(共31张PPT)
§1 离散型随机变量及其分布列
课标阐释
思维脉络
1.在对具体问题的分析中,能说出随机变量、离散型随机变量的意义.
2.能写出随机变量所取的值及表示的随机试验的结果.
3.能解决取有限值的离散型随机变量的分布列的问题.
?
一
二
一、随机变量和离散型随机变量
1.我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机变量.通常用大写的英文字母如X,Y来表示.
2.若随机变量的取值能够一一列举出来,则这样的随机变量称为
离散型随机变量.
知识梳理
一
二
名师点拨离散型随机变量的特征
(1)可以用数值表示;
(2)试验之前可以判断其出现的所有值;
(3)在试验之前不能确定取何值;
(4)试验结果能一一列出.
一
二
【做一做1】 如果ξ是一个离散型随机变量,那么下列命题是假命题的是( )?
A.ξ取每一个可能值的概率是正实数
B.ξ取所有可能值的概率之和为1
C.ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
解析根据随机变量分布列的性质可得.
答案D
一
二
二、离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X的取值为a1,a2,…,随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2,…),记作:P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1)或把上式列成下表:
上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列.显然pi>0,p1+p2+…=1.
如果随机变量X的分布列为上表或(1)式,我们称随机变量X服从这一分布(列),并记为
X=ai
a1
a2
…
P(X=ai)
p1
p2
…
一
二
名师点拨1.0
2.分布列的结构为两行,第一行为随机变量的所有可能取得的值;第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”,下为事件发生的概率.
一
二
【做一做2】已知离散型随机变量ξ的分布列为?
则k的值为( )
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)山东省2017年每天的降雨量是离散型随机变量.
( )
(2)离散型随机变量X取一个可能的值的概率一定是非负实数.
( )
(3)离散型随机变量X取所有可能值的概率之和为1.
( )
答案(1)× (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
下列变量中是离散型随机变量的是 .?
①某无线寻呼台1
min内接到的寻呼次数X;
②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X;
③将一枚均匀的骰子掷3次,3次出现的点数之和X;
④某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差X.
解析判断一个变量是不是离散型随机变量,主要看变量的某些值的出现是不是确定,并且变量的取值能否按一定顺序列举出来.④中X取值为某一范围内的实数,无法列出,故不是离散型随机变量.
答案①②③
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
判断一个变量是否为随机变量,主要是看变量的结果,结果不能确定的是随机变量,判断一个变量是否为离散型随机变量,主要是看变量的取值能否按一定顺序列举出来,如果可以就是离散型随机变量;否则就不是离散型随机变量.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1下列随机变量中不是离散型随机变量的是( )
A.盒子里有除颜色不同,其他完全相同的红球和白球各5个,从中摸出3个球,白球的个数X
B.小明答20道选择题答对的道数X
C.某人早晨在车站等出租车的时间X
D.某人投篮10次投中的次数X
解析:选项A,B,D中的随机变量X的所有取值可以一一列出,因此是离散型随机变量.选项C中随机变量X可以取一个区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.
答案:C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】袋中装有除颜色外都一样的黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即为止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求随机变量ξ的分布列;
(3)求甲取到白球的概率.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析(1)求袋中原有白球的个数,需设出白球的个数,利用古典概型概率公式,列出方程求解.(2)写出ξ的可能取值,求出相应概率,进而求出ξ的分布列.(3)利用所求分布列,记“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5).
解(1)设袋中原有n个白球,由题意知:
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探究一
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思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”).
因为事件“ξ=1”“ξ=3”“ξ=5”两两互斥,所以
当堂检测
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探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
1.求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)写出或列出分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2.求离散型随机变量的分布列需要注意的问题
(1)离散型随机变量的分布列的两个本质特征:pi>0(i=1,2,3,…,n)
(2)求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
(4)处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲、乙两位顾客,规定甲摸一次,乙摸两次,令X表示甲、乙摸球后获得的奖金额.求X的分布列.?
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探究一
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思维辨析
当堂检测
探究一
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思维辨析
分析利用随机变量的性质求解.
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思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
离散型随机变量的分布列的三个应用
(1)运用离散型随机变量分布列的结论“pi>0”与“p1+p2+…+pn=1”,可以求出分布列的相关表格中某个未知的概率或参数;
(2)根据给出的分布列可求出离散型随机变量在某一范围内时的概率;
(3)可运用分布列的结论检验所求分布列及某些事件的概率是否正确.
当堂检测
探究一
探究二
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思维辨析
变式训练3 已知随机变量ξ的概率分布如下:
?
则P(ξ=10)=( )
答案:C
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探究一
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思维辨析
因忽视随机变量的性质而致误
【典例】若离散型随机变量X的概率分布如下表所示:
求常数c的值.
