《导数的应用》教学设计-湘教版数学选修1-1

《导数的应用》教学设计
【教学目标】
1.理解函数的单调性和导数的关系，会用导数求函数的单调区间、极值和最值进而解决函数的零点及不等式问题，从而在导数综合应用中，形成一定的方法;
2.培养学生的数形结合、函数与方程、转化等数学思想，并侧重体会导数应用中的数形结合思想.
【学情分析】导数的应用是高考考查的热点、重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，作为文科生有一定的畏难情绪，在对导数的概念和导数的几何意义的理解上尚不够深入，在利用导数研究函数的性质并作出函数图象存在一定的困难，树立利用导数处理问题的意识较为淡薄；在利用导数研究函数零点问题中的转化能力有待加强。
【教学重点】能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值，会用导数研究函数的零点问题.
【教学难点】利用导数研究函数的零点和不等式恒成立问题.
【知识回顾】
1.导数与函数的单调性的关系
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤:
(1)求函数y=fx的极值的步骤：
第一步：求定义域；
第二步：求导数f'x；
第三步：求驻点，即求方程f'x=0的根x0；
第四步：检查f'x在x=x0左右的符号；
①左正右负?fx在x=x0处取得极大值；
②左负右正?fx在x=x0处取得极小值.
(2)求函数y=fx在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
第一步：求函数y=fx在区间(a,b)内的极值；
第二步：将y=fx的所有极值与端点处的函数值fa、fb进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
【典例剖析】
一、利用导数判定函数图象
例1【2013浙江，文8】已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f'x的图象如右图所示，则该函数的图象是( )．
46958251714501619251231902552700123190
【设计意图】通过本例复习引导学生归纳导函数的两个作用，揭示导数的本质含义及其几何意义。
【小结】
1、导数正负与原函数单调性的关系：数的正(负)反映了原函数的增（减）；
2、导数大小与原函数变化快慢的关系：导数绝对值的大小反映了原函数变化的快慢.绝对值越大，变化越快，图象越“陡峭”(向上或向下)，反之，变化越慢，图象越“平缓”.
例2【2011山东文10】-48895514350函数false的图象大致是( )
（A） （B） （C） （D）
【设计意图】提升学生利用导数研究非基本函数性质（单调性、极值最值等）的应用意识，进一步突显导数的工具性作用。
【小结】判定函数图象的方法：可利用下面方法,排除、筛选错误与正确的选项.
1.函数性质法：
①从函数的定义域，判断图象左右的位置，
从函数的值域， 判断图象上下的位置；
②从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
③从函数的单调性，判断图象的趋势；（可借助导数）
④从函数的周期性，判断图象的往复循环；
⑤从函数的极值点，判断图象的拐点；（可借助导数）
⑥从函数的零点， 判断图象与X轴的交点；
2.特殊值检验法：代入特殊值检验。
二、利用导数研究函数零点问题
例3已知函数fx= ex-ax 有零点，求实数a的取值范围.
【设计意图】提升学生的转化能力；一题多解，提升思维的广度，注重思想、方法的训练与归纳提升。
【解析1】分类讨论法：
①a=0，fx= ex>0，fx没有零点，
②若a<0, f'x= ex-a>0, fx在R上单调递增，
又f0=1>0，f1a=e1a-a?1a=e1a-1<0∴f0?f1a<0，所以根据零点存在性定理及单调性知fx在R上存在唯一零点.
③若a>0,令 f'x= ex-a=0 得x=lna.
当x变化时，f'x, fx的变化情况如下表：
x
(-∞，lna)
lna
(lna，＋∞)
f'x
-
0
+
fx
↘
a-alna
↗
∴fx在取得唯一极小值也即最小值flna=a-alna，
又当x→-∞, fx→+∞,
则fx要有零点，则必须且只需a-alna≤0，又a>0,解得a≥e
综上①②③，得a<0或a≥e
【解析2】分离参数法：
函数fx= ex-ax 有零点即方程 ex=ax有解,即方程 a=exx(x≠0)有解，即y=a的图象与y=exx(x≠0)图象有交点.
令gx=exx (x≠0) , g'(x)= ex(x-1)x2
当x变化时，g'x, gx的变化情况如下表：
x
(-∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g'x
-
不存在
-
0
+
gx
↘
不存在
↘
极小值e
↗
又当x→-∞, gx→0,且x<0时，gx<0
得gx的大致图象如下：013335
如图可知当a≥e或a<0时，两个函数图象有交点，
即函数fx= ex-ax 有零点 .
【解析3】分离函数法：
4362450319405函数fx= ex-ax 有零点等价于函数y= ex的图象与函数y=ax图象有交点. 设y=ax与y= ex相切于（x?,y?）
则有a=ex?ax?=ex?解得x?=1a=e，
如图,当a<0或a=e时，y= ex与y=ax
图象有一个交点，当a>e时图象有两个交点，
当0≤a综上，当a≥e或a<0时，两个函数图象有交点即函数fx= ex-ax 有零点.
【思考】将“有零点”改为“有两个零点”，则实数a的取值范围为 .
【小结】利用导数研究函数零点的破解策略
重要类型
破解策略
应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题
false
【知识点链接】函数零点的相关知识：
1933575611505a定义:对于函数y=fx,把使 的实数x叫做函数y=fx的零点.
b三个等价关系:


