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第一章
集合与函数概念
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，则（
）
A．
B．
C．4
D．5
4．已知集合}，则集合中元素的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．集合或，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．
7．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，且x>1时，满足，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数是偶函数，当时，?恒成立，设，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
12．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，则的非空真子集有________个．
14．若函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________.
15．已知是定义在上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为___________.
16．已知函数，则的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数.
（1）证明函数在上是增函数；
（2）求在上的最值.
19．（12分）已知，是一次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求函数的值域．
20．（12分）若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
21．（12分）定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
22．（12分）给定函数．且用表示，的较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
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第一章
集合与函数概念
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.
【详解】
函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．
故选：C
2．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
解一元二次方程用列举法表示集合A，然后求出，最后按集合的并集概念进行运算即可.
【详解】
，，
.
故选：B
3．已知函数，则（
）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
根据分段函数逐层代入即可求解.
【详解】
解：函数，则，则，
故选：C.
4．已知集合}，则集合中元素的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】
先由N中的不等式求得x,y的取值范围，再列举出其中的整点，然后检验是否满足M中的不等式，即得到交集中的元素个数.
【详解】
由可得,
，即,
N中的满足的整点有：
，共9个点，
其中只有(1,1)这一个点不满足，
故中的元素个数为8个，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集，关键是寻找M中同时符合N中的条件的元素.
5．集合或，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
6．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．
【答案】A
【分析】
设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．
【详解】
根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
7．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据壶的结构即可得出选项.
【详解】
水壶的结构：低端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下：
开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，
由图可知选项A符合，
故选：A
8．已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
求出复合函数的定义域即可得．
【详解】
解：由题意可得，解得．
因为有定义，所以当时，由，得；
当时，由，得；
当时，，恒成立．
综上，实数的取值范围是．
故选：D．
9．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据定义域和单调性可知，再根据时的单调性判断出，由此求解出的取值范围..
【详解】
因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；
当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，
综上可知的取值范围是：，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出所满足的不等关系，注意将本题与定义域为的分段函数单调性问题作区分.
10．已知函数是定义在上的奇函数，且x>1时，满足，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由已知条件可得x>1时，然后利用求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且x>1时，满足，
所以，，即可得x>1时，
因为当时，，
所以
，
故选：C
11．已知函数是偶函数，当时，?恒成立，设，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
推导出函数为上的增函数，且有，可得出，利用单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.
故选：A.
12．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先把写成分段函数的形式，再求最大值即可.
【详解】
解：令，即,解得,
所以，
当时，，
当或时，,
所以函数的最大值为3，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，则的非空真子集有________个．
【答案】6
【分析】
由题意可得集合，结合求子集个数的计算公式即可.
【详解】
由题意知，
，
所以，
所以集合A的非空真子集的个数为：.
故答案为：6
14．若函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】.
【分析】
求得函数的对称轴方程，进而可得结果.
【详解】
显然，函数的对称轴方程为，依题意可得，解得.
故答案为：.
15．已知是定义在上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为___________.
【答案】.
【分析】
根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性可得答案.
【详解】
因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，因为，所以，
所以不等式等价为或，
即，或，解得或，
故答案为:.
16．已知函数，则的值为______．
【答案】2020
【分析】
计算，然后配对求和可得．
【详解】
因为，
故答案为：2020．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
；(2).
【分析】
(1)利用集合间的交集运算求解；
(2)由得，再分和讨论.
【详解】
(1)
若，则，又，所以.
(2)
若，则.
当时，，；
当时，
由，解得.
综上可知，实数的取值范围.
18．（12分）已知函数.
（1）证明函数在上是增函数；
（2）求在上的最值.
【答案】(1)
证明见解析；(2)
最大值，最小值.
【分析】
(1)
用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2)
利用函数在某区间上为增函数求最值.
【详解】
(1)
证明：任取，且，
，
因为，所以
，，，
所以，.
所以函数在上是增函数.
(2)
由(1)知，在上是增函数，
又，所以在上是增函数，
的最大值为，最小值为.
19．（12分）已知，是一次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求函数的值域．
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）设，根据已知代入即可求出；
（2）令，将函数化为关于的函数，由二次函数的性质可求出.
【详解】
（1）设，
则，即，
，解得，
或；
（2），
当时，取得最小值为0，当时，取得最大值为4，
在的值域为，
令，则，，
则等价于，，
当时，，当时，，
所以的值域为.
20．（12分）若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）；作图见解析；（2）．
【分析】
（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，
（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：（1）当时，，．由是偶函数，得．
所以．函数的图象，如图．
（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．
要使在上单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
21．（12分）定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
【答案】（1）证明见解析；（2）在上是增函数；（3）.
【分析】
（1）赋值法可直接求出结果；
（2）利用单调性得定义即可判断；
（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.
【详解】
（1）令，则，又，所以.
当时，，在中，令，
则，所以，又因为时，，故.
（2）设，且，则，所以且.
于是，故在上是增函数.
（3）由题意知，所以原不等式等价于.
由（2），在上是增函数得到，，，故此不等式的解集是.
22．（12分）给定函数．且用表示，的较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】
由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.
【详解】
由题意，
当时，，
当时，，
∴
（1）当时，，
∴当时，，此时，
当时，，此时，
.
（2），且对称轴分别为，
①当时，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去），
②当，即时，在单调递减，单调递增；
，有，故此时无解.
③当，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去）
综上，得：或.
【点睛】
关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.
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