函数性质的灵活应用
函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位．命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强．
利用函数的单调性、奇偶性比较大小
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
B．cC．bD．b设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
利用函数的奇偶性、单调性解不等式
设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－x2＋2x，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2)
D．(－2,1)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f?的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.
已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
根据函数的奇偶性、单调性求解析式及参数
设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．
函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，求f(x)的解析式．
已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.
(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．函数性质的灵活应用
函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位．命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强．
利用函数的单调性、奇偶性比较大小
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．cC．bD．b答案 C
解析 方法一 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∴a＝g(－2)＝g(2)，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴g(1)方法二 (特殊化)取f(x)＝x，
则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，
a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，
从而可得b设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
答案 <
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上单调递减，
∴f(5)利用函数的奇偶性、单调性解不等式
设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
答案 C
解析 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或
由图可知x>2或x<－2.
已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－x2＋2x，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2)
D．(－2,1)
答案 D
解析 ∵g(x)是奇函数，
∴x>0时，g(x)＝－g(－x)＝x2＋2x，
易知f(x)在R上是增函数，
由f(2－x2)>f(x)，可得2－x2>x，
即x2＋x－2<0，∴－2已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f?的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
(1)解 因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，
令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
令x＝，y＝9，则有f(1)＝f?＋f(9)＝0，f?＝2.
(2)证明 令x1所以>1，f?<0，
f(x2)＝f?＝f(x1)＋f?(3)解 由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化为f(2x－x2)又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得1－不等式解集为.
利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.
解 如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，
由图知，当x∈时，f(x)min＝f(1)＝－1，
又f?＝2，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5.
又f(x)为奇函数，所以当x∈时，
f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.
反思感悟 解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图象关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图象关于y轴对称．
已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)解 由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增．
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解 (1)设月产量为x台，则总成本为20
000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000；
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000，
当x>400时，f(x)＝60
000－100x单调递减，
f(x)<60
000－100×400<25
000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25
000元．
将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1
000－10x)个，
则y＝(x－40)(1
000－10x)＝－10(x－70)2＋9
000.
故当x＝70时，ymax＝9
000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润值为9
000元．
根据函数的奇偶性、单调性求解析式及参数
设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
解 设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．
解 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x
＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是a2－4a＋1，
综上，ymax＝
函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为_____________．
答案 f(x)＝
解析 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.
(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，
此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f(x)min＝－2.
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，
f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，即4ax＝0，故a＝0.
(3)函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，
∴4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4].
已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
解 (1)f(x)＝－2－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是x＝，要使f(x)在[－1,0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2.
(3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上递减．
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则即此时m无解．
②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上递增，则即解得m＝6.
③当2<<3，即4综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].