22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像象和性质－2021至2022学年度人教版九年级数学上册新考向多视角同步训练（含解析）

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第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图像和性质
22.1.4
二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
知识能力全练
知识点一
二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
1.(2021广东广州越秀期中)下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述,正确的是
(
)
A开口向下
B.对称轴是y轴
C.顶点坐标为
eq
\b
\bc\((，－)
D.在对称轴右侧,y随x的增大而减小
2.二次函数y＝2x2－8x+6的图象大致是
(
)
3.(2021浙江嘉兴秀洲月考)若A(－1,y1),B(2,y2),C(4,y3)为二次函数y＝x2－2x－3的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是______________________。
4.(2021新疆乌鲁木齐新市月考)将二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2－4x+3,那么a+b+c＝________。
知识点二
抛物线y＝ax2+bx+c与系数的关系
5.(2020重庆八中月考)如图22－1－4－1,已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过点(－2,0),对称轴为直线x＝1,下列结论中正确的是
(
)
A.abc>0
B.＝2a
C.9a+3b+c<0
D.8a+c＝0
6.(2021独家原创试题)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图22－1－4－2所示,则点P(ab+c,abc)在第________象限.
知识点三
待定系数法求二次函数解析式
7.(2020天津和平期中)若抛物线的顶点为(1,－4),与y轴交于点(0,－3),则该抛物线的解析式为
(
)
A.y＝x2－2x－3
B.y＝x2+2x－3
C.y＝x2－2x+3
D.y＝2x2－3x－3
8.(2021安徽合肥庐阳月考)已知抛物线与二次函数y＝－5x2的图象的形状相同,开口方向相同,且顶点坐标为(－1,2020),它对应的函数表达式为
(
)
A.y＝－5(x－1)2+2020
B.y＝5(x－1)2+2020
C.y＝5(x+1)2+2020
D.y＝－5(x+1)2+2020
9.(2020辽宁大连甘井子期末)已知抛物线的对称轴是y轴,且经过点(1,3)、(2,6),则该抛物线的解析式为________
10.(2017广西百色中考)经过A(4,0),B(－2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式是________________。
11.(2021北京东城期中)二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
根据上表,回答下列问题:
(1)直接写出c,m的值；
(2)求此二次函数的解析式
三年模拟全练
12.(2021山东临沂沂南期中,11,★★☆)已知二次函数y＝ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表:
下列结论正确的是
(
)
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线x＝2
C.当0≤x≤4时,y≥0
D.若点(x1,2),(x2,3)在该抛物线上,则x113.(2021天津南开实验中学期末,10,★★☆)已知二次函数y＝x2－(m－2)x+4的图象的顶点在坐标轴上,则m的值一定不是
(
)
A.2
B.6
C.－2
D.0
14.(2021福建厦门思明月考,15,★★☆)已知y是x的二次函数,y与x的部分对应值如下表:
则该二次函数图象向左平移________个单位后,图象经过原点.
五年中考全练
15.(2019重庆中考,5,★☆☆)抛物线y＝－3x2+6x+2的对称轴是
(
)
A.直线x＝2
B.直线x＝－2
C.直线x＝1
D.直线x＝－1
16.(2020浙江温州中考,9,★★☆)已知(－3,y1),(－2,y2),(1,y3)是抛物线y＝－3x2－12x+m上的点,则
(
)
A.y3B.y3C.y2D.y117.(2020山东菏泽中考,8,★★☆)一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象
可能是
(
)
18.(2020河北中考,15,★★☆)如图22－1－4－3,现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,
甲:若b＝5,则点P的个数为0；
乙:若b＝4,则点P的个数为1；
丙:若b＝3,则点P的个数为1
下列判断正确的是
(
)
A.乙错,丙对
B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
D.甲错,丙对
19.(2020广西贵港中考,18,★★☆)如图22－1－4－4,对于抛物线y1＝－x2+x+1,y2＝－x2+2x+1,y3＝－x2+3x+1,给出下列结论:①这三条抛物线都经过点C(0,1)；②抛物线y3的对称轴可由抛物线y1的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y＝1的交点中,相邻两点之间的距离相等其中正确结论的序号是________
20.(2020山东临沂中考,25,★★☆)已知抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2(a≠0)
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式；
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1核心素养全练
21.(2019湖北武汉硚口月考)抛物线y＝x2+mx+m+经过定点的坐标是________.
