2.1.1椭圆的定义教学设计-湘教版数学选修1-1

湘教版（选修1-1）§2．1．1椭圆及其标准方程
一、教学目标：
1．知识与技能：
（1）掌握椭圆定义和标准方程。
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。
2．过程与方法：
（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。
3．情感态度与价值观：
（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣。
（2）通过标准方程的推导培养学生欣赏数学的“简洁美”。
（3）通过合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.
二、教学重点、难点、疑点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程
2．难点：椭圆标准方程的推导
3．疑点：椭圆的定义中对常数加以限制的原因
三、教学过程
（一）知识回顾：
提问：圆如何形成？（几何画板动画演示）
结论：得到圆的定义是，到定点的距离等于定长的点的集合（定点即圆心，定长即半径）
（二）实验观察:
提问：点是线段AC上一动点，分别以为圆心，与为半径做圆，观察两圆交点的轨迹.
思考：
在运动中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？
能不能把二者的关系用数学表达式表达出来？
（（常数））
动点会形成什么样的轨迹呢？
结论：动画演示，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。
（三）探究归纳椭圆的定义
初步定义：平面内与两个定点的距离的和等于定值的点可以形成椭圆.
进一步探究：定值改变时还可以得到椭圆吗？
（1）若，轨迹是椭圆吗？（是椭圆）
（2）若，轨迹是椭圆吗？（不是椭圆，是一条线段）
（3）若，轨迹是椭圆吗？（不是椭圆，没有轨迹）
动画演示得出结论：当两定点距离小于线段长度时的轨迹（椭圆）；当两定点间距离等于线段长度时的轨迹（是一条线段）；当两定点距离大于线段长度时的轨迹（没有轨迹）。
归纳椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于=2c）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
展示图片，情感教育：联系日常生活中出现的椭圆图案（比如：中央电视台的台标、油罐的截面、车标、行星的运动轨迹等），从感性上发现椭圆在生活中的美，激发学生探究的热情。
（四）推导椭圆方程
提问：已知椭圆的焦距，椭圆上的点，M到两个焦点的距离之和为，求椭圆的方程.
师生互动：由教师引导学生建立合适的直角坐标系，根据求动点轨迹方程的方法推导方程。
（1）以两个定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则
（称此式为几何条件），
所以得（实现集合条件代数化），
化简得
解决本节课计算的难点：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：①化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果.
（2）以线段中点为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：
当运动到轴时，，因，则，不妨令，那么椭圆方程可化为：
，
以线段中点为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：，不妨令，那么椭圆方程可化为：
，
推导的结论：
（1）得到椭圆的标准方程，x型：，和y型：，
（2）对标准方程的理解：
1.所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
2．在与这两个标准方程中，都有的要求，也就是说，焦点在哪个轴上，哪个对应的分式的分母就较大.
（五）应用举例，牛刀小试
例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和：
（1）（2）（3）（4）
例2.求满足下列条件的椭圆.
(1)焦点在(-3,0)和(3,0)，椭圆上每点到两个焦点的距离之和为10.
(2)与椭圆有共同焦点，且经过点(3,2).
例3.已知定圆：，定圆：
动圆和定圆定圆相切，求动圆的圆心的轨迹方程.
（六）小结与作业：
布置作业：
1．知识总结：椭圆的定义，标准方程
2．作业：P39 习题1 第1题，第3题(1) (2)
3．补充：已知动圆过定点 A (-3,0) ，并且在定圆：的内部与定圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程.
小结： 由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法.
1．知识总结：椭圆的定义，标准方程
2．思想方法总结：
（七）板书设计（略）
教案的设计说明：
对于椭圆，学生早有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，本节课从实例出发，设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究。从数学的角度探究椭圆。
在教材处理上，根据椭圆定义的特点，先突出“定和”在椭圆定义中的重要作用，再在此基础上完善“常数”取值范围。接着推导标准方程，选择合适的 “建系”方式，突破难点，“令”是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美。
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。