22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质－2021至2022学年度人教版九年级数学上册新考向多视角同步训练（含解析）

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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2的图像和性质
知识能力全练
知识点 二次函数y＝ax2的图象和性质
1.下表是二次函数y＝ax2的部分x,y的对应值:
则下列说法不正确的是 ( )
A.图象开口向上 B.图象对称轴是y轴 C.图象顶点是原点 D.图象经过点(－3,6)
2.(2021安徽六安金安期中)抛物线y＝x2,y＝－3x2,y＝x2的共同性质是 ( )
A.开口都向上 B.都有最大值 C.对称轴都是x轴 D.顶点都是原点
3.(2020河北保定蠡县期中)已知y＝(k－1)xk－2是关于x的二次函数,且有最大值,则k＝ ( )
A.－2 B.2 C.1 D.－1
4.(2020湖南长沙雨花期末)在同一坐标系内,函数y＝kx2和y＝kx+2(k≠0)的图象大致为 ( )
5.二次函数y＝mxm－1,若在其图象的对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则下列各点不在其图象上的是 ( )
A.(1,－3) B.(－1,－3) C.(0,0) D.(－1,3)
6.函数y＝(m－2)xm m－2是二次函数,则下列关于它的图象的说法:①开口向上；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为(0,0)；⑤顶点坐标为(0,－4)；⑥顶点坐标为(－4,0)；⑦有最高点；⑧有最低点,其中正确的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
7.若二次函数y＝ax2的图象过点A(1,－2),点A与点B关于该图象的对称轴对称,则点B的坐标是________。
8.对于二次函数y＝ax2(a≠0),当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为________。
9.(2020内蒙古呼和浩特期中)已知四个二次函数的图象如图22－1－2－1所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是________________(请用“>”连接排序)
10.如图22－1－2－2,正方形ABCD的边长为4,以正方形的中心O为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象,则阴影部分的面积是________________。
11.(2021北京延庆期中)如图22－1－2－3,正方形OABC的顶点B恰好在函数y＝ax2(a>0)的图象上,若正方形OABC的边长为,且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°,则a的值为________
三年模拟全练
12.(2021福建漳州龙海月考,6,★☆☆)下列关于函数y＝x2的图象的说法:①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为(0,0),其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2021广西崇左大新期中,5,★☆☆)在下列抛物线中,开口最小的是 ( )
A.y＝－x2 B.y＝－x C.y＝x2 D.y＝x2
14.(2020河南漯河郾城期中,5,★★☆)已知A(1,y1),B(－2,y2)、C(－,y3)在函数y＝x2的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是 ( )
A.y1五年中考全练
15.(2019湖南益阳中考,5,★☆☆)下列函数中,y总随x的增大而减小的是 ( )
A.y＝4x B.y＝－4x C.y＝x－4 D.y＝x2
16.(2019内蒙古呼和浩特中考,3,★★☆)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
核心素养全练
17.定义运算“※”,a※b＝,如:1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4,则函数y＝2※x的图象大致是 ( )
18.如图22－1－2－4,在抛物线y＝ax2上有点A(－2,4),过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,点C为抛物线上的动点(不与点A、B重合),连接CA,BC,取线段AC,BC的中点D,E,连接DE.当点C在抛物线上运动时,下列结论正确的为________(填写序号即可)
①AB＝4；②DE＝2；③S△CAB＝8；S△CDE＝2；⑤△ACB的周长为4+4.

《参考答案及解析》
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
知识能力全练
1.D 形如y＝ax2(a≠0)的函数图象的对称轴都是y轴,顶点都是原点,从表格中数值的变化趋势可知,图象开口向上,∴选项A,B,C中说法都正确.把(1,1)代入y＝ax2,得a＝1,则函数为y＝x2,把x＝－3代入y＝x2,得y＝(－3)2＝9,∴图象不经过点(－3,6).故选D.
2.D 抛物线y＝x2的开口向上,有最小值对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0)；抛物线y＝－3x2的开口向下,有最大值,对称轴是y轴顶点坐标为(0,0)；抛物线y＝x2的开口向上,最小值,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0),∴三条抛物线的共同性质是顶点都是原点.故选D.
3.A 由二次函数的定义可知k－1≠0,且k2－2＝2,∴k＝±2函数有最大值,∴k－1<0,即k<1,∴k＝－2.故选A.
