2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第22章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（　　）
A．23℃
B．28℃
C．30℃
D．37℃
3．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
4．下列说法正确的是（　　）
A．所有的菱形都相似
B．所有的矩形都相似
C．所有的正方形都相似
D．所有的梯形都相似
5．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（　　）
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
6．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1等于（　　）
A．50°
B．95°
C．35°
D．25°
7．如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若，则的值为（　　）
A．5
B．
C．﹣5
D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b
B．若﹣x＝4y，则x＝﹣2y
C．若ax＝bx，则a＝b
D．若a2＝b2，则a＝b
10．已知∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠CDB＝72°
B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD＝2：1
D．∠ABC＝3∠ACB
二．填空题
11．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　
　．
12．若＝＝（a≠c），则＝　
　．
13．若，则的值为　
　．
14．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝　
　cm．
15．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为　
　cm．
16．已知＝，则的值为　
　．
17．在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为　
　米．
18．如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于　
　．
19．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件　
　．
20．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连接EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为　
　．
三．解答题
21．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？
22．已知：，2x﹣3y+4z＝22，求：代数式x+y﹣z的值．
23．已知，求的值．
24．已知，求的值．
25．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
26．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
试求：（1）的值；（2）CD的长度．
27．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴3a＝2b，
∴a＝b，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．
故选：A．
3．解：∵DE∥BC交GA于点E，
∴＝，，，＝，
∴A，B，D正确，C错误，
故选：C．
4．解：A、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
B、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、所有的梯形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
故选：C．
5．解：（1）∵∠E＝∠E，∠FCE＝∠D，
∴△CEF∽△DAF．
（2）∵∠E是公共角，∠B＝∠FCE，
∴△ABE∽△FCE，
（3）∴△ABE∽△FDA．
故有3对．
故选：B．
6．解：△ABC中，∵∠A＝50°，∠B＝95°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C＝35°．
故选：C．
7．解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；
C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B．
8．解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
＝＝＝﹣5，
故选：C．
9．解：A、因为C做分母，不能为0，所以a＝b；
B、若﹣x＝4y，则x＝﹣8y；
C、当x＝0的时候，不论a，b为何数，ax＝bx，但是a不一定等于b；
D、a和b可以互为相反数；
故选：A．
10．解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°，故A正确；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，故B正确；
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，故D正确；
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD+DB＞AB，AD＝DB，
∴2AD＞AB，
∴2AD＞CD，故C错误．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C
或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C
或∠AED＝∠B或＝．
12．解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
13．解：由题设得．
故答案为：．
14．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2×＝（﹣1）cm．
故答案为：（﹣1）cm．
15．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
16．解：＝，则＝，
故答案为：．
17．解：设它的实际长度为x厘米，则：
1：5000＝25：x，
解得x＝125000．
125000厘米＝1250米．
故答案为：1250．
18．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，
所以AB＝AD+BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，
且∠ACB＝90°．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，
由，
得CF＝x，于是BF＝20﹣x．由于EF∥AC，
所以，
即，
解得．
所以．
故答案为：．
19．解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A＝∠A，
∴当∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或＝即AB2＝AP?AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP?AC．
20．解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
三．解答题
21．解：10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是2x千米/时，则乙车的速度是3x千米/时，根据题意得
3（2x+3x）＝300，
解得x＝20，
2x＝2×20＝40，
3x＝3×20＝60．
答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时．
22．解：设，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x﹣3y+4z＝22，
∴4k﹣9k+16k＝22，
∴k＝2，
∴x+y﹣z＝2k+3k﹣4k＝k＝2．
23．解：设＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝．
24．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
＝
＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
（2）若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
解法2：若＝k，
则a+b＝（k+1）c，①
a+c＝（k+1）b，②
b+c＝（k+1）a．③
①+②+③有2（a+b+c）＝（k+1）（a+b+c），
所以（a+b+c）（k﹣1）＝0，
故有k＝1或a+b+c＝0．
当k＝1时，＝＝8．
当a+b+c＝0时，＝＝﹣1．
25．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝DC＝AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点，
∴，
即，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
26．解：（1）∵AB∥CD，
∴＝＝＝；
（2）∵AB∥CD，
∴＝，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3．
∴CD＝＝6．
27．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．