2021--2022学年人教版八年级 数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 同步测试卷 （word版含答案）

2021年人教版八上 数学 第十三章 13.4 最短路径问题 同步测试卷
（总分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（36分）
（3分）如图，直线 l 表示一条河，点 A，B 表示两个村庄，想在直线 l 上的某点 P 处修建一个水泵站向 A，B 两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是 ??
A． B．
C． D．
（3分）如图，在锐角 △ABC 中，AB=52，∠BAC=45?，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，若 M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 ??
A． 4 B． 5 C． 6 D． 10
（3分）在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，点 p 是线段 AD 上的一个动点，当 PC+PE 的长最小时，p 点的位置在 ??
A． A 点处 B． AD 的中点处
C． △ABC 的重心处 D． D 点处
（3分）如图，点 P 为 ∠AOB 内一点，分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2，连接 P1，P2 交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2=6，则 △PMN 周长为 ??
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
（3分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 AC 于 M，P 是直线 MN 上一动点，点 H 为 BC 中点，若 AB=13，△ABC 的周长是 36．则 PB+PH 的最小值为 ??
A． 69 B． 10 C． 12 D． 13
（3分）如图，A，B 是直线 l 外两点，在 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小，其作法是 ??
A．连接 BA 并延长与 l 的交点为 P
B．连接 AB，并作线段 AB 的垂直平分线与 l 的交点为 P
C．过点 B 作 l 的垂线，垂线与 l 的交点为 P
D．过点 A 作 l 的垂线段 AO，O 是垂足，延长 AO 到点 A?，使 A?O=AO，再连接 AB，则 AB 与 l 的交点为 P．
（3分）如图，△ABC 中，AD 垂直 BC 于点 D，且 AD=BC，BC 上方有一动点 P 满足 S△PBC=12S△ABC，则点 P 到 B，C 两点距离之和最小时，∠PBC 的度数为 ??
A． 30? B． 45? C． 60? D． 90?
（3分）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 △CDM 周长的最小值为 ??
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
（3分）如图，正 △ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥AB，且 △ABC 与 △A?BC? 关于直线 l 对称，D 为线段 BC? 上一动点，则 AD+CD 的最小值是 (??)
A． 3 B． 2 C． 32 D． 4
如图，在学习了轴对称后，小明在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有 30? 的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角 △ABC 中，∠ACB=90?，∠A=30?，AC=6，BC≈3.5，点 E，P 分别在斜边 AB 和直角边 AC 上，则 EP+BP 的最小值是 ??
A． 3.5 B． 4 C． 6 D． 9.5
（3分）如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 1,4 和 3,0，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一条直线上，当 △ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是 ??
A． 0,0 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,3
（3分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AB=4，△ABC 的面积为 8，BD 平分 ∠ABC．若 M，N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ??
