3.4
一元一次方程模型的应用
第3课时
教学目标
【知识与能力】
学会用图示法分析、解决实际问题中的行程问题；能准确地从实际问题中找到相等关系，并列方程解应用题。
【过程与方法】
经历运用方程解决实际问题的过程，体会图示法对分析行程问题的优越性，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
【情感态度价值观】
通过教学，让学生初步体会代数方法的优越性；体会数形结合的思想；培养应用数学意识，自觉反思解题过程的良好习惯。
教学重难点
【教学重点】
运用图示法寻找问题中的相等关系，列方程解决行程中的相遇和追击问题。
【教学难点】
列方程解决行程中的相遇和追击问题。
课前准备
无
教学过程
一、复习提问，揭示目标：
速度、路程、时间之间的关系?
(利用这些知识的复习为后面的应用题提供依据。)
这节课我们就来学习关于这三个量的应用题—行程问题。
二、例题展示，解决问题
1．例1：西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度65km/h，一列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同时相向而行，几小时相遇？
（由老师引导学生从实际问题中抽象出数学模型，从示意图分析，并解答，向学生呈现一个完整的分析、解决行程问题的过程，让学生利用形象的图示理解相遇问题，在解决此类问题时头脑中能形成映像，能够画出示意图解决。）
通过学习让学生对相遇问题中的各量的关系有了认识。
2．延伸拓展
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为60km/h，一列快车从武汉开出，速度为87km/h，若两车相向而行，慢车先开30分钟，快车行使几小时后两车相遇？
先让学生自己分析后，同学讨论试着画出图分析出等量，列出方程，教师再借助多媒体加深学生的理解。理解相遇问题的不同类型
归纳：相遇问题
甲路程＋乙路程＝总路程
3．例2：两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄马先跑5m，棕色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？
（借助多媒体中图像让学生理解题意，解答）
利用此例题让学生对追击问题中的各量之间的关系加深理解，找出等量关系，初步建模。
三、自主演练，巩固提高
练习：小明和小华家相距300米，两人同时从家里出发去学校，小明在小华后面，小明每分钟走160米，小华每分钟走100米，问小明几分钟追上小华？
（要求学生画出示意图，可以同学讨论）
加深对追击问题的理解，能够解决此类问题
四、颗粒归仓
谈谈你的收获。
五、作业布置：
1．?好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？
2．?两辆汽车从相距298千米的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车速度的2倍还快20千米/小时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？
通过练习对相遇问题和追击问题有更深的认识，训练学生的理解能力。3.4
一元一次方程模型的应用
第1课时
教学目标
熟悉一元一次方程的应用中的“和差倍分问题”，体会借助图表分析复杂问题中的数量关系，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程解决问题的作用，树立把实际问题转化为数学问题的思想。
教学重难点
【教学重点】
1.让学生进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型，而解方程是解决实际问题的重要组成部分；
2.在学习移项法则的基础上，学习含有括号的一元一次方程的解法。
【教学难点】
探索列方程解决问题的过程。
课前准备
无
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
教学过程
[活动1]
复习巩固已经熟悉的两个等量关系式回顾:关于怎样根据实际问题中的数量关系列出方程两个基本的相等关系:总量=所有分量之和表示同一个量的两个式子相等教师展示问题，学生测试。问题1.顾客用540元买了两种布料共138尺，其中蓝布料每尺3元，黑布料每尺5元，两种布料各买了多少？教师：这个问题已知条件较多，数量关系较复杂，列算式有一定难度。列出图表，帮助学生分析题意，分清已知量、未知量，寻找题目中的数量关系
学生：思考问题：学生：解：设买蓝布x俄尺，则买黑布（138-x）俄尺。3x
+
5（138-x）=
540蓝布料黑布料总数买的数量x138-x138每尺价钱35共花钱数3x5(138-x)540
由买布问题引出带括号的方程。体会“去括号”在解决实际问题中的应用。通过列表格分析已知与未知间的关系及相等关系列出方程，揭示实际问题向数学问题的转化。巩固列方程解应用题的一般步骤。完全掌握
总量=所有分量之和同时初步尝试运用列表方法分析实际问题，体会此种方法的益处。
问题2.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.
