4.3.2等比数列的通项公式（2）同步练习-2021-2022学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册Word含答案

等比数列的通项公式(2)
课本温习
1.
已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)
A.
±　
B.
－　
C.
　
D.
±
2.
在等比数列{an}中，已知a1a3a11＝8，那么a2a8等于(　　)
A.
2　
B.
4　
C.
6　
D.
8
3.
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a3＋2a2a5＋a4a6＝2，则a2＋a5等于(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
4.
已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn.若T13＝4T9，则a8a15＝(　　)
A.
±2　
B.
±4　
C.
2　
D.
4
5.
在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8等于(　　)
A.
4　
B.
8　
C.
12　
D.
16
固基强能
6.
已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)
A.
＋1　
B.
3＋2
C.
3－2　
D.
2－3
7.
(多选)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N
.若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23，17，37，82}中，则q的值可能为(　　)
A.
－　
B.
－
C.
－　
D.
－
8.
(多选)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则的可能取值为(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
9.
已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，则这四个数为
．
10.
在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，则数列{an}的通项公式为
．
11.
已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b1b3＝________，＝________．
12.
已知{an}为公比q＝2的等比数列，a1＞0，{bn}为公差d＝2的等差数列．若对任意正整数n都有logxan－bn＝logxa1－b1成立，则实数x＝________．
规范演练
13.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n∈N
)．
(1)
若数列{an＋t}是等比数列，求t的值；
(2)
求数列{an}的通项公式．
14.
定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(a＋an)(n∈N
)．
(1)
令bn＝2an＋1，求证：数列{bn}为“平方递推数列”；
(2)
数列{lg(2an＋1)}是否为等比数列？若是，求出数列{an}的通项公式；若不是，请说明理由．
等比数列的通项公式(2)
1.
C　解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝＝.
2.
B　解析：
∵
a1a3a11＝(a1q4)3＝8，∴
a1q4＝2，∴
a2a8＝a1q·a1q7＝(a1q4)2＝4.故选B.
3.
B　解析：∵
a1a3＝a，a4a6＝a，∴
a1a3＋2a2a5＋a4a6＝a＋2a2a5＋a＝(a2＋a5)2，即(a2＋a5)2＝2.又an＞0，∴
a2＋a5＝.故选B.
4.
C　解析：∵
T13＝4T9，
∴
a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴
a10a11a12a13＝4.
又a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴
(a8·a15)2＝4，∴
a8a15＝±2.
∵
{an}为递减数列，∴
q＞0，∴
a8a15＝2.
5.
D　解析：∵
2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，b7＝a7≠0，∴
b7＝a7＝4，
∴
b6·b8＝b＝16.故选D.
6.
C　解析：设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，则a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得
q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，所以q＞0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.
7.
BC　解析：由条件可知an的连续四项在集合{－54，－24，16，36，81}中，由题意知，这四项可选择－54，36，－24，16，此时q＝－，若选择16，－24，36，－54，则q＝－.
8.
AC　解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴
m＝4＋＝.对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，∴
等比数列为，x1，x2，4，∴
q3＝＝8，∴
q＝2，∴
x1＝1，x2＝2，∴
n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴
＝＝.
同理，若x＝是方程x2－nx＋2＝0的根，计算得出＝.
9.
解：依题意可设这四个数分别为，4－d，4，4＋d
，则由前三个数和为19可列方程得＋4－d＋4＝19，整理得d2－12d－28＝0，解得d＝－2或d＝14.
∴
这四个数分别为25，－10，4，18或9，6，4，2.
10.
解：∵
a1a5＝a，a3a7＝a，
∴
由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴
即
解得或
分别解得或
∴
an＝2n－2或an＝26－n.
11.
4　－1　解析：由题意，b1b3＝(－4)×(－1)＝4，a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.
12.
　解析：
依题意an＝a1·2n－1，bn＝b1＋2(n－1)，∴
logxan－bn＝(n－1)logx2＋logxa1－b1－2(n－1)＝(logx2－2)n＋(logxa1－logx2－b1＋2)．∵
(logx2－2)n＋(logxa1－logx2－b1＋2)＝logxa1－b1对任意正整数n都成立，∴
logx2－2＝0且logxa1－logx2－b1＋2＝logxa1－b1，即logx2＝2，∴
x＝.
13.
解：(1)
当n＝1时，由a1＝＝，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，所以a2＝3，a3＝7.
依题意，得(3＋t)2＝(1＋t)(7＋t)，解得t＝1，
当t＝1时，an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2，
即{an＋1}为等比数列成立，
故实数t的值为1.
(2)
由(1)，知当n≥2时，an＋1＝2(an－1＋1)．
因为a1＋1＝2，
所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，
所以an＝2n－1(n∈N
)．
14.
(1)
证明：由于2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2，所以数列{2an＋1}为“平方递推数列”，即数列{bn}为“平方递推数列”．
(2)
解：因为lg(2an＋1＋1)＝2lg(2an＋1)，即＝2，
所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列，且lg(2an＋1)＝2n－1lg(2a1＋1)＝2n－1lg
5，
所以2an＋1＝52n－1，即an＝.