易错分析离散型随机变量X的每一个取值所对应的概率都为正数,可类比函数定义域去理解,若忽略,则可能致误.
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
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探究一
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思维辨析
解由离散型随机变量的性质,
纠错心得
离散型随机变量的概率分布必须同时满足:(1)pi>0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+p3+…+pn=1.
当堂检测
1.若用随机变量X表示某足球队在5次点球中射进的球数,则X的取值为( )
A.1,2,3,4,5
B.1,2,3,4,5,…
C.0,1,2,3,4,5
D.0,1,2,3,4,5,…
解析5次点球中可能有0次、1次、2次、3次、4次、5次射进,故X的取值为0,1,2,3,4,5.
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:D
探究一
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思维辨析
当堂检测
4.若某运动员投篮投中率为0.8,则一次投篮投中次数X的分布列为 .?
解析随机变量X的可能取值为0,1.该运动员投篮投中率为0.8,则未投中的概率为0.2.
答案
X
0
1
P
0.2
0.8
探究一
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思维辨析
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思维辨析
当堂检测(共30张PPT)
§2 超几何分布
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,理解超几何分布及其特点.
2.通过对实例的分析,掌握超几何分布的导出过程.
3.能用超几何分布解决简单的实际问题.
?
超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么
(其中k为非负整数).
如果一个随机变量的分布列由上式确定,那么称X服从参数为N,M,n的超几何分布.
知识梳理
名师点拨1.超几何分布列给出了求解这类问题的方法,可以通过公式直接运用求解,但不能机械地去记忆公式,要在理解的前提下记忆.
2.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不同m值时的概率P(X=m),从而列出X的分布列.
3.当我们从某个有限集合中,按照不放回抽样的方法等可能地抽取若干个元素时,某类特定的元素(如次品、黑球、正奇数等)被抽到的个数便服从超几何分布,可利用这个结论来判断一个随机变量是否服从超几何分布.
4.不服从超几何分布的不放回抽样的概率问题一般转化为古典概型求解.并非所有的不放回抽样都可视作超几何分布.
【做一做】 在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为( )?
A.N=15,M=7,n=10
B.N=15,M=10,n=7
C.N=22,M=10,n=7
D.N=22,M=7,n=10
解析根据超几何分布概率模型知A正确.
答案A
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样.
( )
(2)只要所研究的事物是由较明显的两部分组成就可以研究合格品的超几何分布.
( )
(3)超几何分布在本质上是事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比.
( )
答案(1)×
(2)√ (3)√
思考辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试.试求选出的3名同学中,至少有1名女同学的概率.
分析由题目可知选出的女同学人数服从参数N=10,M=4,n=3的超几何分布,根据超几何分布概率公式直接求,也可用间接法求解.
解设选出的女同学人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=4,n=3的超几何分布,于是选出的3名同学中,至少有1名女同学的概率为
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
若随机变量X服从超几何分布,则随机试验和随机变量X必须同时满足以下两个条件:(1)试验是不放回地抽取n次;(2)随机变量X表示抽取到的“次品”件数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 10件产品中有2件次品,任取2件进行检验,求下列事件的概率:?
(1)至少有1件次品;
(2)至多有1件次品.
解(1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
在一次购物活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张中任取2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
?
反思感悟
求超几何分布的分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
(3)用表格的形式列出分布列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
2一个袋中装有3个白球和2个黑球,它们大小、形状、质地都相同,采用无放回的方式从袋中任取3个球,取到黑球的数目用ξ表示,求随机变量ξ的分布列.
解ξ可能取的值为0,1,2.由题意知ξ服从超几何分布,
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的分布列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
利用超几何分布的知识可以解决与概率相关的实际问题,其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型.在套用超几何分布的模型时,将实际背景与超几何分布的模型比较,认清实质,可将问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析,必要时需对题目涉及的内容进行转化.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
310件工艺品中,有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,求抽得二等品件数X的分布列.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因混淆了随机变量的分布类型而致误
【典例】
布袋中有除颜色外都相同的5个红球,4个黑球,设从袋中取出一个红球得1分,取出一个黑球得0分,现从袋中随机取出4个球,求所得分数X的分布列.
易错分析几何概率模型有很明显的特点,在求解过程中,多注意与其他分布的区别.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解由题意可知从袋中随意取4个球可能出现的结果分别为:0红4黑,1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红0黑,这五种情况分别得0分,1分,2分,3分,4分,故X可能的取值为0,1,2,3,4,
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得
1.X不服从超几何分布,而取到的红球个数Y服从超几何分布,虽然X,Y可能的取值相同,但意义不同.
