21.2.2 解一元二次方程〔公式法〕－2021至2022学年度人教版九年级数学上册新考向多视角同步训练（含解析）

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第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.2
公式法
知识能力全练
知识点一
一元二次方程根的判别式
1.(2020辽宁沈阳中考)一元二次方程x2－2x+1＝0的根的情况是(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.(2021山东济宁曲阜期末)下列一元二次方程没有实数根的是(
)
A.x2+x+1＝0
B.x2+x－1＝0
C.x2－2x－1＝0
D.x2－2x+1＝0
3.(2021河南南阳邓州期中)若关于x的方程(k－1)x2－2x+1＝0有两个不相等的实数根,则k的值可以为(
)
A.3
B.7
C.－1
D.1
4.(2021四川成都锦江期中)若关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0有两个相等的实数根,则以k为边长的正方形的面积为(
)
A.2
B.4
C.8
D.16
5.(2021广西南宁十四中期中)关于x的一元二次方程x2－2x+a＝0无实数根,则a的取值范围在数轴上表示为(
)
6.(2018内蒙古包头中考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m－2＝0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
7.(2021江苏扬州仪征期中)若关于x的一元二次方程kx2－4x+4＝0有两个实数根,则k的取值范围是________
8.(2020四川成都龙泉驿月考)若关于x的一元二次方程2x2－2x+(a+1)＝0没有实数根,则整数a的最小值为________。
9.(2020江苏泰州海陵期末)若关于x的一元二次方程x－2bx－4b+1＝0有两个相等的实数根,则代数式(3b－1)2－5b·
eq
\b
\bc\((2b－)
的值为________。
10.若实数a、b满足+＝0,且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根,则k的取值范围是________
知识点二
用公式法解一元二次方程
11.解一元二次方程时,用公式法得出x＝
(未经化简),它是下列哪个一元二次方程的根？(
)
A.2x2+4x＝－1
B.2x2－4x+1＝0
C.3x2－4x－1＝
D.2x2+4x－1＝0
12.(2021独家原创试题)用公式法解方程(x+1)(x－2)＝1,化为一般形式为________________,其中b2－4ac＝________,方程的解为________________。
13.解方程x2＝3x+2时,有一位同学解答如下:
∵a＝1,b＝3,c＝2,b2－4ac＝32－4×1×2＝1,
x=
eq
\f(-b±,2a)
＝
∴x1＝－1,x2＝－2.
请你分析以上解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
14.用公式法解方程:
(1)x2－7x－18＝0；
(2)4x2+4x－1＝－10－8x；
(3)2x2－7x+7＝0.
三年模拟全练
15.(2021山东临沂沂水期中,2,★☆☆)下列方程中,有两个不相等的实数根的是(
)
A.2x2+8＝0
B.x2－4x+4＝0
C.x2－2x－1＝0
D.2x2＝8x－9
16.(2021黑龙江齐齐哈尔铁锋期中8,★★☆)若关于x的方程ax2－x+1＝0有实数根,则a的取值范围是(
)
A.a≤且a≠0
B.a≤
C.a≥－且a≠0
D.a≥－
17.(2021河北石家庄期中,5,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2+2x－k＝0有两个相等的实数根,则k的值为________________。
18.(2021河南南阳南召期中,14,★★☆)若直线y＝x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数为________________
19.(2021内蒙古通辽奈曼旗月考,18,★★☆)用公式法解方程:
(1)x2+3x－4＝0；
(2)x2－2x+5＝2x+4
五年中考全练
20.(2020浙江湖州中考,6,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2+bx－1＝0,则下列关于该方程根的判断,正确的是(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数与实数b的取值有关
21.(2020湖南怀化中考,8,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2－kx+4＝0有两个相等的实数根,则k的值为(
)
A.4
B.－4
C.±4
D.±2
22.(2020辽宁丹东中考,13,★★☆)关于x的方程(m+1)x2+3x－1＝0有两个实数根,则m的取值范围是________
23.(2018甘肃兰州中考,18,★☆☆)解方程:3x2－2x－2＝0.
24.(2019湖南衡阳中考,21,★★☆)关于x的一元二次方程x2－3x+k＝0有实数根
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+m－3＝0与方程x2－3x+k＝0有一个相同的根,求此时m的值.
