4.3.1 等比数列的概念同步练习-2021-2022学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册Word含答案

　4.31等比数列的概念
课本温习
1.
若2是b－1，b＋1的等比中项，则b的值为(　　)
A.
3　
B.
－3
C.
±3　
D.
以上都不对
2.
若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为(　　)
A.
1　
B.
2
C.
3　
D.
4
3.
若2a，b，2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　)
A.
0　
B.
1
C.
2　
D.
3
4.
已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则其第四项的值为(　　)
A.
－　
B.
－
C.
－　
D.
－
固基强能
5.
在和6之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为(　　)
A.
24　
B.
48
C.
64　
D.
128
6.
下列命题中正确的是(　　)
A.
若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B.
若－＝－，则－a，b，－c成等比数列
C.
若数列{an}中，an＝qan－1(q为常数，n∈N，n≥2)，则数列{an}为等比数列
D.
对任意等比数列{an}，a2，a4，a8成等比数列
7.
(多选)已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则下列说法不正确的是(　　)
A.
a，b，c成等差数列不成等比数列
B.
a，b，c成等比数列不成等差数列
C.
a，b，c既成等差数列又成等比数列
D.
a，b，c既不成等差数列又不成等比数列
8.
(多选)若数列{an}满足lg
an＋1＝1＋lg
an，a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)不等于(　　)
A.
1　
B.
2　
C.
3　
D.
4
9.
设a，b，c成等比数列，x为a，b的等差中项，y为b，c的等差中项，则＋的值为
．
10.
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N
.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
求证：对任意的正整数n，当n>1时都存在m∈N
，使得a1，an，am成等比数列．
11.
设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝________．
12.
已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则y＝________，xyz＝__________．
规范演练
13.
已知三个数成等差数列，其和为126.另外三个数成等比数列且公比是整数，把这两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84，求这两个数列．
14.
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an＋1)(n∈N＋)．
(1)
求a1，a2的值；
(2)
求证：数列{an}是等比数列.
等比数列的概念
1.
C　解析：∵(b－1)(b＋1)＝(2)2，∴
b2－1＝8，b2＝9，解得b＝±3.故选C.
2.
A　解析：由已知得∴2b＝a＋，即a2＋b2＝2ab，∴(a－b)2＝0.
∵
a＝b≠0，∴
q＝＝1.故选A.
3.
B　解析：由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，∴
Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，即与x轴只有1个交点．故选B.
4.
B　解析：由x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4.若x＝－1，则第二项、第三项为0，不合题意，∴
x＝－4，∴
a4＝－.故选B.
5.
C　解析：
设插入的三个数为，a，aq，由五个数，，a，aq，6成等比数列知，a＞0且·aq＝×6＝16，∴
a＝4(a＝－4舍去)．∴
插入的三个数的乘积为·a·aq＝a3＝64.故选C.
6.
B　解析：
A中，若a＝b＝0，则a，b，c不成等比数列；B中，∵
－＝－，即＝，∴
－a，b，－c成等比数列；C中，当q＝0或an＝0时，{an}不是等比数列；D中，设等比数列的公比为q，则a2＝a1q，a4＝a1q3，a8＝a1q7，a＝aq6，a2·a8＝aq8，当q≠±1时，a2·a8≠a，故a2，a4，a8不成等比数列．
7.
BCD　解析：
∵
3，6，12成等比数列，即2a，2b，2c成等比数列，∴
a，b，c成等差数列且公差d＝log26－log23＝1，∴
a，b，c不成等比数列，因此只有A项是正确的．故选BCD.
8.
ABC　解析：
由条件知＝10，即数列{an}是公比q＝10的等比数列，所以lg
(a4＋a5＋a6)＝lg
[q3(a1＋a2＋a3)]＝4.故选ABC.
9.
解：∵
a，b，c成等比数列，∴
b2＝ac.
∵
x为a，b的等差中项，∴
2x＝a＋b.
∵
y为b，c的等差中项，∴
2y＝b＋c.
∴
＋＝＋＝2
＝＝＝2.
10.
(1)
解：由Sn＝，得a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，这个式子对a1也适合，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.
(2)
证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2.
∵
n∈N
，∴
3n2－4n＋2是整数．
∵
n>1，3n2－4n＋2＝32＋≥32＋＝6.∵
3n2－4n＋2是正整数．∴
取正整数m＝3n2－4n＋2，可使a1，an，am成等比数列．∴
对任意的n＞1，都存在m∈N
，使得a1，an，am成等比数列．
11.
－　解析：
∵
{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，∴
S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6.由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.
12.
　－3　解析：由等比中项知y2＝3，∴
y＝±.∵
y与－1，－3符号相同，
∴
y＝－.∵
y2＝xz，∴
xyz＝y3＝－3.
13.
解：设成等差数列的三个数分别为b－d，b，b＋d，则b－d＋b＋b＋d＝126，∴
b＝42.∴
这三个数可写成42－d，42，42＋d.再设成等比数列的三个数分别为a，aq，aq2，则即解得或(舍去)．
∴
成等比的数列是17，34，68，成等差的数列是68，42，16.
14.
(1)
解：由S1＝(a1＋1)，
得a1＝(a1＋1)，
∴
a1＝.
又S2＝(a2＋1)，
即a1＋a2＝(a2＋1)，
解得a2＝－.
(2)
证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)，
解得an＝－an－1，即＝－.
∵a1＝，a2＝－，
∴
＝－，
故{an}是以为首项，公比为－的等比数列．