD＝2∠AOD时，
因为∠AOC＝60°，所以∠COD＝40°，
易得α＝40°＋30°＝70°，
所以∠BON＝90°－70°＝20°.
若射线OA在∠COD内，
如图③，当∠AOC＝2∠AOD时，
因为∠AOC＝60°，所以∠AOD＝30°，
因为∠AOD与∠BON均为∠BOD的补角，
所以∠BON＝∠AOD＝30°.
如图④，当∠AOD＝2∠AOC时，因为∠AOC＝60°，
所以∠AOD＝120°，易得α＝180°不符合题意．
综上所述，∠BON的度数为40°或20°或30°.(共27张PPT)
专题技能训练(六)
训练 线段与角的计算问题
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第4章 图形的初步认识
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1
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见习题
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5
见习题
见习题
6
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见习题
见习题
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见习题
1．【2021·长春宽城区期末】如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上的一点，点E是线段DB的中点，AB＝20，EB＝3.
(1)求线段DB的长；
解：因为点E是线段DB的中点，
所以DB＝2EB＝2×3＝6.
(2)求线段CD的长．
解：因为点C是线段AB的中点，
所以CB＝
AB＝
×20＝10.
所以CD＝CB－DB＝10－6＝4.
2．【2021·太原期末】如图，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长．
解：因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝
AB＝4cm.
因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝
AC＝1.6cm，
所以MN＝AM－AN＝4－1.6＝2.4(cm)．
3．如图，∠AOB＝115°，∠EOF＝155°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF.求：
(1)∠AOE＋∠FOB度数；
解：∠AOE＋∠FOB＝∠EOF－∠AOB＝
155°－115°＝40°.
(2)∠COD度数．
解：因为OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，
所以∠AOE＝∠AOC，∠DOB＝∠FOB.
所以∠AOE＋∠FOB＝∠AOC＋∠DOB.
所以∠COD＝∠AOB－(∠AOC＋∠DOB)＝∠AOB－(∠AOE＋∠FOB)＝115°－40°＝75°.
4．已知∠AOB和∠AOC是同一个平面内的两个角，OD是∠BOC的平分线．
(1)若∠AOB＝50°，∠AOC＝70°，如图①②，求∠AOD的度数；
解：题图①：∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝20°.
因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝
∠BOC＝10°，
所以∠AOD＝∠AOC－∠COD＝60°.
题图②：∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝120°.
因为OD是∠BOC的平分线，所以∠BOD＝
∠BOC＝60°，
所以∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝10°.
(2)若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，其中0＜m＜90，0＜n＜90且m＜n，请直接写出∠AOD的度数(结果用含m，n的代数式表示)．
5．已知线段AB＝10
cm，直线AB上有一点C，且BC＝2
cm，点D是线段AB的中点，求线段DC的长．
解：当点C在线段AB的延长线上时，如图①，
因为点D是线段AB的中点，所以BD＝
AB＝
×10＝5(cm)．
所以DC＝DB＋BC＝5＋2＝7(cm)．
当点C在线段AB上时，如图②，
因为点D是线段AB的中点，所以BD＝
AB＝
×10＝5(cm)．
所以DC＝DB－BC＝5－2＝3(cm)．
综上，线段DC的长为7
cm或3
cm.
6.已知∠BOC
在∠AOB
的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．
解：当∠AOB大于∠BOC时，如图①，因为OE平分∠AOB，
所以∠BOE＝∠AOE＝30°.
因为∠BOD＝20°，所以∠DOE＝10°，所以∠AOD＝40°.
因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOD＝40°，
所以∠BOC＝∠COD－∠BOD＝20°，
因为OF平分∠BOC，
所以∠COF＝
∠BOC＝
×20°＝10°.
当∠AOB小于∠BOC时，如图②，因为OE平分∠AOB，
所以∠BOE＝∠AOE＝30°.
因为∠BOD＝20°，所以∠AOD＝80°.
因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOD＝80°，
所以∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝100°.
因为OF平分∠BOC，所以∠COF＝
∠BOC＝
×100°＝50°.
综上，∠COF的度数为10°或50°.