核心素养全练
25.(2021独家原创试题)若a,b,c为Rt△ABC的三边长,且a)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
26.(2021独家原创试题)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a－b+c＝0,那么我们称这个方程为“负一”方程,已知ax2+bx+c＝0(a≠0)是“负一”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论中错误的是(
)
A.a＝c
B.b＝2c
C.b＝2a
D.a＝b＝c
27.已知关于x的一元二次方程ax2－2(a－1)x+a－2＝0(a>0),设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于a的函数,且y＝x1－ax2,当y>0时,a的取值范围为(
)
A.a<3
B.a>3
C.0D.0????????????????????????????????????????????????????????????
《参考答案及解析》
21.2.2
公式法
知识能力全练
1.b
∵a＝1,b＝－2,c＝1,△＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0,∴方程x2－2x+1＝0有两个相等的实数根.故选B.
2.A
方程x2+x+1＝0中,△＝12－4×1×1＝－3<0,∴该方程没有实数根；
方程x2+x－1＝0中,△＝12－4×1×(－1)＝5>,该方程有两个不相等的实数根；
方程x2－2x－1＝0中,△＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0,∴该方程有两个不相等的实数根；
方程x2－2x+1＝中,△＝(－2)2－4×1×1＝0,∴该方程有两个相等的实数根故选A.
3.C
∵关于x的方程(k－1)x2－2x+1＝0有两个不相等的实数根,
∴△＝(－2)2－4×1×(k－1)>0且k－1≠0,∴k<2且k≠1.故选C.
4.D
由题意得△＝k2－4×4＝0,∴k2＝16,则以k为边长的正方形的面积为16.故选D.
5.A
∵关于x的一元二次方程x2－2x+a＝0无实数根,∴△＝(－2)2－4a<0,解得a>1.故选A.
6.b
∵a＝1,b＝2,c＝m－2,关于x的一元二次方程x2+2x+m－2＝0有两个实数根,
∴△＝b2－4ac＝22－4(m－2)＝12－m≥0,∴m≤3.m
为正整数,且该方程的根都是整数,
∴m＝2或3∵2+3＝5,∴选B.
7.【答案】k≤1且k≠0
【解析】∵方程有两个实数根,∴△＝b2－4ac＝16－16k≥0,且k≠0,∴k≤1且k≠0.
8.【答案】0
【解析】由题意知△＝(－2)2－4×2×(a+1)<0,则a>－,∴整数a的最小值为0.
9.【答案】
【解析】∵一元二次方程x2－2bx－4b+1＝0有两个相等的实数根,
∴(－2b)2－4××(－4b+1)＝4b2+8b－2＝0,∴b2+2b＝,
∴(3b－1)2－5b
eq
\b
\bc\((2b－)
＝－b2－2b+1＝－(b2+2b)+1＝－+1＝
10.【答案】k≤4且k≠0
【解析】∵实数a、b满足+＝0,b－1＝0,8－2a＝0,∴b＝1,a＝4∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根,即方程kx2+4x+1＝0有两个实数根,∴△＝42－4k≥0且k≠0,∴k≤4且k≠0
11.D
由x＝
eq
\f(－4+,2×2)
可知,符合的方程中,a＝2,b＝4,＝24,可排除选项B和C；选项A中,方程可化为2x2+4x+1＝0,△＝42－4×2×1＝8,不合题意；选项D中,△＝42－4×2(－1)＝24,符合题意故选D.
12.【答案】x2－x－3＝0；13；x1＝
eq
\f(1+,2)
,x2＝
eq
\f(1－,2)
【解析】原方程整理可得x2－x－3＝0,∵a＝1,＝－1,c＝－3,＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－3)＝13>0,
∴x=
eq
\f(-b±,2a)
＝,∴x1＝
eq
\f(1+,2)
,x2＝
eq
\f(1－,2)
13.【解析】有错误错误之处:没有先把方程化成一般形式正确解法:方程变形为x2－3x－2＝0,
∵a＝1,b＝－3,c＝－2,∴b2－4ac＝(－3)2－4×1(－2)＝17>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴x=
eq
\f(-b±,2a)
＝
∴x1＝,x2＝
14.【解析】(1)a＝1,b＝－7,c＝－18,△＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0,
方程有两个不相等的实数根,
x=
eq
\f(-b±,2a)
＝
eq
\f(－(－7)±,2×1)
＝,即x1＝9,x2＝－2
(2)方程整理得4x2+12x+9＝0,a＝4,b＝12,c＝9,
△＝122－4×4×9＝0,
x1＝x2＝－＝－＝－
(3)a＝2,b＝－7,c＝7,△＝(－7)2－4×2×7＝－7<0,方程没有实数根.
