(共31张PPT)
第1课时
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能根据具体问题的特征,正确地选用分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行处理.
?
一
二
一、分类加法计数原理
完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,……,在第n类办法中有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称加法原理)
知识梳理
一
二
名师点拨应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:
第一,明确题目中“完成一件事”所指的是什么事,怎么才算是完成这件事,完成这件事可以有哪些办法.
第二,完成这件事的N种方法是相互独立的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.
第三,确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法是不同的方法,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.
一
二
【做一做1】 把10个苹果分成3份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有( )?
A.5种
B.6种
C.4种
D.3种
解析由于分成3份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.
所以共有1+2+1=4(种).
答案C
一
二
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,……,做第n步有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.(也称乘法原理)
一
二
名师点拨应用分步乘法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完成这件事.
(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成.
(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
一
二
【做一做2】一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务,但需在北京停留,已知从沈阳到北京每天有7个航班,从北京到南京每天有6列火车,该志愿者从沈阳到南京共有( )种不同的方法.?
A.13
B.42
C.7
D.6
解析根据乘法原理,该志愿者从沈阳到南京的不同方法共有6×7=42种.
答案B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.
( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.
( )
(3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.
( )
(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.
( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
高三·一班有学生50人,男30人,女20人;高三·二班有学生60人,男30人,女30人;高三·三班有学生55人,男35人,女20人.
(1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法?
(2)从高三·一班、二班男生中,或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析所谓“完成一件事,有几类方案”,是指对完成这件事情的所有方案的一个分类.利用分类加法计数原理求解.
解(1)分三类:
第一类,从高三·一班中任选一名,有50种不同的方法;
第二类,从高三·二班中任选一名,有60种不同的方法;
第三类,从高三·三班中任选一名,有55种不同的方法.
根据分类加法计数原理,得50+60+55=165种.
因此共有165种不同的选法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)分三类:
第一类,从高三·一班男生中任选一名,有30种不同的方法;
第二类,从高三·二班男生中任选一名,有30种不同的方法;
第三类,从高三·三班女生中任选一名,有20种不同的方法.
根据分类加法计数原理,得30+30+20=80种.
故共有80种不同的选法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
运用分类加法计数原理时,首先要依据问题的特征,确定恰当的分类标准,然后在这个标准下进行分类.分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必须属于某一类而且仅属于这一类,即各类办法是互斥的,相互独立的.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
1某班有男生26人,女生22人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数为( )
A.22
B.26
C.48
D.572
解析:由分类加法计数原理可知不同选法有26+22=48(种).
答案:C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=
(729)种.
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120种.
(3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×6×6=
(216)种.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点:
一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事:
2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 在运动会比赛中,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.?
解析分两步安排这8名运动员.
第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2=24(种).
第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).
故安排这8人的方式共有24×120=2
880(种).
答案2
880
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
从0,1,2,3,4,5共六个数字中取四个数字组成一个四位数,问:
(1)总共能组成多少个四位数?
(2)在(1)中所有的四位数中,则能被5整除的四位数有多少个?
分析(1)要完成的一件事是组成四位数,所以首位数字不能是0.
(2)要使所组成的数字能被5整除,则末位数字必须是0和5中的一个.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)第一步:千位上的数不能取0,只能取1,2,3,4,5,共5种情形;
第二步:因为千位取了一个数,还剩下5个数字供百位上取,所以有5种情形;
第三步:因为千位、百位分别取了一个数,还剩下4个数字供十位上取,所以有4种情形;
第四步:因为千位、百位、十位分别取了一个数,还剩下3个数字供个位上取,所以有3种情形.
根据分步乘法计数原理,取得的四位数总共有5×5×4×3=300个.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)因为四位数能被5整除,所以个位数字只能是0或5.
第一类情形:当个位数字为0时,
依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有5种情形、4种情形、3种情形,
所以共计有5×4×3=60
(个)四位数.
第二类情形:当个位数字为5时,
依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有4种情形、4种情形、3种情形,
所以共计有4×4×3=48
(个)四位数.
根据分类加法计数原理,能被5整除的四位数总共有
60+48=108
(个).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
利用两个计数原理解题的思路
(1)当题目无从下手时,可考虑分类完成这件事.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
(3)混合问题一般是先分类再分步.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
3有甲、乙、丙三个盒子,分别装有除颜色外都一样的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个.从中取两个小球,球的颜色互不相同的取法有多少种?
解分三类,每一类又分两步.
第一类,从甲、乙两个盒子中分别取一个小球,有6×5=30(种)不同的取法;
第二类,从乙、丙两个盒子中分别取一个小球,有5×4=20
(种)不同的取法;
第三类,从丙、甲两个盒子中分别取一个小球,有4×6=24
(种)不同的取法.