2.弄清超几何分布的条件与特点,避免弄错随机变量X的分布类型,将不服从超几何分布的随机变量误认为服从超几何分布.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.下列随机事件的随机变量X服从超几何分布的是( )
A.将一枚均匀的硬币连抛3次,正面向上的次数X
B.从7名男生,3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X
D.盒中有除颜色外都相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数
答案B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.10张奖券中3张有奖,5个人每人购买1张,至少有1人中奖的概率是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.一笼子中装有2只白猫,3只黑猫,笼门打开一次只出来1只猫,每次每只猫都有可能出来.
(1)求第三次出来的是白猫的概率;
(2)记白猫全部出来后笼中所剩黑猫数为ξ,试求ξ的概率分布列.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共36张PPT)
§3 条件概率与独立事件
课标阐释
思维脉络
1.理解条件概率的概念.
2.分清条件概率与非条件概率的区别.
3.明确求条件概率的两个公式的区别.
4.理解两事件相互独立的定义,并会判定事件的独立性.
5.会应用公式P(AB)=P(A)·P(B)解决实际问题.
?
一
二
一、条件概率
1.条件概率的概念
已知B发生的条件下,A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率,记作P(A|B).
2.条件概率的公式
知识梳理
一
二
名师点拨1.由条件概率的定义知,P(B|A)与P(A|B)是不同的;另外,在事件A发生的前提下,事件B发生的概率为P(B|A),其值不一定等于P(B).
事件A发生的条件下,事件B发生等价于事件A与事件B同时发生,即AB发生,但P(B|A)≠P(AB).
2.条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
一
二
答案:B
一
二
二、相互独立事件
1.一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么A,B相互独立.
2.相互独立的性质
(2)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).
(3)若A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
一
二
名师点拨互斥与独立的区别与联系
(1)事件间的“互斥”与“独立”是两个不同的概念.
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生与否没有影响.学习时要注意区别开来.
“独立性”是指两个试验中,一个事件的发生不影响另一个事件的发生;“互斥性”是指两个事件之间有很强的排斥关系:在一次随机试验中,一个事件发生,另一个就不发生.此外,两事件互斥则它们一定不独立,两事件独立则它们一定不互斥.
(2)一般地,可以证明,事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下面的加法公式计算:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
特别地,当事件A与B互斥时,P(AB)=0,于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).
一
二
【做一做2】 判断下列各对事件是否是相互独立事件:?
(1)甲组3名男生、2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有除颜色外都相同的5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”.
一
二
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.
( )
(2)相互独立事件就是互斥事件.
( )
(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.
( )
(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.
( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
分析(1)(2)是古典概率问题,(3)是条件概率问题,利用条件概率公式求解.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
分析先写出家庭中两个小孩的所有可能情形,需注意基本事件(男,女),(女,男)是不同的,然后分别求出A,B所含的基本事件数,由于生男生女具有等可能性,故可借助古典概型来求P(A),P(B)和P(AB)的概率,最后分析P(AB)是否等于P(A)·P(B).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有4个基本事件,由等可能性知这4个基本事件的概率均为
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)有三个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男,男),
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),
(女,女,女)},
由等可能性知这8个基本事件的概率均为
,这时
A中含有6个基本事件,
B中含有4个基本事件,
AB中含有3个基本事件.
从而事件A与B是相互独立的.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
1.利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法判断,因此我们必须熟练掌握.
2.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
2从一副去除大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,判断事件A与B是否相互独立.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X≥2”的事件概率.
分析观众之间投票是相互独立的,因此利用相互独立事件的概率来求解.
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探究一
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探究三
思维辨析
反思感悟
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求其积.
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探究二
探究三
思维辨析
变式训练
3某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.
(1)两人都抽到足球票的概率是多少?
(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
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思维辨析
因混淆了条件概率与相互独立事件的概率而致误
【典例】
设某种灯管使用了500
h还能继续使用的概率是0.94,使用到700
h还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500
h的一个此种灯管还能继续使用到700
h的概率是多少?
易错分析条件概率中P(AB)是指事件“A∩B”的概率,而A与B不一定相互独立.故而在条件概率求解中误认为P(AB)=P(A)P(B)则会致误.
解设A表示“使用了500
h还能继续使用”,B表示“使用到700
h还能继续使用”,则P(A)=0.94,P(B)=0.87,而所求的概率为P(B|A).由于A∩B=B,
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思维辨析
纠错心得
本题所求事件的概率属于条件概率,不要错用公式P(A∩B)=P(A)P(B),注意只有事件A,B相互独立时才有P(A∩B)=P(A)P(B).
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变式训练 有一批种子的发芽率为0.8,发芽后的幼苗成活率为0.7,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率.?
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答案:C
探究一
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思维辨析
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答案:D
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思维辨析
当堂检测
3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( )
A.0.216
B.0.36
C.0.432
D.0.648
答案:D
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探究三
思维辨析
当堂检测
4.在一条街道上的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,现在某辆汽车在这条街道上行驶,那么这三处都不停车的概率等于 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.甲、乙两市都位于长江下游.根据一百多年来的气象记录可知,一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)= ,P(B|A)= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共35张PPT)
§4 二项分布
课标阐释
思维脉络
1.在具体情境中,能理解二项分布的概念.