7．如图①，已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从M，B出发以1
cm/s，3
cm/s的速度沿直线BA向左运动．
(1)若AB＝10
cm，当点C，D运动了2
s时，求AC＋MD的值；
解：当点C，D运动了2
s时，CM＝2
cm，BD＝6
cm
，
所以AC＋MD＝AB－CM－BD＝10－2－6＝2(cm)．
(2)若点C，D运动时，总有MD＝3AC，则AM＝______AB；
【点拨】因为C，D两点的速度分别为1
cm/s，3
cm/s，
所以BD＝3CM.
又因为MD＝3AC，所以BD＋MD＝3CM＋3AC，即BM＝3AM，
所以AM＝
AB.
解：当点N在线段AB上时，如图①.
因为AN－BN＝MN,
AN－AM＝MN，
所以BN＝AM＝
AB，所以MN＝
AB，即
当点N在线段AB的延长线上时，如图②.
因为AN－BN＝MN，AN－BN＝AB，
所以MN＝AB，即
＝1.
综上所述，
的值为
或1.
8．【2021·成都温江区校级月考】如图①，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝
∠AOC，∠BON＝
∠BOD.(本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
(1)将∠COD绕点O逆时针旋转使OC与OB重合，如图②，则∠MON＝________°；
100
(2)将∠COD从如图②所示的位置绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60)，求∠MON的度数；
解：易知∠MOC＝
∠AOC，∠DON＝
∠BOD.
当0＜n＜60时，如图①，
由题意知∠BOC＝n°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝120°－n°，
∠BOD＝∠COD－∠BOC＝60°－n°，
所以∠MON＝∠MOC＋∠BOC＋∠BON＝
(120°－n°)＋n°＋
(60°－n°)＝100°；
当60＜n＜120时，如图②，
由题意知∠BOC＝n°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝120°－n°，
∠BOD＝∠BOC－∠COD＝n°－60°，
所以∠MON＝∠MOC＋∠COD＋∠DON＝
(120°－n°)＋60°＋
(n°－60°)＝100°.
综上所述，∠MON的度数为100°.
(3)将∠COD从如图②所示的位置绕点O顺时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60)，直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n的值．
【点拨】当0＜n＜60时，如图③，
由题意知∠BOC＝n°，
所以∠MON＝2∠BOC＝2n°，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋60°，
所以∠MON＝∠MOC＋∠COD－∠DON＝
(120°＋n°)＋60°－
(n°＋60°)＝100°，
所以2n＝100，所以n＝50；
当60＜n＜120时，如图④，由题意知∠BOC＝n°，
所以∠MON＝2∠BOC＝2n°，∠AOC＝360°－(∠AOB＋∠BOC)＝360°－(120°＋n°)＝240°－n°，∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝n°＋60°，
所以∠MON＝360°－∠AOM－∠AOB－∠BON＝360°－
(240°－n°)－120°－
(60°＋n°)＝140°，
所以2n＝140，所以n＝70.
综上所述，n的值为50或70.
解：n的值为50或70.(共31张PPT)
4.6 角
3．余角和补角
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
1
2
90°
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新知笔记
1
2
3
4
B
A
C
5
B
180°
见习题
3
相等；相等
6
7
8
9
D
10
A
11
12
13
14
见习题
C
答案显示
15
C
见习题
C
C
C
见习题
答案显示
16
17
见习题
见习题
1．两个角的和等于________，就说这两个角互为余角，简称互余．
90°
2．两个角的和等于________，就说这两个角互为补角，简称互补．
180°
3．同角或等角的余角__________，同角或等角的补角__________．
相等
相等
1．【2020·陕西】若∠A＝23°，则∠A的余角的大小是( )
A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
B
2．【2020·嘉峪关】若α＝70°，则α的补角的度数是( )
A．130°
B．110°
C．30°
D．20°
B
3．如图，∠ACE的补角、余角分别是( )
A．∠ECB，∠ECD
B．∠ECD，∠ECB
C．∠ACB，∠ACD
D．∠ACD，∠ACB
A
4．下列说法中，正确的是( )
A．若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角
B．若∠1是∠2的补角，则∠1一定是钝角
C．若∠1是∠2的余角，则∠1一定是锐角
D．若∠1是∠2的余角，则∠1一定小于∠2
【点拨】若两个角的和等于180°，则这两个角互补，故A错误；一个角的补角可以是锐角、直角或钝角，故B错误；若∠1是∠2的余角，则∠1不一定小于∠2，也可以等于或大于∠2，故D错误．故选C.