4.D 一次函数y＝kx+2的图象与y轴正半轴相交,故A、B错误；当k>0时,函数y＝kx2的图象开口向上,一次函数y＝kx+2(k≠0)的图象经过第一、二、三象限,故C错误,D符合题意.故选D
5.D 由题意得m<0,且m2－1＝2,解得m＝－.把x＝1代入y＝－x2,得y＝－,则点(1,－)在其图象上；把x＝－1代入y＝－x2,得y＝－,则点(－1,－)在其图象上,点(－1,)不在其图象上；点(0,0)是该二次函数图象的顶点,在其图象上.故选D
6.B 由二次函数的概念可得m2－2＝2且m－2≠0,解得m＝－2,则函数为y＝－4x2,所以它的图象开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0),有最高点,即②③④⑦正确.
7.【答案】(－1,－2)
【解析】抛物线y＝ax2的对称轴是y轴,A(1,－2)关于y轴的对称点的坐标为(－1,－2)
8.【答案】0
【解析】∵二次函数y＝ax2图象的对称轴为y轴,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,∴直线x＝x1,x＝x2关于y轴对称,∴x1+x2＝0,又当x＝0时,y＝0,∴当x取x1+x2时,函数值为0.
9.【答案】a1>a2>a3>a4
【解析】由题图可知y＝a1x2的图象开口小于＝a2x2的图象开口,且两函数图象都开口向上,则a1>a2>0；y＝a3x2的图象开口大于y＝a4x2的图象开口,且两函数图象都开口向下,则a4a2>a3>a4
10.【答案】8
【解析】∵函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称,
∴题图中阴影部分的面积是题图中正方形ABCD面积的一半,
∴S阴影＝×42＝8,即题图中阴影部分的面积是8.
11.【答案】
【解析】如图,连接OB,过B作BD⊥x轴于D,则∠BOA＝45°,∠BOD＝60°,已知正方形的边长为,则OB＝2.Rt△OBD中,OB＝2,∠BOD＝60°,则∠OBD＝30°,∴OD＝OB＝1,∴BD＝,故B(1,),将B(1,)代入y＝ax2中,得a＝.
三年模拟全练
12.C ∵函数为y＝x2,∴该函数图象是一条抛物线,故①正确；∵a＝>0,∴该函数图象开口向上,故②错误；对称轴是y轴,故③正确；顶点坐标为(0,0),故④正确故选C.
13.D eq \x \ri \le (－) < eq \x \ri \le (－) << eq \x \ri \le () ,∴函数y＝x2的图象的开口最小.故选D.
14.A 解法一:函数y＝x2的图象是以y轴为对称轴,开口向上的抛
物线,∴点离y轴越远,函数值越大∵< eq \x \ri \le (－) <,∴y1解法二∵A(1,y1),B(－2,y2)、C(－,y3)在函数y＝x2的图象上,
∴y1＝1,y2＝(－2)2＝4,y3＝(－)2＝2,∴y1五年中考全练
15.B y＝4x是一次函数,4>0,y随x的增大而增大；y＝－4x是一次函数,－4<0,y随x的增大而减小；y＝x－4是一次函数,1>0,y随x的增大而增大；y＝x2是二次函数,1>0,当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小.故选B.
16.D 由一次函数y＝ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(－1,0),排除A、B；当a>0时,二次函数y＝ax2的图象开口向上,一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限；当a<0时,二次函数y＝ax2的图象开口向下,一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限,排除C.故选D.
核心素养全练
17.C y＝2※x＝,当x>0时,图象是y＝2x2图象的对称轴右侧的部分；当x≤0时,图象是y＝－2x2图象的对称轴上及其左侧的部分,故选C.
18.【答案】①②
【解析】∵抛物线y＝ax2关于y轴对称,AB∥x轴∴点B与点A关于y轴对称,又点A的坐标为(－2,4),∴点B的坐标为(2,4),∴AB＝4,故①正确∵D,E分别为AC,BC的中点∴DE为△ABC的中位线,∴DE＝AB＝2,故②正确；∵点C为动点,∴点C到AB、DE的距离不确定,∴△CAB和△CDE的面积不确定,故③④错误；∵点C是动点,∴AC+BC不确定,∴△ACB的周长不确定(当点C与点O重合时,△ACB的周长为4+4),故⑤错误
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