2.1.1椭圆课件-湘教版数学选修1-1（23张PPT）

§2.1.1椭圆的定义与标准方程
高二数学 选修1-1（湘教版）
（一）知识回顾
圆如何形成？
圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集
合（定点即圆心，定长即半径）
(二)实验观察
点B是线段AC上一动点，分别以点F1 ,F2
为圆心，|AB|与|BC| 为半径作圆，观察两圆交点M的轨迹.
请同学们思考：
在整个实验的作图过程中，哪些量是不变的？
哪些量是变化的？
能不能把二者之间的关系用数学表达式表达
出来？
那么，动点M会形成什么样的轨迹呢
（常数）
探究：
初步定义：
定值改变时还一定能得到椭圆吗？
（三）探究归纳椭圆定义：
平面内与两个定点F1 ,F2的距离
的和等于定值的点可以形成椭圆.
探究：
定值变化时还一定能得到椭圆吗？
F1 ,F2为定点，|AC|长为定值
是椭圆
不是椭圆，是线段F1F2
没有轨迹
若|AC| > |F1F2|，轨迹是椭圆吗？
若|AC| = |F1F2|，轨迹是椭圆吗？
若|AC| < |F1F2|，轨迹是椭圆吗？
（三）归纳椭圆定义：
椭圆定义：
两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距
离叫做椭圆的焦距.
平面上到两个定点F1 ,F2 的距离之和等于定值（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫作椭圆.
（四）推导椭圆方程：
已知椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，椭圆上的点
M到两个焦点F1,F2的距离之和为2a(2a>2c>0)，
求椭圆的方程.
（四）椭圆方程的推导：
F1
F2
（四）椭圆方程的推导：
（1）以两个定点 F1, F2 所在直线为 x 轴，
F1
F2

x
（四）椭圆方程的推导：
（1）以两个定点 F1, F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系．
F1
F2
x
y

O
（四）椭圆方程的推导：
（1）以两个定点 F1, F2 所在直线为 x 轴，线
段F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系．
x
y

O
F1(-c,0)
F2 (c,0)
（四）椭圆方程的推导：
（1）以两个定点 F1,F2 所在直线为 x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐
标系．
F1(-c,0)
F2 (c,0)
x
y

O

M(x,y)
F1(-c,0)
F2 (c,0)
设
M(x,y)
F2 (c,0)
F1(-c,0)
F2 (c,0)
M(x,y)
F1(-c,0)
F2 (c,0)
M(x,y)
F1(-c,0)
F2 (c,0)
M(x,y)
（四）椭圆方程的推导：
由

F1(-c,0)
F2 (c,0)
x
y

O

M(x,y)
（称此式为几何条件）,
可得
（实现条件代数化）
整理得
（四）椭圆方程的推导：
当 M 运动到 y 轴上时， 因 ，
则不妨令

F1(-c,0)
F2 (c,0)
x
y

O

M(x,y)
（四）椭圆方程的推导：
F1(-c,0)
F2 (c,0)
x
y

O

M(x,y)
令
可得椭圆方程
（四）椭圆方程的推导：
（2）以线段 F1F2 中点为坐标原点，F1F2 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：
M(x,y)



F2(0,c)
F1(0,-c)
x
y
方程即变为：
令：
（四）得出椭圆方程：
焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程：
变：平面内，到 的距离之
和为6的点的轨迹.
例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和：
牛刀小试
变：平面内，到 的距离之
和为6的点的轨迹.
例2.求满足下列条件的椭圆.
(1)焦点在(-3,0)和(3,0)，椭圆上每点到两个
焦点的距离之和为10.
(2) 与椭圆 9x2 + 5y2 = 45 有共同焦点，且经过
点(3,2).
牛刀小试
例3.已知定圆C1：
定圆C2：
动圆 M 和定圆 C1 定圆 C2 相切，求动圆的圆心 M 的轨迹方程.
牛刀小试：
小结与作业：
1．知识总结：椭圆的定义，标准方程
补充：已知动圆 P 过定点 A (-3,0) ，并且在定圆 B： x2 + (y-3) 2 = 64 的内部与定圆内切，求动圆的圆心 P 的轨迹方程.
2．作业：P39 习题1 第1题，第3题(1) (2)