三年模拟全练
15.C
方程2x2+8＝0,△＝0－4×2×8＝－64<0,∴方程没有实数根；方程x2－4x+4＝0,△＝(－4)2－4×1×4＝0,∴方程有两个相等的实数根；方程x2－2x－1＝0,△＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0,∴方程有两个不相等的实数根；方程2x2＝8x－9可化为2x2－8x+9＝0,△＝(－8)2－4×29<0,∴方程没有实数根.故选C.
16.B
分为两种情况:①当a＝0时,－x+1＝0,解得x＝1；②当a≠0时,∵关于x的方程ax2－x+1＝0有实数根,∴△＝(－1)2－4×a×1＝1－4a≥0,解得a≤,故选B.
17.【答案】－1
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x－k＝0有两个相等的实数根,∴△＝b2－4ac＝4+4k＝0,解得k＝－1.故答案为－1.
18.【答案】1或2
【解析】∵直线y＝x+a不经过第二象限,∴a≤0,当a＝0时,关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程,解为x＝－；当a<0时,关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程,∵△＝22－4a>0,∴方程有两个不相等的实数根.故答案为1或2.
19.【解析】(1)a＝1,b＝3,c＝－4,
∵b2－4ac＝9+16＝25>0,
x=
eq
\f(-b±,2a)
＝,
解得x1＝1,x2＝－4.
(2)方程整理得x2－4x+1＝0,
则a＝1,b＝－4,c＝1,
∵b2－4ac＝16－4＝12>0,
∴x＝＝2±3,
解得x1＝2+,x2＝2－.
五年中考全练
20.A
∵△＝b2－4×(－1)＝b2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A
21.C
关于x的一元二次方程x2－kx+4＝0有两个相等的实数根,∴△＝(－k)2－4×1×4＝0,解得k＝±4.故选C.
22.【答案】m≥－且m≠－1
【解析】∵关于x的方程(m+1)x2+3x－1＝0有两个实数根,
∴△＝9+4(m+1)≥0,且m+1≠0,解得m≥－且m≠－1.
23.【解析】由题意知a＝3,b＝－2,c＝－2,所以△＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－2)＝28>0,
所以方程有两个不相等的实数根,所以x=
eq
\f(-b±,2a)
＝
eq
\f(2±,
2×3)
＝
eq
\f(1±,3)
即x1＝
eq
\f(1+,3)
,x2＝
eq
\f(1－,3)
.
24.【解析】(1)根据题意得△＝(－3)2－4k≥0,解得k≤
(2)由题意得k＝2,∴方程x2－3x+k＝0即为x2－3x+2＝0,解得x1＝1,x2＝2,
∵关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+m－3＝0与方程x2－3x+k＝0有一个相同的根,
∴当相同的根为x＝1时,m－1+1+m－3＝0,解得m＝；
当相同的根为x＝2时,4(m－1)+2+m－3＝0,解得m＝1,
易知m－1≠0,即m≠1,
∴m的值为
核心素养全练
25.B
∵a,b,c为Rt△ABC的三边长,且a26.D
ax2+bx+c＝0(a≠0)是“负一”方程,有两个相等的实数根,∴a－b+c＝0,且b2－4ac＝0.由a－b+c＝0可得b＝a+c,将b＝a+c代入b2－4ac＝0得a2+2ac+c2－4ac＝(a－c)2＝0,则a＝c,∴b＝2a＝2c故选D.
27.d
∵ax2－2(a－1)x+a－2＝0(a>0)是关于的一元二次方程,∴△＝
[－2(a－1)]2－4a(a－2)＝4,由求根公式,得x＝,∴x＝1或x＝>0,
∵a>0,x1>x2,∴x1＝1,x2＝1－∴y＝x1－ax2＝1－a
eq
\b
\bc\((1－)
＝1－a+2＝3－a,当y>0时,3－a>0,
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