22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
22.1.4二次函数
的图像和性质---第2课时
人教版
九年级上
教学目标
1.掌握用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据题意选择设恰当的表达式解决关于求二次函数解析式的问题.（重点）
回顾旧知
问题1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
问题2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)列：
列二元一次方程（组）
(4)解：
方程（组）
(5)写：（写表达式）
2个
合作探究
探究一：用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求二次函数的表达式
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有几个待定系数？需要已知几个点的坐标求出它的表达式？这几个点应满足什么条件？
(1)有3个待定的系数；(2)需要3个已知点
的坐标；
(3)由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a、b、c的方程组就可以求出a、b、c的值，进而确定二次函数的解析式.
2、如果一个二次函数的图象经过（?1，10
），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
合作探究
所求二次函数解析式为y=2x2?3x+5.
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过(?1，10
)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
解得
典例精析
例1
一个二次函数的图象经过(0，0)、(-1，-1)、(1，9)三点，求这个二次函数的表达式.
解：
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c.
将点（0,0）、(-1，-1)、(1，9)三点分别代入，可得
a+b+c=9
a-b+c=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=4x2+5x.
解得
c=0，
b=5
a=4，
c=0，
合作探究
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结：用一般式求二次函数表达式的方法
趁热打铁
1、二次函数的图象与x轴交于A(－3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得
∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.
C=3
A+b+c=0，
解得
9a-3b+c=0，
b=-2
a=-1，
c=3
合作探究
探究二：用顶点式y＝a(x－h)2＋k求二次函数的表达式
已知顶点(h，k)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－h)2＋k，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式.
设所求的二次函数为　
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
将点(
0,-3)代入得：
a-4=-3,
∴所求的抛物线解析式为
y=(x-1)2-4
∴
a=1
y=a(x-1)2
-4
即
y=x2-2x-3
趁热打铁
1、已知一个二次函数有最大值7．且x＞6时，y随x的增大而减小，当x＜6时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(3，4)，求该函数的解析式．
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（6，7），
设关系式为y=a(x?6)2+7，把(3，4)代入得，4=9a+7，
解得
∴二次函数的关系式为
趁热打铁
2、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式.
解：
设所求的二次函数为　
y=a(x-1)2+k
把（0，-3）（4,5）代入得
二次函数解析式为y=（x-1）2-4
a+k=-3
9a+k=5
解得
a=1
k=-4
即
y=x2-2x-3
合作探究
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x?h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结：用顶点式求二次函数表达式的方法
合作探究
探究三：用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)求二次函数的表达式
已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)和另外一个点的坐标，可写出二次函数的解析式y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式.
例3：已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解:
根据题意可设该函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)
∵图象过点C(0,3)
∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
趁热打铁
1、
已知抛物线过点A（-3，0）B（1，0）C（0，3），求该抛物线的解析式。
解：设所求的二次函数为
y=a(x+3)(x-1)
把C（0,3）代入得-3a=3
解得
a=-1
∴所求的抛物线解析式为
y=-（x+3)(x-1)
即y=-x2-2x+3
趁热打铁
2、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,知抛物
线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
∴这个函数的表达式为：
合作探究
归纳总结：用交点式求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x?x1)(x?x2)；
②先把两交点的横坐标x1，
x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
综合演练
1、如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(
)
A.
y=x2+2
B.
y=(x+2)2+2
C.
y=(x-2)2-2
D.
y=(x+2)2-2
2、已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为
.
D
y=-7(x-3)2+4.
综合演练
2、分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）如图，图象经过A，B，C三点．
解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A(?1，0)，B(0，?3)，C(4，5)三点，
代入可得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2?2x?3.
综合演练
（2）图象顶点坐标是(?2，3)，且过点(1，?3)；
解：∵图象的顶点为(?2，3)，且经过点(1，?3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
把(1，?3)代入，得a(1+2)2+3=?3，
得
∴抛物线的解析式为
综合演练
（3）已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
综合演练
3、已知二次函数的图象经过(0,0),且它的顶点坐标是(1,-2).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)判断点P(3,7)是否在这条抛物线上.
解:(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2-2，
将点(0,0)代入得a-2=0,解得a=2，
所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2-2。
(2)当x=3时,y=2(3-1)2-2=6，
所以点P(3,7)不在这条抛物线上.　
综合演练
4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得3a=-3,解得a=-1,
故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,1).
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),在直线y=-x上.
（答案不唯一）
综合演练
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(?4，?3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝?3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(?4，?3)代入y＝x2＋bx＋c.
得16?4b+c＝?3，c
?4b＝?19.
∵对称轴是x＝?3，∴
＝?3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
综合演练
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝?3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为?7，
∴点C的纵坐标为(?7)2＋6×(?7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12?5＝7，
∴S△BCD＝
×8×7＝28.
课堂总结
你能说一说如何去选择不同的表达式来求二次根式的解析式？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题22.1
P41页：10、11
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php