【答案】C
5．如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝25°，求∠COD的度数．
解：因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠BOC＝∠AOB＝25°，
因为∠AOB与∠BOD互为余角，
所以∠BOD＝90°－∠AOB＝90°－25°＝65°，
所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝65°－25°＝40°.
6．下列说法错误的是( )
A．同角或等角的余角相等
B．同角或等角的补角相等
C．两个锐角的余角相等
D．两个直角的补角相等
C
7．若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是( )
A．互余
B．互补
C．相等
D．∠α＝90°＋∠γ
C
8．【2020·十堰】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC＝130°，则∠BOD＝( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
C
9．如图，光线照到平面镜AB上发生反射，已知∠AOC＝90°，∠DOC＝∠COE，下列判断不一定正确的是( )
A．∠AOD＝∠BOE
B．∠DOC＋∠BOE＝90°
C．∠AOE＝∠BOD
D．∠DOC＋∠COE＝90°
D
10．【中考·德州】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
A
11．将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．
(1)如图①，CD平分∠ECB，求∠ACB与∠DCE的和；
解：因为CD平分∠ECB，∠ACD＝∠BCE＝90°，
所以∠BCD＝∠DCE＝45°.
所以∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝90°－45°＝45°.
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋90°＝135°.
所以∠ACB＋∠DCE＝135°＋45°＝180°.
(2)如图②，若CD不平分∠ECB，请你直接写出∠ACB与∠DCE之间的数量关系(不要求说出理由)．
【点拨】因为∠BCE＝90°，
所以∠ECD＋∠DCB＝90°.
所以∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠BCD＋∠DCE＝90°＋90°＝180°.
解：∠ACB＋∠DCE＝180°.
【点拨】因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAD＝90°，∠B＋∠C＝180°－90°＝90°.因为∠CDA＝90°，所以∠C＋∠CAD＝90°，∠BDA＝90°，所以∠B＋∠BAD＝90°.故选C.在找互补或互余的两角时，要做到不重不漏．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠CDA＝90°，则互为余角的角有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
C
13．【2020·自贡】如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是( )
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
C
14．【2021·许昌长葛期末】如图，直线AB，CD相交于点O，OA是∠EOC的平分线，∠EOD＝100°.
(1)请写出∠BOC的一个补角；
解：∠BOC的补角为∠AOC.(答案不唯一)
(2)求∠BOD的度数．
解：根据“同角的补角相等”得∠BOD＝∠AOC.
因为∠EOD＝100°，∠EOD＋∠EOC＝180°，
所以∠EOC＝180°－∠EOD＝180°－100°＝80°.
因为OA是∠EOC的平分线，
所以∠AOC＝
∠EOC＝40°.
所以∠BOD＝40°.
15．如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠DOE＝90°.
(1)写出∠COD的余角和补角．
解：∠COD的余角是∠AOD和∠COE，补角是∠AOE.
(2)∠AOD和∠COE相等吗？为什么？除90°的角外，还有哪些相等的角？
解：相等．理由如下：
因为点O为直线AB上一点，所以∠AOB＝180°.
又因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.
所以∠AOD＋∠COD＝90°.
因为∠DOE＝90°，所以∠COE＋∠COD＝90°.
所以∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)．
除90°的角外，相等的角还有∠BOE＝∠COD.
16．如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
(1)若∠AOC＝30°，求∠BOD的度数；
解：因为A，O，B三点在同一直线上，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以∠AOC与∠BOC互补．
又因为∠BOD与∠BOC互补，
所以∠BOD＝∠AOC＝30°.
(2)已知OM平分∠AOC，若射线ON在∠COD的内部，且满足∠AOC与∠MON互余，试探究∠MON与∠DON之间有怎样的数量关系，并说明理由．
解：2∠DON－∠MON＝90°.
理由：如图，设∠AOM＝α，因为OM平分∠AOC，
所以∠AOC＝2∠AOM＝2α.
因为∠AOC与∠MON互余，
所以∠AOC＋∠MON＝90°.
