1.1.2命题的四种形式_课件1-湘教版数学选修1-1（共33张PPT）

自学导引
1．概念理解
(1)“若p，则q”是命题的一种表示形式，其中命题中的p叫做 ，q叫做 ．命题也可写成“如果p，那么q”，“只要p，就有q”等形式．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．
命题的条件
命题的结论
结论
条件
逆命题
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的 ．
(4)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的 ．
条件的否定
结论的否定
否命题
结论的否定
条件的否定
逆否命题
3．四种命题的真假判断
(1)原命题为真，它的逆命题可以为 ，也可以为 ．
(2)原命题为真，它的否命题可以为 ，也可以为 ．
(3)原命题为真，它的逆否命题 ．
(4)互为逆否的两个命题是 命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和 是一对互为逆否的命题，所以它们 ．
真
真
假
假
一定为真
等价
否命题
同真同假
自主探究
1．一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题的真假怎样？
提示　一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价的，即逆命题为真命题时，否命题也为真命题．
2．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中是一个命题的不同表现形式吗？
提示　命题的四种形式不是一个命题的不同表现形式，是四个不同的命题，但是它们之间有一定的关系．
预习测评
1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)．
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
解析　原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．
答案　A
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中(　　)．
A．真命题的个数一定是奇数
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D．上述判断都不正确
解析　因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的．
答案　B
3．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“________”．
(2)命题“整数是有理数”的否命题是“__________”．
(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“__________”．
答案　(1)偶数一定是末位是2的整数
(2)不是整数的数不是有理数
(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
4．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题、否命题及逆否命题中，假命题是__________，真命题是__________．
解析　改为“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题、逆否命题即可判断真假．
答案　原命题、逆否命题　逆命题、否命题
要点阐释
1．命题的结构
一般地，命题由条件和结论组成，有些命题中没有明确的条件和结论，这时需把命题写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论，但要注意并不是所有的命题都可以写成“若 p，则q”型．
2．如何写出一个命题的其他三种命题
(1)对于是“若p，则q”形式的命题，要写出它的逆命题、否命题、逆否命题，一般可以：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；②否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；③交换原命题的条件和结论，并且同时否定条件和结论，所得的命题是原命题的逆否命题．
(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出它的其他三种命题，应先把它改写成“若p，则q”的形式，以便分清原命题的条件和结论，否则写出的命题有可能面目全非．
(3)当一个命题有前提条件而要写出它的其他三种命题时，必须保留前提条件，也就是前提条件始终不动．
(4)对于有多个并列条件组成的命题，在写出它的其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为前提条件．
(2)四种命题的真假性之间的关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
①原命题为真，它的逆命题不一定为真；
原命题为真，它的否命题不一定为真；
原命题为真，它的逆否命题一定为真；
原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．
②判断命题的真假，可直接判断，如果直接判断不易判断可判断其逆否命题．
4．逆否证法
我们知道原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑换证它的逆否命题成立，这样也同样达到证明原命题成立的目的，这种证法叫做逆否证法．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
点评　(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．
1．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析　命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”，命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”，命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．因此互为逆命题的有③和⑥，②和④；互为否命题的有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题的有①和③，④和⑤.
答案　③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
点评　(1)判定一个命题的真假时，感觉其正确时要严格证明，感觉其不正确的可举一反例进行否定．
(2)对于命题在判断它的真假性时，如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，由等价命题的真假确定原来命题的真假．
解(1)逆命题：若方程x2－2x＋a＝0有实根，则a≤1.真命题．
否命题：若a>1，则方程x2－2x＋a＝0无实根．真命题．
逆否命题：若方程x2－2x＋a＝0无实根，则a>1.真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
(4)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0.真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0.假命题．
误区警示　写否命题时，因忽略前提条件而出错
错因分析　原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是前提条件，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a>0”和“x增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义了，应在不改变函数性质的前提下完成解答．
[正解]　“若p，则q”的形式；当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也随着增大；
否命题：当a>0时，若x不增大，则函数y＝ax＋b的值也不增大．
点评　当一个命题有前提条件而要写出其他三种命题时，必须保留前提条件，也就是前提条件始终不动．
课堂总结　　
1．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p，则q”的命题，p是条件，q是结论，在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p，则q”的形式，然后再进行判断．
2．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假，因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
3．当一个命题的真假难判断时，可以判断逆否命题的真假．