22.1.3 二次函数y=a（x－h)2+k的图象和性质－2021至2022学年度人教版九年级数学上册新考向多视角同步训练（含解析）

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第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图像和性质
22.1.3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图像和性质
知识能力全练
知识点一
二次函数y＝ax2+k的图象和性质
1.(2021吉林长春南关月考)抛物线的解析式为y＝－2x2－1,则顶点坐标是
(
)
A.(－2,－1)
B.(2,1)
C.(0,－1)
D.(0,1)
2.(2021上海普陀期中)已知二次函数y＝x2－1,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是
(
)
A.x≥1
B.x≤1
C.x≥0
D.x≤0
3.(2021天津河北红光中学期中)抛物线y＝－3x2,y＝3x2+2,y＝3x2－2共有的性质是
(
)
A.开口向上
B.对称轴都是y轴
C.都有最高点
D.顶点都是原点
4.(2021独家原创试题)点P(a,b)在抛物线y＝3x2上,若将该抛物线平移后得到新抛物线y＝3x2+1,则点P的对应点Q的坐标是________
5.(2021独家原创试题)已知二次函数y＝(m－1)x2+m2+1有最大值5,则m＝________
6.如图22－1－3－1,平行于y轴的直线l被抛物线y＝x2+1、y＝x2－1所截将直线l向右平移3个单位得到直线l′,则图中阴影部分的面积为________
知识点二
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
7.二次函数y＝－2(x－1)2的图象大致是
(
)
8.(2021安徽合肥蜀山期中)下列二次函数中,图象的对称轴为直线x＝1的是
(
)
A.y＝－x2+1
B.y＝
(x－1)2
C.y＝(x+1)2
D.y＝－x2－1
9.(2021江苏扬州宝应期中)下列对二次函数y＝2(x－1)2的图象的描述,正确的是
(
)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.在对称轴左侧,y随x的增大而增大
D.顶点坐标为(1,0)
10.(2021独家原创试题)根据如图22－1－3－2所示的条件变换抛物线,输出变换后抛物线的解析式若输入的抛物线解析式为y＝－2x2,则输出的抛物线的解析式为________________。
11.下面是三位同学对某个二次函数的描述甲:图象的形状、开口方向与y＝－2x2的相同；乙:顶点在x轴上；丙:对称轴是x＝－3.请你写出这个二次函数:________________
12.(2021独家原创试题)已知二次函数y＝3(x－5)2,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取时,函数值为________
知识点三
二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质
13.(2019浙江衢州中考)二次函数y＝(x－1)2+3的图象的顶点坐标是
(
)
A.(1,3)
B.(1,－3)
C.(－1,3)
D.(－1,－3)
14.(2020黑龙江哈尔滨中考)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线的解析式为
(
)
A.y＝(x+3)2+5
B.y＝(x－3)2+5
C.y＝(x+5)2+3
D.y＝(x－5)2+3
15.若二次函数y＝(x－m)2－1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是
(
)
A.m＝3
B.m>3
C.m≥3
D.m≤3
16.如图22－1－3－3,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的h,k,m,n
都是常数,则下列关系不正确的是
(
)
A.h<0,k>0
B.m<0,n>0
C.h＝m
D.k＝n
17.(2021独家原创试题)已知P(4,n),Q(6,n)是抛物线y＝－(x－h)2+2021上的两点,则该抛物线的顶点坐标是________。
18.(2020四川广安中考)已知二次函数y＝a(x－3)2+c(a,c为常数,a<0),当自变量x分别取,0,4时,所对应的函数值分别为y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系为________(用“<”连接)
三年模拟全练
19.(2021江西南昌期中,6,★☆☆)对于二次函数y＝－x2+3,下列说法不正确的是
(
)
A.抛物线的开口向下
B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.图象是轴对称图形
D.当x＝0时,y有最大值3
20.(2020内蒙古呼伦贝尔莫旗期末,11,★★☆)函数y＝ax2－1与y＝ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是
(
)
