9.2.4总体离散程度的估计（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第九章 统计
9.2.4总体离散程度的估计
一、教学目标
1.会求样本数据的方差、标准差、极差．2.结合实例;
2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差);
3.理解离散程度参数的统计含义;
4.通过对总体离散程度的估计的学习，培养学生数学分析、数学运算、数学抽象等数学素养。
二、教学重难点
1.会求样本数据的方差、标准差;
2.能用样本标准差、方差、极差样本总体的离散程度
三、教学过程：
（1）创设情景
阅读课本，完成下列填空。
对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是(　　)
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
【答案】B
【解析】由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选:B.
新知探究
问题1:使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策,我们如何用一个统计数字刻画样本数据的离散程度?
学生回答,教师点拨并(提出本节课所学内容)
新知建构
方差、标准差的定义：
一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为
总体方差、总体标准差的定义:
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S2＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝
样本方差、样本标准差的定义:
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称
s2＝为样本方差，s＝为样本标准差．
方差、标准差特征:
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差
（4）数学运用
例1.甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：
（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）：
平均数 方差 命中环及环以上的次数
甲


乙


（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.
参考公式：.
【答案】（1）详见解析；（2）①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力.
【解析】（1）由列联表中数据，计算由题图，知：
甲射击10次中靶环数分别为、、、、、、、、、.
将它们由小到大排列为、、、、、、、、、.
乙射击次中靶环数分别为、、、、、、、、、.
将它们由小到大排列为、、、、、、、、、；
（1）（环），
.
填表如下：
平均数 方差 命中环及环以上的次数
甲


乙


（2）①平均数相同，，甲成绩比乙稳定；
②平均数相同，命中环及环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些；
③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，
乙更有潜力.
变式训练1:甲?乙?丙?丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表：
题目 学生 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
甲 10 10 10 20 0
乙 10 10 5 15 10
丙 10 10 15 15 10
丁 0 10 10 20 20
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均得分比丙的平均得分高
B．乙的得分极差比丁的得分极差大
C．对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好
D．对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小
【答案】D
【解析】对于选项A，甲的平均分为，丙的平均分为，故甲的平均得分比丙的平均得分低，故A错误；
对于选项B，乙的得分极差为，丁的得分极差为，极差相等，故B错误；
对于选项C，不清楚两题的具体分值是否相同，所以不能通过平均分判断第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好，故C错误；
对于选项D，第3题得分的平均值为，
故方差为，
第5题得分的平均分为，
故方差为，
故第3题得分的方差比第5题得分的方差小.故D正确.故选：D.
变式训练2:若样本数据，，…，的标准差为，则方差为___________;数据，，…，的标准差为_____________
【答案】16 8
【解析】设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，
则原数据的方差为，
则新数据的方差为：
．
故数据，，…，的标准差为：8．故答案为：16 8
例2.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001，002，…，900.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差.
【答案】平均数约为7.2，方差约为3.56
【解析】设样本中选择A题目的成绩的平均数为，方差为；
样本中选择B题目的成绩的平均数为，方差为，
则，
所以样本的平均数为，
方差为.
故该校900名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56.
变式训练:“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用区间，内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8．方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为_________
【答案】1.95
【解析】设乙得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，
由平均数为8，知，
所以这20位市民的幸福感指数之和为，平均数为．
由方差定义，乙所得数据的方差，
由于，解得，
因为甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
所以，
所以这20位市民的幸福感指数的方差为
．
故答案为：1.95
例3:随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了10名用户，得到用户的满意度评分分别为92，84，86，78，89，74，83，77，89.
（1）计算样本的平均数和方差；
（2）在（1）条件下，若用户的满意度评分在（，）之间，则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.
参考数据：，，.
【答案】（1），
（2）
【解析】（1）由题意知,，
.
所以，.
由知，用户的满意度评分在之间时，满意度为“A级”,
即用户的满意度评分在之间时, 满意度为“A级”，
因为调查的10名用户评分数据中，在内共有5名，
所以该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为.
变式训练:一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则求原来数据的方差.
【答案】17.2，0.4
【解析】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，
则，，
所以，
所以，所以，
由题意得，
所以，
所以
所以，
所以，所以.
四、小结：
方差、标准差的定义：
总体方差、总体标准差的定义:
样本方差、样本标准差的定义:
方差、标准差特征:
五、作业：习题9.2.4