22.(2021独家原创试题)如图22－1－4－5,在平面直角坐标系中,二次函数y＝－x2+2x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B、C三点,点D是其顶点,若点P是x轴上一个动点,则CP+DP的最小值为________
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《参考答案及解析》
22.1.4
二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
知识能力全练
1.C
∵y＝x2－x＝
eq
\b
\bc\((
x－)
－,∴图象开口向上,故A错误；对称轴是直线x＝,故B错误；顶点坐标为(,),故C正确；在对称轴右侧,y随x的增大而增大,故D错误.故选C.
2.A
y＝x2－8x+6＝2(x－2)2－2,即抛物线的顶点坐标为(2,－2),令x＝0,则y＝6,即抛物线过点(0,6).故选A.
3.【答案】y2【解析】∵图象的开口向上,对称轴是直线x＝＝1,∴A(－1,y1)关于直线x＝1的对称点是(3,y1)∵1<2<3<4,∴y24.【答案】17
【解析】y＝2x2－4x+3＝2(x－1)2+1,把抛物线y＝2(x－1)2+1向左平移3个单位长度,向下平移2个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝2(x－1+3)2+1－2＝2x2+8x+7,所以a＝2,b＝8,c＝7,所以a+b+c＝17.
5.D
∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x＝1,∴－＝1,∴b＝－2a>0,故B错误；∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴abc<0,故A错误；∵对称轴为直线x＝1,又点(－2,0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(4,0),∴当x＝3时y＝9a+3b+c>0,故C错误∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点(－2,0),4a－2b+c＝0,∵b＝－2a,∴4a+4a+c＝0,即8a+c＝0,故D正确.故选D
6.【答案】一
【解析】∵抛物线开口向下,∴a<0；∵对称轴在y轴左侧,∴ab>0；∵图象与y轴的交点在正半轴上,∴c>0,∴b+c>0,abc>0,∴点P(ab+c,abc)在第一象限
7.A
设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4,将(0,－3)代入y＝a(x－1)2－4,得－3＝a(0－1)2－4,解得a＝1,∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.故选A.
8.D
∵顶点坐标为(－1,2020),∴设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2+2020,∵与二次函数y＝－5x2的图象的形状相同,开口方向相同,∴a＝－5,∴抛物线的解析式为y＝－5(x+1)2+2020.故选D.
9.【答案】y＝x2+2
【解析】∵抛物线的对称轴是y轴,∴设此抛物线的解析式是y＝ax2+c,把点(1,3)、(2,6)代入得,解得a＝1,c＝2,则此抛物线的解析式是y＝x2+2.
10.【答案】y＝－x2+x+3
【解析】解法一:设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0),把A(4,0),B(－2,0),C(0,3)代入得,解得
eq
\b
\lc\{(\a
\al
\co1(a＝－,
b＝,c＝3))
,∴抛物线的解析式为y＝－x2+x+3
解法二:设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x－4),把C(0,3)代入得－8a＝3,即a＝－,则抛物线的解析式为y＝－(x+2)(x－4)＝－x2+x+3
11.【解析】(1)c＝4,m＝
(2)由表格可知,图象顶点为
eq
\b
\bc\((－1，)
设y＝a(x+1)2+,
将(0,4)代入y＝a(x+1)2+得,a+＝4,解得a＝－,
∴这个二次函数的解析式为y＝－(x+1)2+
三年模拟全练
12.B
由表格可得,抛物线的对称轴为直线x＝＝2,故B正确；抛物线的顶点坐标为(2,－4),且抛物线与x轴相交,开口向上,故A错误；当0≤x≤4时,y≤0,故C错误；由二次函数图象具有对称性可知,若点(x1,2),(x2,3)在抛物线上,则x113.D
∵y＝x2－(m－2)x+4＝
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
－+4,∴该函数的顶点坐标为
eq
\b
\bc\((，－+4)
∵二次函数y＝x2－(m－2)x+4的图象的顶点在坐标轴上,
∴＝0或－+4＝0,解得m＝2或m＝－2或m＝6.故选D.
