3.3.2函数的极大值和极小值_课件1(1)-湘教版数学选修1-1（29张PPT）

函数的极大值和极小值
学习目标
1.理解极值的有关概念．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求函数的极大值和极小值．
课前自主学案
温故夯基
知新益能
1．极大值点与极大值
如果x＝c是函数y＝f(x)在某个开区间(u，v)上的最大值点，即不等式____________对一切x∈(u，v)成立，就说函数f(x)在x＝c处取到________f(c)，并称c为f(x)的一个极大值点，f(c)为f(x)的一个极大值．
f(c)≥f(x)
极大值
2．极小值点与极小值
如果x＝c是函数y＝f(x)在某个开区间(u，v)上的最小值点，即不等式f(c)≤f(x)对一切x∈(u，v)成立，就说函数f(x)在x＝c处取到_________f(c)，并称c为f(x)的一个极小值点，f(c)为f(x)的一个极小值．
_________和________统称极值，____________和____________统称极值点．
极小值
极大值
极小值
极大值点
极小值点
1．函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
提示：不一定；不一定唯一．
思考感悟
3．驻点
若___________，则x＝c叫做函数f(x)的驻点．
4．求极值的一般步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；
(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得_________；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得___________．
f′(c)＝0
极大值
极小值
2．若f′(x0)＝0，x0一定是极值点吗？f′(x0)＝0是x0为极值点的什么条件？
提示：若f′(x0)＝0，x0不一定是极值点，如f(x)＝x3在x＝0处导数为0，但不是极值点，反之极值点处导数不一定为0，如g(x)＝|x|在x＝0处有极小值，但g(x)在x＝0处导数不存在，故f′(x0)＝0是x0为极值点的既不充分也不必要条件．
思考感悟
课堂互动讲练
求函数的极值
考点突破
求函数极值的步骤：
(1)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
(2)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况．
例1
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
－1
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2.
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值0
极大值4e－2
【名师点评】　(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．
(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0.
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值3
已知极值求参数
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
例2
函数极值的综合应用
例3
【思路点拨】　①由极值点必为导函数值为0的点，可解(1)；
②函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性意味着在[2,4]之间必有极值点．
方法感悟
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．
2．极值点与导数为零的点
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条
件；
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．
如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是极值
点．