1.1集合的概念导学案-2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念
思考：（1）有几个解？
（2）西红柿是水果还是蔬菜？
（3）圆是由点组合而成，那么半径为1的圆和半径为2的圆到底哪个圆上的点多？
在（1）中，我们在有理数范围内看，它有1个解；我们在实数范围内看，它有3个解，两种说法都是对的。
在（2）中，如果按照蔬菜的定义，西红柿可以炒，我们可以把它看成蔬菜，如果按照水果的定义，西红柿可以生吃，我们也可以把它看成水果。两种说法都是对的。
在（3）中，如果我们把圆都拉成线段，半径为1的圆所对应的线段比半径为2的圆所对应的线段要段，那么点应该是后者多；我们也可以从对应的角度去说，如果两个圆有对应关系，那么我们发现小圆的每一个点我们都可以与大圆的点建立对应关系，那么我们发现小圆和大圆的点一样多。
从上述三个例子当中，我们发现有一个共同点，从不同的角度去解释都合理，难免会产生“意见歧义”，我们可以用什么方法来消除这种歧义呢？
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
注：
（1）我们是不对集合下定义的，故我们不需要追问到底什么是集合。我们把它称为公理化的集合论。只需把它看成是“整体”，“全体”的意思即可。
（2）“研究对象”我们可以理解为确定我们研究的内容，产生“意见歧义”最根本的原因就是我们研究的内容不统一，而集合这个工具，可以帮助我们实现研究内容的统一。在（1）中，如果我们把研究内容改为“有几个有理数解？”或者“有几个实数解？”就可以消除这种分歧。在（2）中，我们把研究内容改为“晚上我要炒一个蔬菜”那么所有符合蔬菜定义的植物我们都可以说成是蔬菜；我们把研究内容改为“我要做一个水果沙拉”那么所有符合水果定义的植物我们都可以说成是水果。在（3）中，我们把研究内容改为“两个圆分别转一圈，谁走过的路程长”，那么半径为2的圆走过的路程要长些。
思考：如果可以构成一个集合，集合里的元素应该满足什么样的特性呢？
集合中的元素应该满足一下特性：
确定性：给定一个集合，那么一个元素在或者不在这个集合中就确定了。反之，如果我们不能确定某个元素在不在这个集合中，那么这些元素就组成不了集合。
互异性：集合中的元素是互不相同的。
无序性：集合中的元素都是平等的，在书写过程中，书写的先后顺序不做要求。
如果有两个集合，其中的元素一样，那么它们就是同一个集合，我们就称这两个集合相等。
通常，我们用大写拉丁字母A,B,C……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c……表示元素。
如果元素a是集合A中的元素，就说元素a属于集合A，记作；如果元素a不是集合A中的元素，就说元素a不属于集合A，记作。
数学中一些常用的数集及其记法
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
Z
Q
R
我们应该用什么方式来表示集合呢？
常用的方式有以下三种：
（1）自然语言描述法：如果我们把2，4，6，8，10这5个数字组成一个集合，我们可以说“我们用字母A来表示2，4，6，8，10这5个元素组成的集合”；也可以说“1~10之间的偶数组成的集合”。
（2）列举法：我们把集合中所有的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。
例：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；
“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为。
（3）描述法（重点）：如果元素有无穷多个，无法用列举法把元素一一列举出来，我们就需要用描述法来表示，表示的格式为:
注：其中“”指的是我们用哪个字母来表示该集合的元素；“”指的是我们要表示的元素具有的共同特征。
例1：“的解集”我们可以表示为
例2：“奇数集”我们可以表示为
例3：“有理数集”我们可以表示为
注：
（1）通过3个例子我们发现，有时候在用描述法表示集合时，需要借助一个或者多个的字母来表示结果，故要注意写清楚到底用哪个字母来表示我们的需要描述的集合。比如和就表示为两个集合，一个是奇数集，一个是整数集。
（2）我们如何理解在描述共同特征时的其他字母呢？我们可以把它看做是一个数字就可以，它与我们要表示的元素有对应的关系，我们知道元素具有确定性，我们只需要确认在描述共同特征的表达式中是否可以找到我们要确认的元素即可。我们拿例2举例，我们要确认奇数3在不在这个集合中，只需另，则，说明3是集合中的元素。我们要确认2是不是这个集合中的元素，我们发现，当时，，而，不符合表达式中的条件，故2不是“奇数集”中的元素。通过此方法，我们发现我们去确认任何一个奇数在不在集合中，都可以用相对应的来表示出来，故该集合表示为奇数集。
思考：同学是否可以尝试用描述法来表示“无理数集”，“3的倍数的正整数集”和“不是3的倍数的正整数集”呢？
典型题型练习：
1．下列条件所指对象能构成集合的是
(
C
)
A．与0非常接近的数
B．我班喜欢跳舞的同学
C．我校学生中的团员
D．我班的高个子学生
解：A,B,D均违反了元素的确定性，我们无法确认“什么样的数非常接近0”；“到底多喜欢跳舞算做喜欢跳舞”；“多高算高个子学生”
2.
若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是(
D
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解：D选项违反了元素的互异性。
3.能被3整除的整数：
4.一个被5除余2的正整数：
5.
集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
解：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
6.
，则
A.
B.
C.
D.
集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由，所以
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
当时，符合题意；
当时，符合题意.
故为M中元素，即，选项正确.
7.已知集合，且，求的值
解：∵
，
∴
，或，
得，或
检验知：不满足集合元素的互异性，
∴
，答案为．