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
二、填空题（24分）
（3分）如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A，B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD，若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米．
（3分）如图，∠AOB=30?，点 P 是 ∠AOB 内任意一点，且 OP=7，点 E 和点 F 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值是 ．
（3分）如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再回到 P 处，请画出旅游船的最短路径（实际行走路径画实线，其它辅助线画虚线） ．
（3分）如图，若 ∠MON=42?，P 为 ∠MON 内一定点，OM 上有一个点 A，ON 上有一个点 B，当 △PAB 的周长取最小值时，则 ∠APB 的度数是 ?．
（3分）如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90?，∠B=34?，在边 AB，BC 上分别找一点 E，F，使 △DEF 的周长最小，此时 ∠EDF= ．
（3分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则 △BEQ 周长的最小值为 ．
（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90?，∠B=60?，点 D 在 BC 上且 BD=1，AD=4，点 E，F 分别为边 AC，AB 上的动点，△DEF 的周长的最小值为 ．
（3分）如图，P 是 ∠AOB 内任意一点，OP=5?cm，M，N 分别是射线 OA 和 OB 上的动点，PN+PM+MN 的最小值是 5?cm，则 ∠AOB 的度数是 ．
三、解答题（60分）
（10分）如图，已知 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 最小．
（10分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上．
(1) 在图中画出与 △ABC 关于直线 l 成轴对称的 △A?B?C?；
(2) 线段 CC? 与直线 l 的位置关系是 ；
(3) △ABC 的面积为 ；
(4) 在直线 l 上找一点 P，使 PB+PC 的长最短（标出点 P）．
（10分）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为 3,?5．
(1) 请在图中画出与 △ABC 关于 x 轴对称的 △A?B?C?，并写出点 A? 的坐标．
(2) 请在图中的 y 轴上画出一点 P，使得 △B?PC? 的周长最短．
（10分）如图所示，有两个村庄 A，B 在一公路 CD 的一侧，如果把 A，B 村庄的位置放在格点图中．
1 请作出 A 点关于 CD 的对称点 A?；
2 若要在公路 CD 上修建一个菜鸟驿站 P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出 P 点的位置．
（10分）请回答下列问题：
(1) 先化简，再求值：x?y2?yy+2x÷x，其中 ∣x?3∣+y+12=0．
(2) 如图，在单位长度为 1 的正方形网格中，点 A，B，C 都在格点上．
①填空：△ABC 的面积为 ；
②画出 △ABC 关于直线 l 对称的 △A?B?C?，其中点 A，B，C 的对应点分别为 A?，B?，C?；
③在直线 l 上画出一个点 P，使 PA+PC 的值最小．
（10分）如图，方格纸中每个小正方的边长均为 1?cm，四边形 ABCD 的四个顶点都在小正方形的顶点上，点 E 在 BC 边上，且点 E 在小正方形的顶点上，连接 AE．
(1) 在图中画出 △AEF，使 △AEF 与 △AEB 关于直线 AE 对称；
(2) 在图中 AE 上画出点 G，使 △CDG 周长最小；
(3) 连接 FG，请直接写出 △EFG 的面积 cm2．
答案
一、选择题（36分）
1. 【答案】D
【知识点】轴对称之最短路径
2. 【答案】B
【解析】 ∵AD 平分 ∠CAB，
∴ 点 B 关于 AD 的对称点 B? 在线段 AC 上，
作 B?N?⊥AB 于 N? 交 AD 于 M?．
∵BM+MN=B?M+MN，
∴ 当 M 与 M? 重合，N 与 N? 重合时，BM+MN 的值最小，最小值为 B?N?，
∵AD 垂直平分 BB?，
∵AB?=AB=52，
∵∠B?AN?=45?，
∴△AB?N? 是等腰直角三角形，
∴B?N?=5．
∴BM+MN 的最小值为 5．
【知识点】垂直平分线的性质、等腰直角三角形、轴对称之最短路径
3. 【答案】C
【解析】连接 BP，
∵△ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，