2.能用二项分布解决一些简单的实际问题,了解二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型之一.
?
二项分布
进行n次试验,如果满足以下条件:
(1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”;
(2)每次试验“成功”的概率均为
p
,“失败”的概率均为
1-p
;
(3)各次试验是相互独立的.
用X表示这n次试验中成功的次数,则
若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的
二项分布,简记为
X~B(n,p).
名师点拨1.二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述,是概率论中最重要的几种分布之一.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是对立性,即一次试验中只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了
n次.
答案:C
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是
假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击,问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
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探究二
探究三
思维辨析
分析(1)从对立事件的角度考虑比较容易解决;(2)甲射击4次击中目标2次,乙射击4次击中目标3次,两者均为独立重复试验,而这两个事件又为相互独立事件,故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解;(3)依题意后3次射击情形必为:击中、未击中、未击中的分布,而前2次的射击不能为两次都未击中,而这些情形都是相互独立的,故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解.
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反思感悟
1.二项分布有以下两个特点:
(1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一;
(2)重复性,即试验是独立重复地进行了n次.
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探究一
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思维辨析
变式训练
1某辆载有5位乘客的公共汽车在某停靠点停车.若车上每位乘客在该停靠点下车的概率均为
,则ξ表示这5位乘客中在该停靠点下车的人数,求随机变量ξ的分布列.
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探究一
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思维辨析
【例2】
一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为
,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
分析本题是一个独立重复试验问题,其出现音乐的次数X的概率分布列服从二项分布,可直接由二项分布得出.
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思维辨析
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思维辨析
反思感悟
1.独立重复试验问题,随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),这里n是独立重复试验的次数,p是每次试验中事件发生的概率.
2.满足二项分布常见的实例有:①反复抛掷一枚均匀硬币;②已知次品率的抽样;③有放回的抽样;④射手射击目标命中率已知的若干次射击.
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探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)?
(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.
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探究一
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思维辨析
【例3】一名学生骑自行车上学,他到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列;
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
分析先正确求得各变量取各值的概率,再列出各变量的分布列.
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探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
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思维辨析
反思感悟
1.利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.
2.在解题时,要注意概率的加法公式、乘法公式、“正难则反”思想(利用对立事件求概率)的灵活运用.
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变式训练
3有人预测:在未来某届世界女排大奖赛上,亚洲区决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计,中国队在每局比赛中胜日本队的概率均为
,比赛采取五局三胜制,谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.
(1)求中国队以3∶1获胜的概率;
(2)设X表示比赛的局数,求X的分布列.
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因用错计算公式而致误
【典例】
在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人的死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6,任取3名投保人,求他们当中活到65岁的人数的分布列.
易错分析在解决此类题目过程中,若分不清分布类型或不能熟练掌握各种分布的求概率公式都会致误.
解记X为3名投保人中活到65岁的人数,X=0,1,2,3.
X服从参数为n=3,p=0.6的二项分布,
P(X=k)=
×0.6k×0.43-k,k=0,1,2,3.
X的分布列是
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
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探究一
探究二
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思维辨析
纠错心得
在解题过程中,不要将表面像是n次独立重复试验(实质上不是)不假思索地按n次独立重复试验进行.对于有些问题表面看不是n次独立重复试验问题,但经过转化后可看作独立重复试验,从而将问题简化.由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
甲、乙两队进行7局4胜制的比赛,即甲队或乙队谁先累计获胜4局比赛,即为冠军.若在每局比赛中,甲队获胜的概率均为0.6,每局比赛必分出胜负,且每局比赛的胜负不影响下局比赛.
求:(1)甲队在第5局比赛后获得冠军的概率为多少?
(2)甲队获得冠军的概率为多少?
解由题意,知甲队获胜,即无论打几局,最后1局甲队必胜,甲队胜的概率为0.6.
(1)甲队在第5局比赛后获得冠军,则甲队第5局必获胜,前4局有3局获胜,
(2)甲队获冠军可以是打4局、5局、6局、7局,
当堂检测
1.下列随机变量X的分布列不属于二项分布的是( )
A.投掷一个骰子5次,X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相当的甲、乙两选手举行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数
D.某星期内,每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据后电脑被病毒感染的次数
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析选项A,试验出现的结果只有两个——点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为
,每一次试验都是独立的,共进行5次,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,且每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率都相等,举行5次比赛,相当于进行了5次试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义可知,被病毒感染次数X~B(n,0.3).
