2021-2022学年鲁教五四新版七年级上册数学《第1章 三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年鲁教五四新版七年级上册数学《第1章
三角形》单元测试卷
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
2．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝3，AC＝5，DE＝2，那么点D到AB的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．2
4．在下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，2，5
B．3，7，10
C．3，5，9
D．4，5，7
5．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（　　）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
6．三角形三条中线的交点叫做三角形的（　　）
A．内心
B．外心
C．中心
D．重心
7．如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD＝BE：BF；②∠EFD＝∠CFD；③HD＝HF；④BH﹣GF＝HG，其中正确的结论有（　　）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④
8．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
9．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；
②∠AEF＝∠AFE；
③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
二．填空题
11．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x＝　
　时，△APE的面积等于5．
12．在Rt△ABC中，AD是斜边BC边上的中线，G是△ABC重心，如果BC＝6，那么线段AG的长为　
　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是　
　．
14．直角三角形两锐角的平分线的夹角是　
　．
15．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　
　对．
16．如图，共有　
　个三角形．
17．一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长　
　．
18．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是　
　．
19．三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为　
　．
20．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　
　．
三．解答题
21．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
22．一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．
23．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　
　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
24．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有　
　个三角形；图③有　
　个三角形；图④有　
　个三角形；…猜测第七个图形中共有　
　个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　
　个三角形（用含n的代数式表示结论）．
25．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
26．如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
27．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）BO与OD的长度有什么关系？并证明你的结论．
（2）BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
2．解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC于某点，因此只有C符合条件，故选C．
3．解：∵AC＝5，DE＝2，
∴△ADC的面积为＝5，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为5，
∴点D到AB的距离是．
故选：A．
4．解：A、∵2+2＝4＜5，
∴2，2，5不能组成三角形，故本选项错误；
B、∵3+7＝10，
∴3，7，10不能组成三角形，故本选项错误；
C、∵3+5＝8＜9，
∴3，5，9不能组成三角形，故本选项错误；
D、4，5，7能组成三角形，故本选项正确．
故选：D．
5．解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选：D．
6．解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：D．
7．解：过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，
①正确．
因为S△EBD＝?BE?DM，S△FBD＝?BF?DN，
因为BD是∠EBC的平分线，DM⊥AB，DN⊥CB，
所以DM＝DN，
所以S△EBD：S△FBD＝BE：BF；
②正确．
∵DE是∠AEF的平分线，
∴AD＝DO，
∵DB是∠ABC的平分线，
∴DA＝DN，
∴DO＝DN，
∴DF是∠EFC的平分线，
∴∠EFD＝∠CFD；
③错误．
因为HD∥BF，
所以∠HDB＝∠FBD，
又因为BD平分∠ABC，
所以∠HBD＝∠CBD，
于是∠HBD＝∠HDB，
故HB＝HD．
但没有条件说明HF与HB必然相等；
④正确．
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，
故D为△BEF的内心，
于是FD为∠EFC的平分线，
故∠CFD＝∠EFD，
又因为DH∥BC，
所以∠HDF＝∠CFD，
故∠GDF＝∠DFE，
于是GF＝GD，
又因为HB＝HD，
所以HD﹣GD＝HG，
即BH﹣GF＝HG．
故①②④正确．
故选：B．
8．解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
9．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
10．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
二．填空题
11．解：①如图1，
当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5，
∴x?3＝5，
x＝；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S长方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，
∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，
x＝5；
③当P在CE上时，
∴（4+3+2﹣x）×3＝5，
x＝＜3+4，此时不符合；
故答案为：或5．
12．解：∵AD是斜边BC边上的中线，
∴AD＝BC＝×6＝3，
∵G是△ABC重心，
∴＝2，
∴AG＝AD＝×3＝2．
故答案为2．
13．解：∵∠A＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝120°，
故答案为：120°．
14．解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠AOB＝135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°．
故答案为：45°或135°．
15．解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
16．解：上半部分：单个的三角形有3个，复合的三角形有2+1＝3个，
所以上半部分三角形的个数为3+3＝6个，
同理考虑横截线的三角形的个数也是6个．
故共有12个三角形．
17．解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x＝81，
解得：x＝9，
则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm，
所以，最长边比最短边长：36﹣18＝18（cm）．
故答案是：18cm．
18．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），
＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，
＝AB﹣BC，
∵AB＝8，BC＝6，
∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2．
答：△ABD和△BCD的周长差为2．
故答案为：2
19．解：∵7﹣3＜a＜7+3，
∴4＜a＜10，
又∵第三边是偶数，
∴a的值：6或8；
∴三角形的周长为：3+6+7＝16或3+8+7＝18．
故答案为：16或18．
20．解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，
∴∠CGE＝2∠DFB，
∴∠DFB＝∠CGE，故正确．
故答案为：①②③
三．解答题
21．解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|
＝a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a﹣c+b）
＝a﹣b+c+b﹣c﹣a﹣a+c﹣b
＝c﹣a﹣b．
22．解：（1）当6是腰时，底边＝20﹣6×2＝8cm，即其它两边是6cm，8cm，此时6+6＝12，能构成三角形；
（2）当6是底边时，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此时能构成三角形，所以其它两边是7cm、7cm．
因此其它两边长分别为7cm，7cm，
综上所述两边长分别为6cm，8cm或7cm，7cm．
23．解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
24．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
25．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，
∴AB＝2AF＝2×3＝6，
AC＝2AE＝2×2＝4，
∵△ABC的周长为15，
∴BC＝15﹣6﹣4＝5．
26．解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD＝4，
∴＝10，
∴BF＝5，
∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
27．解：（1）BO＝2OD，理由如下：
连接DE，
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC．
∴△ODE～△OBC，
∴＝，
即BO＝2OD．
（2）BC边上的中线一定过点O，
理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，
连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
.∴DF∥BA，DF＝BA．
∴△MDF～△MBA
∴＝＝＝，
即BD＝3DM，
BO＝BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．