这个班有多少学生？[活动2]实践练习活动一元一次方程解实际问题的一般步骤
1
审题
2
设未知数
3
找相等关系
4
列方程
5
解方程
6
答题（先检验再答）
练习1：学校组织初一年级79名同学捐旧报纸，1班每人捐5斤，二班每人捐4斤，总共捐了354斤，求两班各有多少人？练习2：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现在有蜻蜓、蜘蛛若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍少5只，问蜘蛛、蜻蜓各有多少只？解：设有蜘蛛x只，蜻蜓有（2x-5）只，则8x+6（2x-5）=270
解方程得
x=15，
2x-5=25答：蜘蛛有15只，蜻蜓有25只。
让学生巩固找出相等关系列出方程数量关系：各部分之和=全体让学生体会：找相等关系是列方程的关键所在。培养学生观察、概括及语言表达能力。充分调动学生学习的积极性，让学生各抒己见，充分展开讨论，得到不同的方程，不同的解法。及时巩固所学的知识。
[活动3]配套问题和调度问题例2.
某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头各套上一螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，问多少工人生产螺栓，多少工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套？
生产调度问题（劳力调配问题）例3：
甲班有45人，乙班有39人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛。如果甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍。问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
分析：本题中的配套需满足的等量关系是：生产的螺栓的件数×2=生产的螺母的件数新问题：教师：解：设x名工人生产螺栓，(28－x)名工人生产螺母，列方程得
2
×
12x=18(28－x)
解得
x=12,
生产螺母的人数为
28－x=16答：12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺帽正好配套
巩固列表格分析已知与未知间的关系的方法，根据倍数关系列方程在激发学生的学习兴趣的同时，巩固列表的方法解决实际问题
[活动4]某抗洪突击队有50名队员，承担着保护大堤的任务。已知在相同的时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋。问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？思考
已知5台A型机器一天的产品装满8箱还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱有多少个产品？教师提出新问题：你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
相等关系往往不只一个，所以列方程也不只一个。引导学生观察、概括，明确方程特点，把握方程本质。
师生归纳[活动5]
归纳总结
巩固发展
布置作业
学生总结含有一元一次方程应用题的步骤。1
审题
2
设未知数
3
找相等关系
4
列方程
5
解方程
6
答题（先检验再答）
使学生明确解列方程解应用题的一般步骤。通过小结，使学生把所学的知识系统化3.4
一元一次方程模型的应用
第4课时
教学目标
【知识与能力】
通过分段计价问题及方案问题的分析与解决过程，并初步掌握分段计价问题和方案问题的解决方法。
【过程与方法】
培养和提高列一元一次方程解决分段计价问题的能力及小组协作精神。
【情感态度价值观】
体会数学源于生活、用于生活。
教学重难点
【教学重点】
同类项的概念和合并同类项法则。
【教学难点】
识别同类项，合并同类项。
课前准备
无
教学过程
1、预习
【学生活动】课代表组织进行抽测，检测同学预习情况。
分段计费问题：标准内的计费+超标部分的计费=
.
植树问题：间隔数+
=植树棵树；
间隔数?间距=
；
方案一的路长
方案二的路长.
2、新课讲授
今天我们来学习一元一次方程的应用——分段计费、植树（板书课题“一元一次方程的应用——分段计费、植树”）
【展示-提升】
【学生活动】由课代表随机抽取一个小组展示：
例1：现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两段各有1棵，并且每两棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5米栽1棵，则树苗刚好用完。
请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.（课前板书在黑板
上）
1.展示组引入：请大家一起来看到例1。
2.展示组分析：这是一道有关植树问题的题型.通过预习交流，明确已知量。
从此例题中，我们可以知道方案一应植棵树21+x，方案二应植棵树x；
方案一路长=5（21+x-1），
方案二路长=5.5(x-1)；且方案一的路长=方案二的路长.
3.展示组讲解：所以我们可以根据此等量关系来建立方程：
解：设原有树苗x，根据等量关系，得5（21+x-1）=5.5(x-1)????????
因此，这段路长为解之得x=211.
答：原有树苗211棵，这段路的路长为1155m.
4.展示组总结：解决植树有关的问题，我们可以把植树的有关等量关系式先列出来，然后根据等量关系是列方程来解决它.