答案B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:0.008
1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.有一批玉米种子,其发芽率是0.8.每穴只要有一个发芽,就不需补种,否则需要补种,问每穴至少种几粒种子,才能保证每穴不需补种的概率大于98%?(lg
2=0.301
0)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共38张PPT)
§5 离散型随机变量的均值与方差
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.
2.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量方差的概念,能计算简单离散型随机变量的方差.
?
一
二
一、离散型随机变量的均值(数学期望)
设随机变量X的可能取值为a1,a2,…,ar,取ai的概率为pi(i=1,2,…,r),即X的分布列为P(X=ai)=pi(i=1,2,…,r).定义X的均值为a1P(X=a1)+a2P(X=a2)+…+arP(X=ar)=a1p1+a2p2+…+arpr,即随机变量X的取值ai乘上取值为ai的概率P(X=ai)再求和.
X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数,记为
EX
,即EX=a1p1+a2p2+…+arpr.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征.
知识梳理
一
二
名师点拨随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;有相同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值.从上面三个方面表明分布描述了随机现象的规律,从而也决定了随机变量的均值,而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.
一
二
答案:A
一
二
二、离散型随机变量的方差
一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用E(X-EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度,E(X-EX)2是(X-EX)2的期望,并称之为随机变量X的方差,记为
DX
.方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.
名师点拨1.DX与EX都是实数,由X的概率分布唯一确定.
2.随机变量的方差反映了随机变量X的取值的稳定与波动,集中与离散的程度.DX越小,稳定性越高,波动越小.显然DX≥0.
一
二
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)均值就是算术平均数,与概率无关.
( )
(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.
( )
(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.
( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是
若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令ξ表示该公司的资助总额.
(1)写出ξ的分布列;
(2)求均值Eξ.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析两位专家给三个方案做评审,则结果为支持的个数X可能为0,1,2,3,4,5,6.本题可视为进行6次独立重复试验,获得支持即为试验成功,则获得支持的个数X服从n=6,p=
的二项分布.由题意知X=0对应ξ=0,X=1对应ξ=5,X=2对应ξ=10,X=3对应ξ=15,X=4对应ξ=20,X=5对应ξ=25,X=6对应ξ=30.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时可以略);
(4)由均值的定义求EX.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
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思维辨析
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探究二
探究三
思维辨析
【例2】
袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.求ξ的分布列、均值和方差.
分析先列出随机变量的分布列,然后根据方差的计算公式进行计算.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时题中已给出,有时可以省略);
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
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思维辨析
答案:C
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思维辨析
【例3】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1
000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球(球的大小、形状、质地都相同)的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及均值.
(2)商场对奖励总额的预算是60
000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
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探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找均值为60元的可能方案.
对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
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反思感悟
利用均值与方差解决实际问题的方法
(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来.
(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.
(3)依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差值.
(4)依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.
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思维辨析
变式训练
3有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度,收集数据如下:
其中X甲,X乙分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,试比较甲、乙两种建筑材料的质量状况.
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思维辨析
解:EX甲=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EX乙=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
DX甲=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4
+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,
DX乙=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2
×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
由此可见,EX甲=EX乙,DX甲当堂检测
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因没有明确随机变量X的取值意义而致误
【典例】某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验一次;若试验3次失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为
,求此人试验次数X的均值.
易错分析求解均值,关键几步是求解当变量X取某些值时,所对应的概率,若此处求错,则整个问题就会出错.
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思维辨析
纠错心得
容易出错的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义,X=1表示一次试验就成功,X=2表示第一次失败,第二次成功,因为试验最多进行3次,所以X=3表示前两次失败,第三次可能成功也可能失败,所以
.因此,在求随机变量取各值的概率时,务必理解各取值的实际意义以免出错.
当堂检测
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思维辨析
变式训练 下午第三节体育课进行篮球达标测试,规定:每位同学有5次投篮机会,若投中3次,则达标;否则,不达标.为了节约时间,同时规定:若投篮不到5次就达标,则停止投篮;若前3次均未投中,不能达标,停止投篮;若前3次投中一次,而第4次未中,也不能达标,停止投篮.已知某同学投篮的命中率为
,且每次投篮互不影响,设X为测试中这位同学投篮的次数,则EX= .?
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思维辨析
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答案:D
探究一
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思维辨析
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2.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
请小牛同学计算ξ的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案Eξ=( )
A.1
B.4
C.3
D.2
解析:设“?”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以均值Eξ=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=4x+2y=2.
答案D
t
1
2
3
P(ξ=t)
?
!
?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则DX= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的配方方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.
(1)写出X的分布列;
(2)求X的均值EX.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共30张PPT)
§6 正态分布
课标阐释
思维脉络
1.了解正态曲线和正态分布的概念.
2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率.
?
曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数μ和σ确定,常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2),那么X的均值
EX=
μ
,方差DX=
σ2(σ>0)
.
2.正态曲线的性质
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交.