∴AD 是 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
当 PC+PE 的长最小时，即 PB+PE 最小，
则此时点 B，P，E 在同一直线上时，
又 ∵BE 为中线，
∴ 点 P 为 △ABC 的三条中线的交点，也就是 △ABC 的重心．
【知识点】等边三角形的性质、轴对称之最短路径、三角形的重心
4. 【答案】C
【解析】因为 P 与 P1 关于 OA 对称，
所以 OA 为 PP1 的垂直平分线，
所以 MP=MP1，
P 与 P2 关于 OB 对称，
所以 OB 为 PP2 的垂直平分线，
所以 NP=NP2，
于是 △PMN 周长为 MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=6．
【知识点】轴对称之最短路径
5. 【答案】C
【知识点】垂直平分线的性质、轴对称之最短路径
6. 【答案】D
【知识点】轴对称之最短路径
7. 【答案】B
【解析】 ∵S△PBC=12S△ABC，
∴P 在与 BC 平行，且到 BC 的距离为 12AD 的直线 l 上，
∴l∥BC，
作点 B 关于直线 l 的对称点 B?，连接 B?C 交 l 于 P，如图所示：
则 BB?⊥l，PB=PB?，此时点 P 到 B，C 两点距离之和最小，
作 PM⊥BC 于 M，则 BB?=2PM=AD，
∵AD⊥BC，AD=BC，
∴BB?=BC，BB?⊥BC，
∴△BB?C 是等腰直角三角形，
∴∠B?=45?，
∵PB=PB?，
∴∠PBB?=∠B?=45?，
∴∠PBC=90??45?=45?．
【知识点】轴对称之最短路径、等腰直角三角形
8. 【答案】C
【解析】连接 AM，
∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=16，
解得 AD=8，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
故选C．
【知识点】轴对称之最短路径、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质
9. 【答案】D
【解析】连接 CC?，如图所示：
∵△ABC，△A?BC? 均为正三角形，
∴∠ABC=∠A?=60?，A?B=BC=A?C?，
∴A?C?∥BC，
∴ 四边形 A?BCC? 为菱形，
∴ 点 C 关于 BC? 对称的点是 A?，即 CD=A?D，
∴ 当点 D 与点 B 重合时，AD+CD 取最小值，
此时 AD+CD=2+2=4．
【知识点】轴对称之最短路径
10. 【答案】C
【解析】作点 B 关于 AC 的对称点 B?，过 B? 作 B?E 上 AB 交 AC 于点 P，
则 EP+BP 的最小值为 B?E；
由题意可得两块完全相同的含有 30? 的三角板可以拼成一个等边三角形，
又 B?E⊥AB，AC⊥BB?，
故 B?E=AC=6．
【知识点】等边三角形的性质、轴对称之最短路径
11. 【答案】D
【解析】作 B 点关于 y 轴对称点 B? 点，连接 AB?，交 y 轴于点 C?，
此时 △ABC 的周长最小，
∵ 点 A，B 的坐标分别为 1,4 和 3,0，
∴B? 点坐标为：?3,0，AE=4，则 B?E=4，即 B?E=AE，
∵C?O∥AE，
∴B?O=C?O=3，
∴ 点 C? 的坐标是 0,3，此时 △ABC 的周长最小．
【知识点】轴对称之最短路径、平行线的性质
12. 【答案】B
【解析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M?，过点 M 作 MN?⊥BC 于 N?，
∵BD 平分 ∠ABC，M?E⊥AB 于点 E，M?N?⊥BC 于 N
∴M?N?=M?E，
∴CE=CM?+M?E
∴ 当点 M 与 M? 重合，点 N 与 N? 重合时，CM+MN 的最小值．
∵ 三角形 ABC 的面积为 8，AB=4，
∴12×4?CE=8，
∴CE=4．即 CM+MN 的最小值为 4．
【知识点】轴对称之最短路径、角平分线的性质
二、填空题（24分）
13. 【答案】 1000
【解析】作出 A 的对称点 A?，连接 A?B 与 CD 相交于 M，
则牧童从 A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 A?B 的长．
易得 △A?CM≌△BDM，AC=BD，
∴A?C=BD，则 A?CBD=CMMD，
∴CM=DM，M 为 CD 的中点，
由于 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，
∴A? 到 M 的距离为 500 米，A?B=1000 米．
故最短距离是 1000 米．
【知识点】轴对称之最短路径、全等三角形的性质与判定
14. 【答案】 7
【解析】分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D，
连接 CD，分别交 OA，OB 于点 E，F，
连接 OP，OC，OD，PE，PF，
∵ 点 P 关于 OA 的对称点为 C，
∴PE=CE，OP=OC，∠COA=∠POA，