21.(2021福建福州闽侯期中,10,★★☆)当－1(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
22.(2021黑龙江齐齐哈尔铁锋期中,14,★★☆)设A(－1,y1),B(0,y2),C(2,y3)是抛物线y＝－x2+2a上的三点,则y1,y2,y3由小到大排列为________
23.(2021广东广州南沙期中,16,★★☆)如图22－1－3－4,在平面直角坐标系中,正方形OABC中的点A在y轴
的负半轴上,点C在x轴的负半轴上,抛物线y＝a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E,且经过点A、B.若△ABE为等腰直角三角形,则a的值是________
五年中考全练
24.(2020广东中考,7,★☆☆)把函数y＝(x－1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为
(
)
A.y＝x2+2
B.y＝(x－1)2+1
C.y＝(x－2)2+2
D.y＝(x－1)2－3
25.(2017浙江金华中考,6,★☆☆)对于二次函数y＝－(x－1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是
(
)
A.对称轴是直线x＝1,最小值是2
B.对称轴是直线x＝1,最大值是2
C.对称轴是直线x＝－1,最小值是2
D.对称轴是直线x＝－1,最大值是2
26.(2020黑龙江哈尔滨中考,16,★☆☆)抛物线y＝3(x－1)2+8的顶点坐标为________
27.(2020江苏南京中考,16,★★☆)下列关于二次函数y＝－(x－m)2+m2+1(m为常数)的结论:
①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x>0时,y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上其中正确的是________。
核心素养全练
28.对于二次函数y＝－m
eq
\b
\bc\((
x－)
+
eq
\f(,m)
,下列说法正确的是
(
)
A.当m>0时,有最小值3
B.若m>0,则当x>－时,y随x的增大而减小
C.若m<0,则当x<－时,y随x的增大而增大
D.当m<时,顶点坐标为(－－3)
29.如图22－1－3－5,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y＝(x－1)2+2上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为________
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《参考答案及解析》
22.1.3
二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质
知识能力全练
1.C
抛物线的解析式为y＝－2x2－1,则顶点坐标是(0,－1).故选C.
2.D
二次函数y＝x2－1的图象的对称轴是y轴,即直线x＝0,∵a＝1>0,∴当x≤0时,y随x的增大而减小.故选D
3.B
抛物线y＝－3x2的开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点坐标为(0,0)；抛物线y＝3x2+2的开口向上,对称轴为y轴,有最低点顶点坐标为(0,2)；抛物线y＝3x2－2的开口向上,对称轴为y轴有最低点顶点坐标为(0,－2),∴三条抛物线共有的性质是对称轴为y轴.故选B。
4.【答案】(a,b+1)
【解析】由题意可知,将抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到新抛物线y＝3x2+1,则点P(a,b)的对应点Q的坐标是(a,b+1)
5.【答案】－2
【解析】由题意得m2+1＝5且m－1<0,解得m＝±2且m<1,∴m＝－2
6.【答案】6
【解析】抛物线y＝x2+1是由y＝x2－1向上平移2个单位得到的,即AB＝2,如图,阴影部分的面积为□ABCD的面积,故阴影部分的面积是2×3＝6.
7.B
二次函数y＝－2(x－1)2的图象开口向下,对称轴是x＝1,顶点坐标为(1,0).故选B.
8.B
二次函数y＝－x2+1和y＝x2－1的图象的对称轴为x＝0；二次函数y＝(x－1)2的图象的对称轴为x＝1；二次函数y＝(x+1)2的图象的对称轴为x＝－1.故选B.
9.D
二次函数y＝2(x－1)2的图象开口向上,对称轴是直线x＝1,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,顶点坐标为(1,0).故选D.
10.【答案】y＝－2(x+2)2
【解析】∵抛物线y＝－2x2开口向下,有最大值,∴将抛物线y＝－2x向左平移2个单位,得到的新抛物线的解析式为y＝－2(x+2)2
11.【答案】y＝－2(x+3)2
【解析】由甲的描述可知a＝－2；由乙的描述可知二次函数的解析式为y＝a(x－h)2的形式；由丙的描述可知h＝－3,综上可知解析式为y＝－2(x+3)2.
12.【答案】27
【解析】∵二次函数y＝3(x－5)2的图象的对称轴为直线x＝5,x分别取x1,x2(x1≠x2)时函数值相等,∴x1+x2＝10,当x取,即x取2时,函数值为27.
13.A
∵y＝(x－1)2+3,∴顶点坐标为(1,3).故选A.