(2)曲线关于直线x=μ对称.
(4)曲线与x轴之间的面积是1.
知识梳理
3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ通常服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%.
名师点拨1.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此可把正态分布记作N(μ,σ2).
2.要正确理解μ,σ的含义.若X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2,即μ为随机变量X取值的均值,σ2为其方差.
3.若X是一个服从正态分布的随机变量,则对任意的常数a>0及b,随机变量aX+b也服从正态分布.
【做一做1】 若随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤c)=P(ξ>c),则c的值为( )?
A.0
B.μ
C.-μ
D.σ
解析由正态分布密度曲线的性质知:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,其概率为图像与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面积,则有c=μ.
答案B
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)标准正态分布的均值与标准差分别为0和1.
( )
(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.
( )
(3)如果一个随机变量是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,那么它就服从或近似服从正态分布.
( )
(4)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2.
( )
答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线,则下列说法不正确的是( )
A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等
B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析正态曲线中的参数μ,σ分别表示随机变量的均值和标准差.由图像可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据图像的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C,D正确.
答案B
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探究一
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探究三
思维辨析
反思感悟
利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图像可求μ.
且①当σ一定时,曲线随μ的变化沿x轴平移;
②当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越分散.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.
当堂检测
变式训练
1如图为μ=0,σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的正态曲线,则σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:D
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.
分析本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率,将所给问题转化为上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.
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探究一
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思维辨析
解依题意,由80~85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数,再求90分以上同学的人数.
∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85.
于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.3%.
由正态曲线的对称性知,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的
设该班有x名同学,则x·34.15%=17,解得x≈50.
又μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
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探究一
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思维辨析
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%.
∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.
即有50×2.3%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.
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思维辨析
反思感悟
服从正态分布的概率的求法
(1)正态分布完全由参数μ和σ确定,其中μ是随机变量取值的均值,可用样本均值去估计,σ是随机变量取值的标准差,可以用样本标准差去估计.
(2)求正态总体X在某区间内取值的概率(即正态曲线与x轴之间在这个区间上的面积)的基本方法.
①利用正态分布的三个常数数据,把所求的问题转化为X落在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%求解.
②充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于直线x=μ对称的区间上概率相等.在利用对称性转化区间时,要注意区间是关于直线x=μ对称,而不是关于x=0(μ≠0时)对称.
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探究一
探究二
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思维辨析
变式训练2设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1解:∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1=P(μ-σ当堂检测
探究一
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思维辨析
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探究一
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探究三
思维辨析
【例3】有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布,即X~N(20,4).若这批零件共有5
000个.试求:
(1)这批零件中尺寸在18
mm~22
mm间的零件所占的百分比.
(2)若规定尺寸在24
mm~26
mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?
分析解答此题需先确定μ,σ以及所给区间与μ,σ之间的关系.
当堂检测
探究一
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探究三
思维辨析
解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2.∴μ-σ=18,μ+σ=22.于是零件尺寸X在18
mm~22
mm间的零件所占百分比大约是68.3%.
(2)∵μ-3σ=20-3×2=14,μ+3σ=20+3×2=26,
μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴零件尺寸X在14
mm~26
mm间的百分比大约是99.7%,而零件尺寸在16
mm~24
mm间的百分比大约是95.4%.∴零件尺寸在24
mm~26
mm间的百分比大约是
=2.15%.因此尺寸在24
mm~26
mm间的大约有5
000×2.15%≈108(个).
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探究一
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思维辨析
反思感悟1.在实际应用题中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
2.正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.3%,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3在一次数学考试中,某班学生的分数ξ服从正态分布N(110,202),且满分为150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中,及格(大于90分)的人数和不低于130分的人数.
解:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,
所以P(110-20<ξ<110+20)=68.3%,
P(ξ>90)=P(ξ≥130)+P(110-20<ξ<110+20)=
68.3%+15.85%=84.15%,
所以及格的有54×84.15%≈45(人),不低于130分的有54×15.85%≈9(人).
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探究一
探究二
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思维辨析
因不注意结合图形而致误
【典例】
随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=84.13%,求P(-1<ξ≤0).
易错分析对于随机变量ξ~N(μ,σ2),若其以直线x=μ为对称轴,应结合图形,利用对称性求解,否则容易出错.
解:如图所示,因为P(ξ≤1)=84.13%,
所以P(ξ>1)=1-84.13%=15.87%.
所以P(ξ≤-1)=15.87%,
所以P(-1<ξ≤0)=50%-15.87%=34.13%.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得1.求解时,要注意结合图形对称性,不要错解为P(-1<ξ≤0)=1-P(ξ≤1)=15.87%.
