2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学《第30章 旋转》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学《第30章 旋转》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 312.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-05 06:25:45 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学《第30章
旋转》单元测试卷
一．选择题
1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
3．在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转到达重合的三角形有（ ）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．180°
8．用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都不正确
9．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′
B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′
D．∠ABC＝∠A′C′B′
10．如图，△AOB为等腰三角形，OA＝AB，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为
．
12．钟表上的分针绕其轴心旋转，分针经过15分钟后，分针转过的角度是
．
13．如图所示，图形①经过
变换得到图形②；图形②经过
变到图形③；图形③经过
变换得到图形④（填平移、旋转或轴对称）．
14．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为
．
15．既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形是
．
16．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为
．
17．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有
种．
18．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是
．
19．正三角形中心旋转
度的整倍数之后能和自己重合．
20．如图①为Rt△AOB，∠AOB＝90°，其中OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以A，B，O为旋转中心顺时针旋转．分别得图②，图③，…，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是
．
三．解答题
21．如图，4×5的方格纸中，请你用三种不同的方法在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．
22．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
23．（1）计算：
+﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是
；在前16个图案中有
个；第2008个图案是
．
24．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
25．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数
；
②线段OD的长
；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
26．如图，已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等，为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，
故选：B．
2．解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：C．
3．解：根据平行四边形的性质可知有4对全等的三角形：△AOB≌△COD、△AOD≌△COB、△ADC≌△CBA、△ABD≌△CBD．它们能通过旋转达到重合．故选C．
4．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
5．解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点是（1，﹣2），所以在第四象限．
故选：D．
6．解：如图所示：
，
共4个，
故选：D．
7．解：正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，
故选：C．
8．解：如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半﹣添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确．
故选：C．
9．解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
10．解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，
∵A（2，），
∴OC＝2，AC＝，
由勾股定理得，OA＝＝＝3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB＝2OC＝2×2＝4，
由旋转的性质得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，
∴sin∠ABO＝sin∠O′BD，
∴＝
∴O′D＝，
BD＝＝＝，
∴OD＝OB+BD＝4+＝，
∴点O′的坐标为（，）．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．
故答案为：4．
12．解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
那么15分钟，分针旋转了15×6°＝90°．
故答案为：90°．
13．解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，②和③的形状大小一样，是平移关系，③和④图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形②经过平移变到图形③；图形③经过旋转变换得到图形④．
14．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12．
故答案为：12．
15．解：矩形（答案不唯一）．
16．解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．
17．解：如图所示．
这样的添法共有4种．
故答案为：4．
18．解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
19．解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
20．解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
三．解答题
21．解：如图所示：
．
22．解：如图所示，有三种思路：
23．解：（1）原式＝＝2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
24．（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B＝∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
25．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
26．解：（1）如图①所示．
（2）设正方形ABCD的边长为a，
则AA1＝2a，S△AA1D1＝?AA1?AD1＝a2，
同理，S△BB1A1＝S△CC1B1＝S△DD1C1＝a2，
∴S1＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S正方形ABCD＝5a2＝5S．
（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为a，从而算出S四边形A1B1C1D1＝5S）
（3）S1＝S2
理由如下：
首先画出图形②，连接BD、BD1，
∵△BDD1中，AB是中线，
∴S△ABD1＝S△ABD．
又∵△AA1D1中，BD1是中线，
∴S△ABD1＝S△A1BD1
∴S△AA1D1＝2S△ABD
同理，得S△CC1B1＝2S△CBD
∴S△AA1D1+S△CC1B1＝2（S△ABD+S△CBD）＝2S．
同理，得S△BA1B1+S△DD1C1＝2S，
∴S2＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD＝5S．
由（2）得，S1＝5S．
∴S1＝S2．
旋转》单元测试卷
一．选择题
1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
3．在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转到达重合的三角形有（ ）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．180°
8．用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都不正确
9．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′
B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′
D．∠ABC＝∠A′C′B′
10．如图，△AOB为等腰三角形，OA＝AB，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为
．
12．钟表上的分针绕其轴心旋转，分针经过15分钟后，分针转过的角度是
．
13．如图所示，图形①经过
变换得到图形②；图形②经过
变到图形③；图形③经过
变换得到图形④（填平移、旋转或轴对称）．
14．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为
．
15．既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形是
．
16．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为
．
17．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有
种．
18．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是
．
19．正三角形中心旋转
度的整倍数之后能和自己重合．
20．如图①为Rt△AOB，∠AOB＝90°，其中OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以A，B，O为旋转中心顺时针旋转．分别得图②，图③，…，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是
．
三．解答题
21．如图，4×5的方格纸中，请你用三种不同的方法在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．
22．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
23．（1）计算：
+﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是
；在前16个图案中有
个；第2008个图案是
．
24．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
25．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数
；
②线段OD的长
；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
26．如图，已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等，为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，
故选：B．
2．解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：C．
3．解：根据平行四边形的性质可知有4对全等的三角形：△AOB≌△COD、△AOD≌△COB、△ADC≌△CBA、△ABD≌△CBD．它们能通过旋转达到重合．故选C．
4．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
5．解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点是（1，﹣2），所以在第四象限．
故选：D．
6．解：如图所示：
，
共4个，
故选：D．
7．解：正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，
故选：C．
8．解：如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半﹣添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确．
故选：C．
9．解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
10．解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，
∵A（2，），
∴OC＝2，AC＝，
由勾股定理得，OA＝＝＝3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB＝2OC＝2×2＝4，
由旋转的性质得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，
∴sin∠ABO＝sin∠O′BD，
∴＝
∴O′D＝，
BD＝＝＝，
∴OD＝OB+BD＝4+＝，
∴点O′的坐标为（，）．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．
故答案为：4．
12．解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
那么15分钟，分针旋转了15×6°＝90°．
故答案为：90°．
13．解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，②和③的形状大小一样，是平移关系，③和④图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形②经过平移变到图形③；图形③经过旋转变换得到图形④．
14．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12．
故答案为：12．
15．解：矩形（答案不唯一）．
16．解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．
17．解：如图所示．
这样的添法共有4种．
故答案为：4．
18．解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
19．解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
20．解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
三．解答题
21．解：如图所示：
．
22．解：如图所示，有三种思路：
23．解：（1）原式＝＝2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
24．（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B＝∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
25．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
26．解：（1）如图①所示．
（2）设正方形ABCD的边长为a，
则AA1＝2a，S△AA1D1＝?AA1?AD1＝a2，
同理，S△BB1A1＝S△CC1B1＝S△DD1C1＝a2，
∴S1＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S正方形ABCD＝5a2＝5S．
（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为a，从而算出S四边形A1B1C1D1＝5S）
（3）S1＝S2
理由如下：
首先画出图形②，连接BD、BD1，
∵△BDD1中，AB是中线，
∴S△ABD1＝S△ABD．
又∵△AA1D1中，BD1是中线，
∴S△ABD1＝S△A1BD1
∴S△AA1D1＝2S△ABD
同理，得S△CC1B1＝2S△CBD
∴S△AA1D1+S△CC1B1＝2（S△ABD+S△CBD）＝2S．
同理，得S△BA1B1+S△DD1C1＝2S，
∴S2＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD＝5S．
由（2）得，S1＝5S．
∴S1＝S2．