所以∠MON＝90°－2α.
因为∠BOD与∠BOC互补，所以∠BOD＋∠BOC＝180°.
又∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝∠AOC＝2α，
所以∠DON＝180°－∠AOM－∠MON－∠BOD＝180°－α－(90°－2α)－2α＝90°－α.
所以2∠DON＝2(90°－α)＝180°－2α＝90°＋90°－2α.
所以2∠DON－∠MON＝90°.
17．已知∠AOB＝70°，∠BOC与∠AOB互余，∠BOD与∠AOB互补，OE平分∠COD.画出所有符合条件的图形，并从画出的图形中任选一个图形，求出∠AOE的度数，其余图形直接写出∠AOE的度数．
解：符合条件的图形有四个，如图所示．
如图①，因为∠AOB＝70°，
∠BOC与∠AOB互为余角，
∠BOD与∠AOB互为补角，
所以∠BOC＝90°－70°＝20°，
∠BOD＝180°－70°＝110°，
所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝110°－20°＝90°.
因为OE平分∠COD，所以∠COE＝
∠EOD＝45°，
所以∠AOE＝∠COE＋∠BOC＋∠AOB＝45°＋20°＋70°＝135°.
图②中∠AOE＝115°，
图③中∠AOE＝25°，图④中∠AOE＝5°.(共24张PPT)
第4章 图形的初步认识
华师版
七年级上
4.2 立体图形的视图
2．由视图到立体图形
1
高；宽；长；宽
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新知笔记
1
2
3
4
C
B
C
5
C
D
6
7
8
9
见习题
10
A
11
12
13
14
见习题
A
答案显示
15
C
C
B
B
B
见习题
答案显示
16
见习题
由三视图到立体图形与由立体图形到三视图是一个互逆的过程，主视图可呈现立体图形的长和高；左视图可呈现立体图形的________和________；俯视图可呈现立体图形的________和________．
高
宽
长
宽
1．【中考·福建】如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )
A．圆柱
B．三棱柱
C．长方体
D．四棱锥
C
2．【中考·南通】如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )
A．球
B．圆锥
C．圆柱
D．棱柱
C
3．【2020·临沂】根据如图所示的三视图可知该几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
B
4．如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是( )
A．圆锥
B．三棱锥
C．四棱锥
D．五棱锥
C
5．【中考?河南】某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是( )
D
A
B
C
D
6．【2020?烟台】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
B
A
B
C
D
7．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为( )
A．6
B．8
C．12
D．24
B
【点拨】主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系可以确定主视图的长和高分别为4，2，所以面积为8.故选B.
【点拨】综合三视图可知，这个几何体共有两行三列两层，它的下层有3＋1＝4(个)小正方体，上层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4＋1＝5(个)．所以这个几何体的体积是5.故选B.
8．几个棱长为1的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
B
9．如图是一个立体图形的三视图，请根据视图写出该立体图形的名称，并计算该立体图形的体积．(结果保留π)
解：该立体图形为圆柱．
由三视图可知圆柱的底面半径r＝5，高h＝10，
所以圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×10＝250π.
即该立体图形的体积为250π.
10．【2020·鸡西】如图是由5个相同的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A
A
B
C
D
11．【2021·焦作温县期中】如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后所得几何体从三个方向看到的图形，说法正确的是( )
A．从左边看到的图形发生改变
B．从上方看到的图形发生改变
C．从前方看到的图形发生改变
D．三个方向看到的图形都发生改变
C
12．【中考·大庆】一个“粮仓”的三视图如图所示(单位：m)，则它的体积是( )
A．21π
m3
B．30π
m3
C．45π
m3
D．63π
m3
C
【点拨】观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，其体积为32×π×4＋
×32×π×3＝45π
m3，故选C.
【点拨】易得第一层有4桶，第二层最少有2桶，第三层最少有1桶，所以货架上至少有7桶．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”，就更容易得到答案．
13．学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图所示，则货架上的方便面至少有( )
A．7桶
B．8桶
C．9桶
D．10桶
A
14．用小立方体搭一几何体，使它的主视图和俯视图如图所示．俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，请问：
(1)a表示几？b的最大值是多少？
解：由主视图可知，第二列小立方体有两层，第三列小立方体有三层，那么a＝3，b的最大值为2.