练习1：检测反馈第1题.
例2：我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，很多城市制定了用水收费标准．A市规定了每户每月的标准用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米2.1元收费，超过标准用水量的部分按每立方米3元收费．该市张大爷家5月份用水9立方米，需交费21.6元．A市规定的每户每月标准用水量是多少立方米？
1.展示组引入：请大家一起来看到例2.
2.展示组讲解：所以根据预习交流我们知道标准内的计费+超标部分的计费=总计费及题意我们分析问题中的等量关系可以建立方程.
解：设A市规定的每户每月标准水量是x立方米.
根据题意得：
2.1x+3(9-x)=21.6.
解之得：x=6
答：A市规定的每户每月标准水量是6立方米.
3.展示组总结：解决这些与实际生活有关的问题，我们可以把它转化成我们课本所
学习的知识来解决它，可以根据问题的实际情况建立我们学习过的一元一次方程模型，而本题的关键是要找到等量关系标准内的计费+超标部分的计费=总计价.
【教师活动】教师对该小组的展示进行点评以及各项环节评分，同时课代表对非展示组的参与，纪律等评分项进行评分.
【梳理-总结】
【教师活动】该环节由教师进行总结，强调本堂课的重点、难点以及易错点，对知识形成条理，加深学生对知识的掌握.3.4
一元一次方程模型的应用
第2课时
教学目标
【知识与能力】
1.近一步熟悉与巩固一元一次方程的解法；
2.通过探究，会应用一元一次方程解决较复杂的实际问题。
【过程与方法】
1.会将较复杂的实际问题转换为数学问题，并能通过列方程解决问题；
2.体会数学知识的应用价值。
【情感态度价值观】
1.通过自主和探究学习，体验解决问题后的愉悦感，从而增强学习兴趣和信心；
2.通过合作学习，增强团队意识和集体凝聚力；
3.通过探究学习，增加学生的经济知识和经营意识，初步了解市场运作的有关知识。
教学重难点
【教学重点】
会用一元一次方程解较复杂的应用题。
【教学难点】
找出问题中比较隐蔽的数量关系并列出方程。
课前准备
无
教学过程
【销售问题】
创设情境，孕育新知:
时间匆匆地从指间划过，不知不觉中，秋天到了，夏天过去了，在季节的转换中，许多商家借此机会搞许多促销活动，一天，小刚的妈妈回家后高兴地对小刚说：“今天我碰上服装店亏本大甩卖，平时要花300元（200%的利润率）的衣服我只要花了180元就买回来了.”
服装店真的亏本了吗？
议一议：
一件商品的进价是60元，标价是100元，打九折销售，请问:
(1)售价是多少元？
(2)利润是多少元？利润率是多少？
试一试：
(1)商品进价是30元，售价是45元，则利润是_____元.利润率是_____.
(2)商品进价200元，售价150元，利润是
______元.利润率是______.
利润和利润率可以是负数吗？如果是负数表示什么？
议一议：
引例1：某商店以60元的价格卖出一件衣服且盈利50﹪,若设进价为x元,则可列方程
＿解得x=＿＿＿元.
引例2：某商店以60元的价格卖出一件衣服且亏损50﹪,若设进价为y元,则可列方程 .解得y=＿＿＿元.
记一记：销售中的盈亏关系式：
打x
折的售价=
标价×
利润
=
售价－进价
利润率
=
%
售价=进价+进价×利润率
抢答题：
（1）标价：10元，折扣：8折
，售价：？
（2）进价：80元，售价：120元，利润：？
（3）进价：200元，售价：320元，利润率：？
（4）进价：50元，售价：40元，利润率：？
（5）售价：28元，利润率：40%，进价：？
探究一：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25元，另一件亏损25元，卖这两件衣服商店总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
探究二：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，请问：
(1)这两件衣服的进价各是多少元？
(2)卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
前后呼应：解决刚上课时提出的问题：服装店真的亏本了吗？
一天，小刚的妈妈回家后高兴的对小刚说：“今天碰上服装店亏本大甩卖，平时要花300元（200%的利润率）的衣服我只要花了180元就买回来了.”