14.【答案】3
【解析】由表格得,二次函数图象的对称轴是直线x＝＝,∵抛物线与x轴的一个交点为(－2,0),∴该抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴该二次函数图象向左平移3个单位后,图象经过原点
五年中考全练
15.c
对称轴为x＝＝1.故选C.
16.B
抛物线的对称轴为直线x＝＝－2,∵a＝－3<0,∴抛物线开口向下,∴x＝－2时,函数值最大,又∵直线x＝－3到直线x＝－2的距离比直线x＝1到直线x＝－2的距离小,∴y317.B
选项A,由抛物线可知,a>0,b<0,c>0则ac>0,由直线可知,ac>0,b>0,故A错误；选项B,由抛物线可知,a〉0,b>0,c>0,则ac>0,由直线可知,ac>0,b>0,故B正确；选项C,由抛物线可知,a<0,b>0,c0,则ac<0,由直线可知,ac<0,b<0,故C错误；选项D,由抛物线可知,a<0,b<0,c>0,则ac<0,由直线可知,ac>0,b>0,故D错误故选B.
18.C
y＝x(4－x)＝－x2+4x＝－(x－2)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为,可知甲、乙的说法正确；∵抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法不正确.故选C
19.【答案】①②④
【解析】①将x＝0分别代入抛物线的解析式,可得y1＝y2＝y3＝1,①正确；②抛物线y1＝－x2+x+1,y3＝－x2+3x+1的对称轴分别为直线x＝,x＝,由x＝，向右平移1个单位得到x＝,②正确；③y1＝－x2+x+1＝－
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
+,其顶点坐标为
eq
\b
\bc\((，
)
；y2＝－x2+2x+1＝－(x－1)2+2,其顶点坐标为(1,2)；y3＝－x2+3x+1＝－
eq
\b
\bc\((
x－)
eq
\s\up7(2)
+,其顶点坐标为
eq
\b
\bc\((，)
,可知三条抛物线的顶点不在同一条直线上,③错误；④当y＝1时,－x2+x+1＝1,∴x＝0或x＝1；－x2+2x+1＝1,∴x＝0或x＝2；－x2+3x+1＝1,∴x＝0或x＝3,∴三条抛物线与直线y＝1的交点中,相邻两点之间的距离都是1,④正确.故答案为①②④.
20.【解析】(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2＝a(x－1)2+2a2－a－3,
∴抛物线的对称轴为直线x＝1
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2－a－3＝0
解得a＝或a＝－1,
∴抛物线为y＝x2－3x+或y＝－x2+2x－1.
(3)抛物线的对称轴为x＝1,
Q(3,y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1,y2)
当a>0时,要使y13.
核心素养全练
21.【答案】(－1,1)
【解析】∵y＝x2+(x+1)m+,抛物线经过定点,
∴x+1＝0,∴x＝－1,∴y＝1,∴定点坐标为(－1,1).
22.【答案】2
【解析】如图,作DE⊥y轴于点E,取点C关于x轴的对称点C′,连接
C′D,则C′D的长就是CP+DP的最小值.把x＝0代入y＝－x2+2x+
2,得y＝2,∴C(0,2),∴C′(0,－2)∵y＝－x2+2x+2＝－
(x－2)2
+4,∴点D(2,4),E(0,4),∴DE＝2,C′E＝6.在Rt△C′DE中,C′
D＝
＝2,即CP+DP的最小值为2.
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