f(x)与g(x)的图象有交点
f(x)=g(x)有实数根
F(x)=f(x)-g(x)有零点
变形拓展：


c零点存在性定理:

三、利用导数解决不等式恒成立问题
例4已知不等式 ex-ax>0在0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.请参考例3分析例4的解题思路。
【设计意图】对例3的拓展变式，注重解题思路方法的迁移与延伸，从而实现高效复习。
【思路分析】
思路一：变形为 ex>ax，转化为当x∈(0,+∞)时，函数y= ex图象恒在直线
y=ax的上方—数形结合法
思路二：变形为a思路三：构造函数fx= ex-ax(x>0)，转化为求fxmin>0—构造函数法
【小结】利用导数解决不等式的重要类型及破解策略
重要类型
破解策略
恒成立
问题：
false在区间D上恒成立,求参数取值范围
策略一:数形结合法，转化为两个函数false图象与false图
象的上下关系，数形结合求解.
策略二:分离参数法，将不等式变成形如：“false恒成立”或
“false恒成立”，再利用导数求false在D上的最值，
①false，
②false.
策略三:构造函数法，构造函数false，再利用导数
求函数false在区间D上的最小值,
即false
【总结归纳】
1、知识与方法：
①利用导数判定函数的图象的常见策略：
导函数法、函数性质法、特值检验法
②利用导数根据函数零点存在情况求参数范围的常见策略：
直接法、分离参数法、分离函数法、分类讨论法
③利用导数解决不等式恒成立的常见策略：
数形结合法、分离参数法、构造函数法
2数学思想：
数形结合 、函数与方程、分类讨论、化归与转化等
482917593345【课后练习】
1如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f（x）的大致图象（） A．B．C．D．
4828540628652【2015安徽，文10】函数false的图像 如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A. a>0，b<0，c>0，d>0 B.a>0，b<0，c<0，d>0
C .a<0，b<0，c<0，d>0 D a>0，b>0，c>0，d<0
3【2013新课标1文9】函数false在false的图像大致为（ ）
4若函数f(x)=|lnx|-ax在区间(0,3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.0,1e B.ln33,e C．0,ln33 D．[ln33,1e)
5【2013安徽文10】已知函数false有两个极值点false，若false，则关于false的方程false的不同实根个数为（ ）
A .3 B. 4 C. 5 D. 6
6 【2014新课标1文12】已知函数false=false,若false存在唯一的零点false,且false＞0,则false的取值范围为( )
false.（2,+∞） false.（-∞,-2） false.（1,+∞） false.（-∞,-1）
7【2013新课标Ⅰ文12】）已知函数false,若false,则false的
取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8【2013福建文22】已知函数fx=x-1+1 ex ，若直线l：y=kx-1与曲线
y=f(x)没有公共点，求k的最大值.