服装店真的亏本了吗？
课堂回顾
反馈练习：两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件盈利40%，则两件商品卖后总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
练一练：
(1)一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为_____元。
(2)某商品的售价为180元，亏损10%，则该商品的进价为______元。
【本息问题】
创设情境，孕育新知:
1．你和父母去银行存过钱吗？
存款的方式有哪些？
忆一忆：如果你准备把一笔钱存入银行，那么你要告诉银行工作人员关于存款的哪些要求？
记一记：利率
利率=利息/本金
月利率、年利率
以整存整取为例
“整存整取”：定期储蓄的一种，指约定存期，整比存入，到期一次支取本息。
存期分为
三个月、半年、一年、两年、三年、五年
“整存整取”
定期储蓄的年利率（10000元为例）
一年期：3.50%
10000×3.50%
二年期：4.40%
。。。。。。。。。。
三年期：5.00%
10000×5.00%×3
五年期：5.50%
。。。。。。。。。
利息=本金×存期×年利率
本利和（本息和）=本金+利息
存期
利率
本金
利息
本利和
3年期
5.00%
1000
利息=1000×3×5.00%=150
本利和=1000+150=1150
探究一：银行“整存整取”5年期定期储蓄的年利率是5.50%。某储户存入5年期定期储蓄人民币若干元，到期后他将获得1375元的利息，问储户当时存入人民币多少元？
分析：
1.审题，找出关键信息及之间的关系
2..找等量关系。采用列表法分析
存期
利率
本金
利息
5年
5.50%
x
1375
利息=本金×存期×年利率
探究二：银行“整存整取”:1年期定期储蓄的年利率是3.50%。某储户存入1年期定期储蓄人民币若干元，到期时银行向他支付本息共计3105元，问储户当时存入人民币多少元？
分析
存期
利率
本金
本利和
1
3.50%
X
3105元，
本利和（本息和）=本金+利息
课堂回顾
分析储蓄利率问题的方法：
基本量：本金、存期、利息、年利率、本利和
基本关系式：
利息总额=本金×存期×年利率
本利和（本息和）=本金+利息
探究三：
银行“整存整取”:1年期定期储蓄的年利率是3.50%，3年期定期储蓄的年利率是5.00%。某储户存入1年期和3年期定期储蓄共10万元人民币，两种储蓄各自到期后，共得利息8100元人民币。问储户办理的1年期定期储蓄存入人民币多少万元？
分析：
1年期
3年期
利息和
利率
3.50%
5.00%
8100元
本金
X万元
（10-x）万元
利息
3.50%x
3×5.00%（10-x）
相等关系：1年定期存款利息+3年定期存款利息=应得利息
例3小结
解决利息问题的关键
1.清楚基本量和他们之间的关系
2.利用表格分析法
探究四：某储户将若干人民币办理“整存整取”3年期定期储蓄，到期后，将本金和利息全部取出，并将它们再存为3年期定期储蓄。若他第二个3年定期到期后应得利息1725元，假定年利率保持不变，求该储蓄户第一个3年期定期存入多少万人民币。
3年期定期储蓄的年利率是5.00%。
分析：（注意统一单位）
1.储蓄利率问题中涉及的基本量：
本金、存期、利率、利息、本息和
2.
“整存整取“储蓄问题中的基本关系式：
利息总额=本金×存期×年利率
本利和（本息和）=本金+利息总额
3.分析方法及注意事项：借助表格分析基本量及其之间的关系
第1个3年期
第2个3年期
本金
X万元
X+3×5.00%x
利息
3×5.00%x
（x+3×5.00%x）×3×5.00%=0.1725
本利和
X+3×5.00%x
根据基本关系式找出相等关系注意单位统一解含有百分数的方程的方法去分母，化成小数
课后作业：
请再做一做:
1.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？
2.小明把一笔压岁钱存入银行，办理“整存整取”5年定期，他根据银行“整存整取”5年期的年利率为5,.50%计算，预计到期后可以获得550元的利息，请你算一算，小明存入了银行多少钱？
3.聪聪的爸爸为他存了3年定期和5年定期的两笔存款共5万元，两种存款的年利率分别是5.00%和5.5.%，分别到期后共可取出60000元，问两种存款分别存入了多少元？
存多久
增多少钱
存多少钱
利息
存期
本金