2.针对μ=0的正态分布,求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式:
(1)P(X<-x0)=1-P(X≤x0);
(2)P(a当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练佛山某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命ξ(单位:月)服从正态分布N(μ,σ2),且使用寿命不少于12个月的概率为80%,使用寿命不少于24个月的概率为20%.
(1)求这种灯管的平均使用寿命μ;
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管,使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),求至少有两支灯管需要更换的概率.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)∵ξ~N(μ,σ2),P(ξ≥12)=80%,P(ξ≥24)=20%,
∴P(ξ<12)=20%,显然P(ξ<12)=P(ξ≥24).
由正态分布密度函数的对称性可知,
即这种灯管的平均使用寿命是18个月.
(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2,假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支,
则η~B(4,0.2),故至少有两支灯管需要更换的概率
p=1-P(η=0)-P(η=1)
当堂检测
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图像,且
A.10与8
B.10与2
C.8与10
D.2与10
解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.f(x)为偶函数
C.f(x)在x>0时是减少的,在x≤0时是增加的
D.f(x)关于x=1是对称的
解析:由正态分布密度函数知μ=0,即图像关于y轴对称.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,则这个正态总体的均值为 .?
解析:正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以正态分布的均值是1.
答案:1
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探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共67张PPT)
第2课时 概率
知识网络
要点梳理
①超几何分布;②二项分布;③均值;④方差;⑤正态分布;⑥3σ原则.
知识网络
要点梳理
1.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质:
①pi≥0(i=1,2,…,n);②
p1+p2+…+pn
=1.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
3.事件的相互独立性
(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
知识网络
要点梳理
4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
7.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=
aEX+b
.
(2)D(aX+b)=
a2DX
(a,b为常数).
8.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布,则EX=
p
,DX=
p(1-p)
.
(2)若X~B(n,p),则EX=
np
,DX=
np(1-p)
.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( )
(2)若随机变量X的分布列由下表给出,
则它服从两点分布.( )
(3)在离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.( )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
X
2
5
P
0.3
0.7
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 条件概率和相互独立事件的概率
【例1】
一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品,从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为:
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…,(4,1),(4,2),(4,3)},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},
AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”
(1)求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质;
第二步,判断事件的运算;
第三步,运用公式.
(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.
3.求解相互独立事件同时发生的概率时,要注意以下几个问题:
(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.
(3)公式
常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
跟踪训练1在某次1
500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为
(1)3人都通过体能测试的概率;
(2)恰有2人通过体能测试的概率;
(3)恰有1人通过体能测试的概率.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 离散型随机变量的分布列
【例3】某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n>8且n∈N+),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于
,求n的最大值;
(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
反思感悟
求离散型随机变量的分布列时,要解决以下两个问题:
(1)求出X的所有取值,并明确其含义;
(2)求出X取每一个值时的概率.
求概率是难点,也是关键,一般要联系排列、组合知识,古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决.同时还应注意超几何分布、二项分布等特殊分布模型.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
跟踪训练2某一随机变量X的分布列为:
则mn的最大值为( )
A.0.8
B.0.2
C.0.08
D.0.6
解析:由分布列的性质知m∈(0,1),2n∈(0,1),且0.1+m+2n+0.1=1,
即m+2n=0.8.
m·n=(0.8-2n)×n=0.8n-2n2=-2(n-0.2)2+0.08,
所以当n=0.2时,m·n的最大值为0.08.
答案:C
X
0
1
2
3
P
0.1
m
2n
0.1
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 离散型随机变量的均值与方差
【例4】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字),
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列;
(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求Eξ,Dξ.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
反思感悟
1.含义:均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性.
2.应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.
3.求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
跟踪训练3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方案:选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知:6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;选手乙答对每题的概率都是
,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ,η.
(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程),并求出Eξ,Eη;
(2)求Dξ,Dη.请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛?
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 正态分布
【例5】
某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有25
000名考生,试确定考生成绩在550~600分(不包含端点值)的人数.
解:∵考生成绩X~N(500,502),∴μ=500,σ=50,
∴P(550[P(500-2×50(95.4%-68.3%)=13.55%.故考生成绩在550~600分的人数约为25
000×13.55%≈3
388(人).
反思感悟1.有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率,因此要熟记三个特殊区间及相应概率.
2.从正态曲线可以看出,曲线的形状由参数σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
跟踪训练4已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-2σA.13.58%
B.13.55%
C.27.16%
D.27.1%
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
解析:由题意知X~N(4,1),
作出相应的正态曲线,如图,依题意P(2即曲边梯形ABCD的面积为0.954,
曲边梯形EFGH的面积为0.683,其中A,E,F,B的横坐标分别是2,3,5,6,由曲线关于直线x=4对称,可知曲边梯形FBCG的面积为
答案:B
专题归纳
高考体验
考点一 条件概率与独立事件
1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648
B.0.432
C.0.36
D.0.312
解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.
