第三章 导数及其应用 复习课件-湘教版数学选修1-1（27张PPT）

第三章 导数及其应用
复习课件
导数
导数概念
导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度
曲线的切线斜率
基本初等函数求导
导数的四则运算法则
简单复合函数的导数
函数单调性研究
函数的极值、最值
曲线的切线
变速运动的速度
最优化问题
曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y| ；
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’.
即f ’(x)=y’=
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为
y?y0=f ’(x0)·(x－x0)．
4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s’(t).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
定理
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.
函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
注：导数等于零的点不一定是极值点．
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
函数的最大（小）值与导数
x
y
0
a
b
x1
x2
x3
x4
f(a)
f(x3)
f(b)
f(x1)
f(x2)
函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：
① 求出f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.
（1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；
（2）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；
（3）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一些与实际相关的问题。
小结:
谢 谢