2.1.1 椭圆的定义与标准方程教案-湘教版数学选修1-1

选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计
【教学目标】
知识与技能
（1）掌握椭圆的定义；
（2）理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；
过程与方法
（1）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；
（2）通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。
情感、态度与价值观
通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
【重点、难点】
重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式
难点：椭圆的标准方程的建立和推导
【教法、学法】
教法：启发式教学
学法：自主探究法
【教学过程】
一．情景引入
【动手实验】
先复习一下圆是怎样用轨迹来定义的？
圆的定义：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
如果将到一定点的距离改为到两定点的距离之和等于常数呢？此时的轨迹又会是一个什么样的图形呢？?
拿出课前准备好的一块纸板,一段细绳,两枚图钉,小组合作按要求画图.
【提问】在我们的日常生活中，椭圆随处可见。你能举出椭圆形的例子吗？
在肯定学生的回答后，老师加以补充。比如：
①日常生活中的茶几，它的桌面的形状；
②寿司的横截面类似椭圆的；
③洒水车横截面是椭圆形的；
④神舟十号运行轨迹
?由此可见，椭圆在我们生活和科学技术方面有着广泛的应用，引出课题——椭圆及其标准方程。
设计意图：通过画图活动充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，为引出新知做铺垫。
二．新课探究
（一）椭圆的定义
预设：与两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆
教师引导，学生补充“平面内”。
继续深化问题：如果常数false，常数false时，将是什么样的情形？
经概括总结后得到：【板书】
文字语言：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
数学语言：
设计意图：通过分析动点与定点的关系，使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，培养思维的严谨性。
（二）椭圆的标准方程
【提问】求圆的方程的一般步骤是什么？
①? 建系设点：
【提问】根据简单和优化的原则，如何建立平面直角坐标系？
?以两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．设．，为椭圆上的任意一点，则、．又设与、的距离的和等于．
②? 集合表示：
由椭圆定义得：动点M的集合为：
③? 坐标化：
用含有动点坐标的方程表示：．
化简：（这个交给学生去化简）
预案：移项后两次平方法
引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现实际上对
应图形中的特殊线段false，不妨令其为，则有，类比由
化简为截距式方程的方法将方程继续化简得到椭圆的标准方程
设计意图：通过对必修2中坐标法研究曲线性质方法的复习，让学生认识到本节课研究椭圆的一般方法和思路。在标准方程的推导过程中，问题的设问让学生认识到在推导方程的过程中进行等价变形的重要性，培养严谨的数学演算习惯。提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神；感受数学的简洁美、对称美。
【板书】椭圆的标准方程
焦点在轴上的椭圆的标准方程： ，焦点是、．这里。
2． 焦点在轴上的椭圆的标准方程： 焦点是、．这里
。
?引导学生比较归纳出两种标准方程的区别
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
O
x
y
M
F1
F2
O
x
y
M
F1
F2
falsefalsefalsefalsefalse
（三）例题讲解
?例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并指出焦点的坐标、以及a，b的值.
false
设计意图：本题是根据教学需要将课本的例2前置的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，明确不是标准方程的要先将方程化为椭圆的标准方程，确定出，再求出c。从而进一步认清椭圆标准方程两种形式，再次突破本节课的重点——椭圆标准方程的两种形式。
例2?? 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
（1）两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-4），（0,4），并且椭圆经过点（3,5）
设计意图：例2（1）小题是教材上的例题，设计目的：一是进一步理解椭圆的焦点位置与椭圆标准方程的关系（注意焦点在轴还是在轴上）；二是加深学生对椭圆定义的理解与运用，学会运用椭圆定义求解椭圆标准方程。（2）小题是对（1）的变式题，其目的是掌握运用待定系数法求解椭圆标准方程的方法。
例3实际应用题（课后探究）
例3实际应用题（课后探究）A
B
F1
F2
x
o
330km
y
200km
“神舟十号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面200km，远地点B（离地面最近的点）距离地面约330km，椭圆的另一焦点是F1，且F1，F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6400km，求“神舟十号”运行轨道的方程。
三．课堂小结
1、一种定义;
2、两种椭圆的标准方程;
3、思想方法与数学方法。
设计意图：让学生自己小结，不仅仅总结知识，更重要的是总结数学思想方法，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。
四．课后作业
?1．阅读课本36页：探究与发现——为什么截口曲线是椭圆
2. 必做题：课本P42练习A? 第1，2题
3. 选做题： 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是????? .
设计意图：分层次布置作业，帮助学生巩固所学知识；为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间。