4.3.3等比数列的前n项和（2）同步练习-2021-2022学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册Word含答案

等比数列的前n项和(2)
课本温习
1.
已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列前15项和S15等于(　　)
A.
10　
B.
11　
C.
12　
D.
13
2.
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
3.
已知等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q等于(　　)
A.
2　
B.
4　
C.
6　
D.
8
4.
数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，它的前n项和为Sn，则满足Sn＞1
025的最小n值为(　　)
A.
9　
B.
10　
C.
11　
D.
12
5.
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
固基强能
6.
设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A.
1　
B.
2　
C.
3　
D.
4
7.
(多选)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．的最大值为
D．的最大值为
8.
(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列选项正确的有（　　）
A．数列{an2}是等比数列
B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D．若数列{an}的前n和Sn＝3n﹣1+r，则r＝﹣1
9.
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
则{an}的通项公式为
；cn＝an＋bn，则数列{cn}的前n项和为
．
10.
已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝，且an＋1；设Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，则Tn最大值为
11.
已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是________，该数列的公比是________．
12.
已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N
)的取值范围是________．
规范演练
13.
已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．
(1)
求等比数列{an}的通项公式；
(2)
对n∈N
，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
14.
某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造．预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年记为第1年)的利润为500(1＋)万元(n为正整数)．
(1)
设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；
(2)
依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
等比数列的前n项和(2)
1.
B　解析：∵
{an}为等比数列，S3＝1，S6－S3＝－2，∴
S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴
S15＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＋(S15－S12)＝1－2＋4－8＋16＝11.故选B.
2.
B　解析：由题意可知公比不为1，则有4S2＝S1＋3S3，即4×＝a1＋3×.化简，得3q2－q＝0，即q＝或q＝0(舍去)．故选B.
3.
A　解析：∵
数列{an}的所有项的和是奇数项的和的3倍，∴
数列{an}的偶数项的和是奇数项的和的2倍，即a2＋a4＋…＋a2n＝2(a1＋a3＋…＋a2n－1)．又a2＝qa1，a4＝qa3，…，a2n＝qa2n－1，∴
q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝2(a1＋a3＋…＋a2n－1)．∵
等比数列的所有奇数项的符号相同，∴
a1＋a3＋…＋a2n－1≠0，∴
q＝2.故选A.
4.
C　解析：因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，所以an＋1＝2an，所以an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn＞1
025的最小n值是11.故选C.
5.
C　解析：
∵
S99＝30，即a1(299－1)＝30，又数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴
a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝＝×30＝.故选C.
6.
A　解析：因为Sn－Sn－1＝an，{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.故选A.
7.
【答案】AD
8.
【答案】A，C
【解析】由数列{an}是等比数列，知：
在A中，∵，∴＝＝q2是常数，∴数列{an2}是等比数列，故A正确；
在B中，若a3＝2，a7＝32，则a5＝＝8，故B错误；
在C中，若a1＜a2＜a3，则q＞1，数列{an}是递增数列，故C正确；
在D中，若数列{an}的前n和Sn＝3n﹣1+r，则a1＝S1＝1+r，
a2＝S2﹣S1＝（3+r）﹣（1+r）＝2，a3＝S3﹣S2＝（9+r）﹣（3+r）＝6，
∵a1，a2，a3成等比数列，∴，∴4＝6（1+r），解得r＝﹣，故D错误．
9.
解：(1)
设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由得
∴
{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1.
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴
1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴
{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N
)．
(2)
设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵
cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
∴
Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝
n2＋.
即数列{cn}的前n项和为n2＋.
10.
解：(1)
∵
a2＝32，a8＝，
∴
q6＝＝.
又an＋1q＝，a1＝＝64，
∴
an＝64·n－1＝27－n.
(2)
设bn＝log2an，则bn＝log227－n＝7－n，bn＋1－bn＝－1，∴
{bn}是公差为－1的等差数列．又b1＝log2a1＝6，∴
Tn＝6n＋×(－1)＝－n2＋n＝－＋.
∵
n是自然数，∴
当n＝6或n＝7时，Tn最大，最大值为T6＝T7＝21.
11.
S2　　解析：设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q＝2，但此时S3≠38，S4≠65，与题设不符，故算错的就是S2，此时，由S3＝38可得q＝(负值舍去)，且S4＝65也正确．
12.
　　解析：
∵
a5＝a2q3，∴
＝2×q3，∴
q＝，∴
a1＝＝4，∴
an＝4×＝，∴
akak＋1＝·＝，∴
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＋＋…＋＝32×(＋＋…＋)＝32×＝∈.
13.
解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，
所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0.
因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝·3n＝×，Tn＝××＝.
14.
解：(1)
依题意，得An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝500n－20×＝490n－10n2；
Bn＝500·[(1＋)＋(1＋)＋…＋(1＋)]－600＝500n－－100.
(2)
Bn－An＝－(490n－10n2)＝10n2＋10n－－100＝10.
令f(n)＝n(n＋1)－－10，容易证明f(n)在(0，＋∞)上为增函数．
①
若1≤n≤3，则f(n)
≤
f(3)，又f(3)＝12－－10<0，∴
1≤n≤3时，n(n＋1)－－10<0，Bn②
若n≥4，则f(n)≥f(4)，又f(4)＝20－－10>0，∴
n≥4时，n(n＋1)－－10>0，Bn>An.
故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．