3.1.2问题探索——求作抛物线的切线_课件1-湘教版数学选修1-1（21张PPT）

【课标要求】
理解并掌握如何求抛物线的切线．
问题探索——求作抛物线的切线
设P(u，f(u))是函数y＝f(x)的曲线上的任一点，则求点P处切线斜率的方法是：
(1)在曲线上取不同于P的点Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ
的斜率k(u，d)＝ .
(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d )中让d趋于0，如果k(u，d)趋于 的数值k(u)，则　　　就是曲线在P处的切线斜率．
自学导引
求曲线上点P处切线斜率的方法
确定　
k(u)
1． 设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋d时，函数的改变量Δy为
A．f(x0＋d) B．f(x0)＋d
C．f(x0)＋d D．f(x0＋d)－f(x0)
答案　D
自主探究
2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________.
答案　2
1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时(　　)．
A．运动方向指向圆心O
B．运动方向所在直线与OA垂直
C．速度与在圆周其他点处相同
D．不确定
答案　B
预习测评
答案　C
3．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为____．
答案　1
答案　－d＋3
要点阐释
2．过某点的曲线的切线方程
要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．
3．曲线的割线与切线的区别与联系
曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．
A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)为抛物线上另外四点．
(1)分别求割线PA1，PA2，PA4，PA5的斜率；
(2)若A(x0，x)为曲线y＝x2上异于P的动点，当A逐渐向P趋近时，说明割线斜率的变化情况．
典例剖析　
题型一　有关曲线的割线斜率的探索　
【例1】 点P(3,9)为抛物线y＝x2上的一点，A1(1,1)，
点评　割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃．
(1)求当x1＝1，x2＝2时，kAB.
(2)求当x1＝x0，x2＝x0＋d时，A、B两点连线斜率kAB.
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数y＝x3曲线上两不同点．
题型二　有关切线方程的探索
【例2】 已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3)处
的切线方程．
点评　求曲线上点(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．
2．求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方程．
分别满足下列条件：
(1)平行于直线y＝x＋1；
(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；
(3)倾斜角为135°.
题型三　求切点坐标
【例3】 在曲线y＝4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线
点评　解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识．
3．在抛物线y＝x2上求一点P，使点P到直线y＝4x－5的距离最小．
所求过P点处切线斜率为2u，当过P点的切线与直线y＝4x－5平行时，P点到直线y＝4x－5的距离最小，
所以2u＝4，u＝2.
∵P点在抛物线y＝x2上，∴f(u)＝4，
∴所求P点坐标为(2,4)．