(2)这个几何体最少由几个小立方体搭成？最多呢？
解：这个几何体最少由6＋3＋2＝11(个)小立方体搭成；
最多由3×3＋2×2＋1×3＝16(个)小立方体搭成．
15．【2021·焦作山阳区校级月考】如图是一个几何体的主视图与俯视图，求该几何体的体积．(π取3.14，单位：cm)
解：观察几何体的两个视图，可知该几何体是由长方体和圆柱组合成的，易知长方体的长、宽、高分别为30
cm，25
cm，40
cm，圆柱的底面直径为20
cm，高为32
cm，所以这个几何体的体积为π×(20÷2)2×32＋30×25×40≈40
048(cm3)．
16．用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．搭这个几何体最少需要多少个小立方块，最多需要多少个小立方块？
层数(从下往上数)
需要小立方块的个数
最少
最多
第一层
7
7
第二层
2
6
第三层
1
3
总计
10
16
解：
由上表可知，搭这个几何体最少需要10个小立方块，最多需要16个小立方块．(共25张PPT)
阶段综合训练
【范围：4.1～4.4】
华师版
七年级上
第4章 图形的初步认识
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答案显示
1
2
3
4
C
D
D
5
A
A
6
7
8
9
B
10
②③⑤
A
C
D
11
12
13
14
见习题
4
答案显示
15
36
①②
16
见习题
见习题
1．给出下列平面图形：①三角形；②正方形；③长方形；④圆．其中不是多边形的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
2．下列几何体中，棱柱的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C
3．如图乙是由图甲中的五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是( )
A．①⑤
B．②④
C．③⑤
D．②⑤
D
4．【2021?河南濮阳期末】如图所示的几何体的主视图是( )
D
A
B
C
D
5．【2021·河南一模】由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是( )
A．主视图的面积最大
B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大
D．三种视图的面积相等
A
6．【2021·长沙雨花区期末】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“雅”字所在面的相对面上的汉字是( )
A．礼
B．拥
C．怀
D．情
D
7．【2021·鹤壁淇滨区校级月考】下列选项中的图形折叠后，能得到如图所示的正方体的是( )
C
A
B
C
D
8．【2020·巴中】已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
A
9．【2020·雅安】一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【点拨】由俯视图与左视图易知，该几何体所需小正方体的个数最少时的一种情况如下图所示(小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数)：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选B.
【答案】B
10．如图，是多面体的有______________．(填序号)
②③⑤
11．【中考·北京】在如图所示的几何体中，其三视图中有长方形的是________．(写出所有正确答案的序号)
①②
12．【2021·成都青羊区校级月考】如图是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为________cm2.
36
13．有四块如图①这样的小正方体摆在一起，其主视图如图②所示，则左视图有________种画法．
4
【点拨】左视图如图所示．
14．画出如图所示的几何体的三视图．
解：如图所示．
15．用大小相同的小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体有多少种可能？它最多要多少个小立方块，最少要多少个小立方块？画出最多、最少时的左视图．
解：有3种可能，最多要8个小立方块，最少要7个小立方块．
由主视图可得这个几何体共有三层，
由俯视图可得第一层小立方块的个数为4，结合主视图可得第二层小立方块的个数最少为2，最多为3，第三层小立方块的个数为1，
故最多要3＋4＋1＝8(个)小立方块，最少要2＋4＋1＝7(个)小立方块．
最多时的左视图如图①所示，最少时的左视图如图②和③所示．
16．小明在学习了《立体图形的表面展开图》这一课后，明白了很多立体图形都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图①②.根据所学知识，回答问题：
(1)小明总共剪开了________条棱．
8
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你画出补全后的图．
解：如图，有四种情况．
(3)小明说他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880
cm，求这个长方体纸盒的体积．
解：因为长方体纸盒的底面是一个正方形，
所以设最短的棱长(高)为a
cm，则长与宽都为5a
cm.
因为长方体纸盒所有棱长的和是880
cm，
所以4(a＋5a＋5a)＝880，解得a＝20.所以5a＝100.
所以这个长方体纸盒的体积为100×100×20＝200
000(cm3)．