答案:A
专题归纳
高考体验
2.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
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3.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
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解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.
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考点二 二项分布改编
4.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX= .?
解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,
则DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
答案:1.96
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5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若EX=30,DX=20,则p= .?
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考点三 离散型随机变量的均值与方差
6.(2020浙江,16)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ;Eξ= .?
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7.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
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(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1
200-2n;
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若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×0.4+(1
200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
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8.(2020江苏,23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1,q1和p2,q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望EXn(用n表示).
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9.(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
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10.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是
;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值EX.
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考点四 正态分布
11.设X~N(μ1,
),Y~N(μ2,
),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
解析:由曲线X的对称轴为x=μ1,曲线Y的对称轴为x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)P(X≤σ1),故B错;对任意正数t,由题中图像知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错.
答案:C
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12.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.3%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.4%.)
A.4.56%
B.13.55%
C.27.18%
D.31.74%
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答案:B
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13.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
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解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为99.7%,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.3%,故X~B(16,0.3%).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.99716≈0.041.
X的数学期望为EX=16×0.003=0.048.
(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.3%,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.041,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
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习题课——离散型随机变量的均值与方差的应用
课标阐释
思维脉络
1.理解离散型随机变量的均值的含义.
2.理解离散型随机变量的方差的含义.
3.利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题.
?
一
二
一、常用分布的均值与方差
1.二项分布的均值与方差
在n次独立重复试验中,若X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).
2.超几何分布的均值
若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则
知识梳理
一
二
二、均值与方差的性质
若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX.
【做一做1】 有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则DY= .?
一
二
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】已知η的分布列为
(1)求方差;
(2)设Y=2η-Eη,求DY.
分析(1)利用方差公式求解,首先求出均值Eη,然后利用Dη的定义求方差;(2)因为Eη是一个常数,所以DY=D(2η-Eη)=22Dη.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟对于aX+b型的随机变量的均值,可以利用E(aX+b)=aEX+b求解,也可以先求出aX+b的分布列,再用定义求解,对于方差也是如此.
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思维辨析
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探究二
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探究一
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反思感悟
与二项分布有关的均值、方差的求法
(1)求随机变量ξ的均值与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ~B(n,p),那么用公式Eξ=np,Dξ=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).
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探究一
探究二
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思维辨析
变式训练2 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是?
(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率.
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率.
(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差.
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思维辨析
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探究一
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思维辨析
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第三种方案:李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为4%,存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.
分析在解决此类决策问题时,一般先分析题意,明确题目要求的是均值还是方差,在此基础上,将题中的数量指标用随机变量表示,把实际问题转化为随机变量的均值与方差求解.
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探究一
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反思感悟
利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量的平均水平,而方差则描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、预报的准确与否、机器性能的好坏等很多指标都与这两个特征量有关.
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思维辨析
(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量X1,X2的均值,当EX1=EX2时,不应误认为它们一样好,需要用DX1,DX2来比较这两个随机变量的偏离程度,稳定者就更好.
(2)若我们希望比较稳定,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求,一般先计算均值,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若EX1与EX2比较接近,且均值较大者(此时均值表示较好的方面,如利润、产量)的方差较小,显然该变量更好;若EX1与EX2比较接近且方差相差不大,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择稳定性较好的.
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探究一
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因混淆二项分布而致误
【典例】
甲、乙两支排球队进行比赛,采用七局四胜制,即两队中有一队胜利四场时,整个比赛结束,若甲、乙两个队获胜的概率相等,记比赛的场数为X,求X的均值.
易错分析对于题目而言,对其题意的理解至关重要,如果单纯的向一些固定模型上去靠,就会容易出错.
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探究一
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纠错心得
把问题看成一个二项分布问题是不正确的,由于无论甲还是乙,只要有一个队胜利四场,比赛即结束,故知比赛的场数可能为4,5,6,7,而在二项分布
中X的取值为0,1,2,3,4,5,6,7共8个值,因而不是一个二项分布问题.
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变式训练 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:?
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)工程延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
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思维辨析
解(1)由条件和概率的加法有:P(X<300)=0.3,
P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为
于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,
DY=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
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答案:A
探究一
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2.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则Eη,Dη分别是( )
A.6和2.4
B.2和2.4
C.2和5.6
D.6和5.6
解析若两个随机变量η,X满足一次关系式η=aX+b(a,b为常数),当已知EX,DX时,则有Eη=aEX+b,Dη=a2DX.由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.
因此,求得Eη=8-EX=8-10×0.6=2,
Dη=(-1)2DX=10×0.6×0.4=2.4.
答案B
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3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1
000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为( )
A.100
B.200
C.300
D.400
解析记不发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1
000,0.1),
所以Eξ=1
000×0.1=100.
又X=2ξ,所以EX=E(2ξ)=2Eξ=200.
答案B
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