14.D
由“左加右减自变量,上加下减常数项”的原则可知,平移后所得抛物线的解析式为y＝(x－5)2+3.故选D.
15.C
∵二次函数y＝(x－m)2－1的二次项系数是1,∴该二次函数的图象开口向上又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,－1),∴当x≤m时,y随x的增大而减小,而已知中当x≤3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C.
16.D
根据二次函数解析式确定两抛物线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),又对称轴相同,所以m＝h,由题图知h<0,k>0,m<0,n>0,因为点(h,k)在点(m,n)的下方,所以k＝n不正确.故选D
17.【答案】(5,2021)
【解析】∵P(4,n),Q(6,n)的纵坐标相同,∴点P和点Q关于直线x＝h对称,∴h＝＝5,∴该抛物线的顶点坐标是(5,2021)
18.【答案】y2<3【解析】∵a<0,∴二次函数图象开口向下.又∵对称轴为直线x＝3,
eq
\x
\ri
\le
(－3)
<<,
∴画草图可知y2三年模拟全练
19.B
∵a＝－1,∴抛物线的开口向下.故选项A中说法正确；当x<0
时,y随x的增大而增大.故选项B中说法不正确；图象是轴对称图
形.故选项C中说法正确；当x＝0时,y有最大值3.故选项D中说法正确.故选B.
20.B
由函数y＝ax2－1(a≠0)可知抛物线与y轴交于点(0,－1).故选项C、D错误；选项A,由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故A错误；选项B,由抛物线可知,a>0,由直线可知,a>0,故B正确.故选B.
21.D
画出函数y＝的图象如图所示,由图象可知,当－122.【答案】y3【解析】∵y＝－x2+2a,∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,|0－0|<|－1－0|<|2－0|,∴y323.【答案】
【解析】∵抛物线y＝a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E,且经过点A、B,AB平行于x轴,∴抛物线的对称轴是直线x＝－2,且A、B关于直线x＝－2对称,如图,过E作EF⊥x轴于F,交AB于D,∵△ABE为等腰直角三角形,∴AD＝BD＝2,∴AB＝4,DE＝AB＝2.∵四边形OABC是正方形∴OA＝AB＝BC＝OC＝4,EF＝4+2＝6,∴A(0,－4),E(－2,－6),把A、E的坐标代入y＝a(x+2)2+c得.解得a＝
五年中考全练
24.C
根据“左加右减自变量”的规律可知,将函数y＝(x－1)2+2的图象向右平移1个单位长度,所得的图象解析式为y＝(x－1－1)2+2,即y＝(x－2)2+2.故选C.
25.B
抛物线y＝－(x－1)2+2的开口向下,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x＝1,∴当x＝1时,y有最大值2.故选B
26.【答案】(1,8
【解析】∵抛物线y＝3(x－1)2+8中h＝1,k＝8,∴顶点坐标是(1,8)
27.【答案】①②④
【解析】①∵二次函数y＝－(x－m)2+m2+1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同,∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同,故结论①正确；②∵在函数y＝－(x－m)2+m2+1中,令x＝0,则y＝－m2+m2+1＝1,∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确；③y＝－(x－m)2+m2+1,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x＝m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论3错误；④:当x＝m时,函数有最大值m2+1,∴该函数的图象的顶点坐标为(m,m2+1),即顶点在函数y＝x2+1的图象上,故结论④正确.故答案为①②④
核心素养全练
28.D
当m>0时,－m<0,函数为y＝－m(x－)+3,图象开口向下,对称轴为x＝,顶点坐标为(,3),有最大值3,故A错误；若m>0,则图象开口向下,对称轴为x＝,当x<时,y随x的增大而增大,当x>时,y随x的增大而减小,故B错误；当m<0时,－m>0,函数为y＝－m(x+)2－3,图象开口向上,对称轴为x＝－,顶点坐标为(－,－3)故D正确；当m<0时,图象开口向上,对称轴为x＝,当x<－时,y随x的增大而减小,故C错误.故选D
29.【答案】1
【解析】D为Rt△ABC的斜边AB上的中线,CD＝AB
∵抛物线y＝(x－1)2+2的顶点坐标为(1,2),
∴点A到x轴的最小距离为2,即垂线段AB的最小值为2
∴中线CD的最小值为1
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