4.2 1等差数列的概念同步练习-2021-2022学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册Word含答案

4.21
等差数列的概念
课本温习
1.
下列结论中，正确的是(　　)
①
1，2，3，4，5可以构成等差数列；②
常数列也是等差数列；③
若一个数列从第二项开始与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列．
A.
①②　
B.
②③　
C.
③④　
D.
①④
2.
若数列1，a，9是等差数列，则a的值为(　　)
A.
2　
B.
3　
C.
4　
D.
5
3.
已知数列{an}是公差为d的等差数列，点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么d的值为(　　)
A.
2　
B.
3　
C.
4　
D.
5
4.
在等差数列{an}中，a4＝15，S5＝55，则过点A(3，a3)，B(4，a4)的直线的斜率为(　　)
A.
2　
B.
3　
C.
4　
D.
5
固基强能
5.
成等差数列的四个数的和为20，第二个数与第三个数之积为24，则这四个数分别为(　　)
A.
2，4，6，8　
B.
8，6，4，2
C.
2，4，6，8或8，6，4，2　
D.
以上都不对
6.
(多选)已知2a，b，2c是等差数列的前三项，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴
的公共点个数可能为(　　)
A.
0　
B.
1　
C.
2　
D.
3
7.
(多选)已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列中的项可以是(　　)
A.
20　
B.
21　
C.
25　
D.
26
8.
已知m≠n，若两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
9.
若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为
．
10.
已知b是a和c的等差中项，lg(b－5)是lg(a－1)与lg(c－6)的等差中项，又a，b，c三个数之和为33，则三个数为
．
11.
若5，x，y，z，21成等差数列，则x＝________，y＝________，z＝________．
12.
若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋1－an}是公差为________的等差数列，数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
规范演练
13.
已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记bn＝an＋1－an.求证：对任意实数p和q，数列{bn}是等差数列．
14.
已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N
)确定．求证：是等差数列．
等差数列的概念
1.
A　解析：①符合等差数列的定义；②常数列可以看作是公差为0的等差数列；③一个数列从第二项开始每一项与前一项的差必须是同一个常数，这个数列才是等差数列．故选A.
2.
D　解析：由1，a，9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴
2a＝10，∴
a＝5.故选D.
3.
B　解析：∵
点(n，an)在直线3x－y－24＝0上，∴
an＝3n－24，∴
d＝a2－a1＝3.
4.
C　解析：∵
{an}是等差数列，∴
S5＝5a3＝55，∴
a3＝11.∴
a4－a3＝15－11＝4，
∴
kAB＝＝＝4.故选C.
5.
C　解析：
设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
解得或∴
所求的四个数为2，4，6，8或8，6，4，2.故选C.
6.
BC　解析：∵
2a，b，2c构成等差数列，∴
b＝a＋c，∴
二次函数对应的二次方程的判别式Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2.若2a，b，2c的公差为0，则2a＝2c，即a＝c，Δ＝0，故f(x)的图象与x轴有且只有一个交点；若2a，b，2c的公差不为0，则a≠c，∴
Δ＞0.∴
f(x)的图象与x轴有两个交点．故选BC.
7.
BD　解析：
因为6m是m和m＋100的等差中项，所以6m×2＝m＋(m＋10)，解得m＝1，所以首项a1＝1，公差d＝6m－m＝5，则an＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4.故选BD.
8.
　解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝(n－m)，∴
＝＝.
9.
解：由log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，得2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)．∴(2x－1)2＝2·(2x＋11)，化简得(2x)2－4·2x－21＝0，解得2x＝7或2x＝－3(舍去)，故x＝log27.
10.
解：由题意可设a，b，c三个数依次为b－d，b，b＋d.
∵
a＋b＋c＝33，
∴(b－d)＋b＋(b＋d)＝33，∴
b＝11.
又lg
(b－5)是lg
(a－1)与lg
(c－6)的等差中项，
∴
2lg
(b－5)＝lg
(a－1)＋lg
(c－6)，
∴(b－5)2＝(a－1)(c－6)＝(b－d－1)·(b＋d－6)，
∴
62＝(10－d)(5＋d)，解得d＝7或d＝－2.
∴
所求三个数分别为4，11，18或13，11，9.
11.
9　13　17　解析：
2y＝5＋21＝26，∴
y＝13.又2x＝5＋y＝5＋13＝18，∴
x＝9.同理可得z＝17.
12.
0　3d　解析：(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝d－d＝0，(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
13.
证明：∵
an＋1－an＝2pn＋p＋q，
an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴
bn＋1－bn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为常数，
∴
数列{bn}是等差数列．
14.
证明：∵
xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N
)，∴
＝＝＋，
∴
－＝(n≥2，n∈N
)，
∴
是等差数列．