∵ 点 P 关于 OB 的对称点为 D，
∴PF=DF，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5cm，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2，
∠AOB=60?，
∴△COD 是等边三角形，
∴CD=OC=OD=5cm，
∴△PEF 的周长的最小值 =PE+EF+PF=CE+EF+DF≥CD=7．
【知识点】等边三角形的判定、轴对称之最短路径
15. 【答案】如图所示：
【解析】如图所示，作点 P 关于 BC 的对称点 P?，连接 P?Q 交 BC 于点 M，连接 MP．
最短路径为：P?Q?M?P．
【知识点】轴对称之最短路径
16. 【答案】 96
【解析】分别作点 P 关于 ON，OM 的对称点 P?，P?，
连接 OP?，OP?，P?P?，P?P? 交 OM，ON 于点 A，B，连接 PA，PB，
此时 △PAB 周长的最小值等于 P?P?．
由轴对称性质可得，OP?=OP?=OP，∠P?OA=∠POA，
∠P?OB=∠POB，
∴∠P?OP?=2∠MON=2×42?=84?，
∴∠OP?P?=∠OP?P?=180??84?÷2=48?，
又 ∵∠BPO=∠OP?B=48?，∠APO=∠AP?O=48?，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=96?．
【知识点】轴对称之最短路径、轴对称的性质
17. 【答案】 112°
【解析】如图，作点 D 关于 BA 的对称点 P，点 D 关于 BC 的对称点 Q，连接 PQ，交 AB 于 E?，交 BC 于 F?，则点 E?，F? 即为所求．
∵ 四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90?，∠B=α，
∴∠ADC=180??α，
由轴对称知，∠ADE?=∠P，∠CDF?=∠Q，
在 △PDQ 中，
∠P+∠Q=180??∠ADC=180??180??34?=34?,
∴∠ADE?+∠CDF?=∠P+∠Q=34?，
∴∠E?DF?=∠ADC?∠ADE?+∠CDF?=180??68?=112?．
【知识点】三角形的内角和、轴对称之最短路径
18. 【答案】 6
【解析】连接 BD，DE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，
∴DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，
∵DE=BQ+QE=AD2+AE2=42+32=5，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故答案为 6．
【知识点】轴对称之最短路径
19. 【答案】 4
【解析】如图，作点 D 关于直线 AC 的对称点 D?，点 D 关于直线 AB 的对称点 D?，连接 D?D? 交 AC 于 E，交 AB 于 F，此时 △DEF 的周长最小，最小值为 D?D? 的长，连接 AD?，AD?，
在 Rt△ABC 中，∠C=90?，∠B=60?，
∴∠BAC=30?，
∵∠DAB=∠D?AB，∠DAC=D?AC，
∴∠D?AD?=2∠BAC=60?，
∴△AD?D? 是等边三角形，
∵AD?=AD=4，
∴D?D?=4，
∴△DEF 的周长的最小值为 4．
故答案为 4．
【知识点】等边三角形的判定、轴对称之最短路径
20. 【答案】 30?
【知识点】轴对称之最短路径、等边三角形的判定
三、解答题（60分）
21. 【答案】在直线 l 的另一侧找出点 A 的对称点 A?，连接 A?B 交 l 于 P 点即为所求．
【知识点】轴对称之最短路径
22. 【答案】
(1) 画图略．
(2) 直线 l 垂直平分线段 CC?
(3) 3
(4) 画图略．
【知识点】图形成轴对称、坐标平面内图形轴对称变换、坐标平面内图形的面积、轴对称之最短路径
23. 【答案】
(1) ?3,2，如图所示．
(2) 如图，点 P 即为所求．
【知识点】轴对称之最短路径、坐标平面内图形轴对称变换
24. 【答案】 1 如图所示：A? 点即为所求；
2 如图所示：点 P 即为所求．
【知识点】坐标平面内图形轴对称变换、轴对称之最短路径
25. 【答案】
(1) 原式=x2?2xy+y2?y2?2xy÷x=x2?4xy÷x=x?4y,
由 ∣x?3∣+y+12=0，
得到 x?3=0，y+1=0，
解得：x=3，y=?1，
则 原式=3+4=7．
(2) ① 2
②如图所示，即为所求；
③如图所示，即为所求．
【解析】
(2) ①根据题意得：S△ABC=12×2×2=2．
【知识点】轴对称图形、轴对称之最短路径、整式的加减乘除混合运算
26. 【答案】
(1) 如图 1 所示，
△AEF 即为所求．
(2) 如图 2 所示，作点 D 关于 AE 的对称点 D?，
连接 CD? 交 AE 于点 G，
∴DG=D?G，
此时 △CDG 的周长最小，
点 G 即为所求．
(3) 3
【解析】
(3) △EFG 的面积为 12×6×1=3cm2．
【知识点】画对称轴及轴对称图形、三角形的面积、轴对称之最短路径