根据分类加法计数原理知共有30+20+24=74
(种)取法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视限制条件而致误
【典例】
有3张卡片的正、反两面上分别写有1和2,4和5,8和9,将它们并排组成三位数,共有多少个不同的三位数?
易错分析计数原理出错的主要原因有两种.一是混淆分步乘法和分类加法;二是忽视题干所隐含的客观限制条件而致误.
解分三步进行.
第一步:确定个位上数字有6种选法.
第二步:确定十位上数字,因个位上数字已定,其反面数字不能选取,只能从剩余的2张卡片中选取,有4种选法.
第三步:确定百位上数字,只能从剩余的1张卡片中选取,有2种选法.
由分步乘法计数原理知,共有6×4×2=48(个)不同的三位数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得
1.正确分清是分类问题还是分步问题,选用加法计数原理还是乘法计数原理.
2.要正确认识题目的条件,本题是有约束条件的问题,即同一张卡片的两数在同一个三位数中不能同时出现.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练?
一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从点P处进,点Q处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )
A.6种
B.8种
C.12种
D.48种
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析从点P处进入交汇点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2条,若先游览完A景点,再进入另外两个景点,最后从点Q处出,有2×2×2×2=16种不同的方法;同理,若先游览B景点,有16种不同的方法;若先游览C景点,有16种不同的方法,因而所求的不同游览线路有3×16=48种.
答案D
当堂检测
1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种
B.10种
C.9种
D.8种
解析分到甲地:第一步选1名教师,有2种方法;第二步选2名学生,有6种方法;第三步,剩下1名教师和2名学生分到乙地,有1种方法,由分步乘法计数原理知共有2×6×1=12种方法,故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.已知ax2-b=0是关于x的一元二次方程,其中a,b∈{1,2,3,4},则解集不同的一元二次方程的个数为( )
A.4
B.6
C.11
D.16
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.有A,B,C三个城市,上午从A城去B城有5班汽车、2班火车,都能在12:00前到达B城;下午从B城去C城有3班汽车、2班轮船.某人上午从A城出发去B城,要求12:00前到达,然后他下午去C城,则不同的走法共有( )种.
A.12
B.15
C.35
D.60
解析:根据分类加法计数原理,上午从A城去B城,并在12:00前到达,共有5+2=7种不同的走法.下午从B城去C城,共有3+2=5种不同的走法.
根据分步乘法计数原理,上午从A城去B城,然后下午从B城去C城,共有7×5=35种不同的走法.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则报名方法共有 种.?
解析这里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参加课外活动小组,因而完成这件事需要分5步.
第一步:甲同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.
第二步:乙同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.
……
第五步:戊同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.
根据乘法原理,满足条件的报名方法共有2×2×2×2×2=32种.
答案32
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共29张PPT)
第2课时
课标阐释
思维脉络
1.熟练使用两个计数原理解决选取与分配、染色及种植问题.
2.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确使用分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决问题.
?
一、两个原理的关系
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.
知识梳理
?
加法原理
乘法原理
区别一
完成一件事,共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事,共分n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法中每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各种方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
二、两个计数原理在解决计数问题中的用法
在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析,分清是分类还是分步.
名师点拨分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择
分类加法计数原理的各类方法是相互独立的,用任何一种方法都可以完成这件事.而分步乘法计数原理的各个步骤是相互依存的,必须完成每个步骤,才能完成这件事.
根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才能正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决问题.
【做一做】 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( )?
A.232
B.252
C.472
D.484
解析若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有4×4×4=64(种);若2色相同,则有3×2×6×4=144(种);若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有4×3×4×4=192(种),若同色,则有4×3×6=72(种),所以共有64+144+192+72=472,故选C.
答案C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.
( )
(2)所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有72个.
( )
(3)应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况,可以适当的重复.
( )
(4)有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法有12种.
( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种
B.18种
C.37种
D.48种
分析可以先进行分类,然后对于每一类再进行分步完成.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析方法一(直接法)
以甲工厂分配班级的情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案共有3×3=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种).
方法二(间接法)
先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4-3×3×3=37(种)方案.
答案C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
1现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
解(1)分为三类:
第一类,从国画中选,有5种不同的选法;
第二类,从油画中选,有2种不同的选法;
第三类,从水彩画中选,有7种不同的选法.
由分类加法计数原理知,共有5+2+7=14(种)不同的选法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)要完成的一件事是“从现有3种画中各选1幅画”.分三步:
第一步,从5幅不同的国画中选1幅,有5种不同的选法;
第二步,从2幅不同的油画中选1幅,有2种不同的选法;
第三步,从7幅不同的水彩画中选1幅,有7种不同的选法.
由分步乘法计数原理知,共有5×2×7=70
(种)不同的选法.
(3)分为三类:
第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法;
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35
(种)不同的选法;
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14
(种)不同的选法.
所以共有10+35+14=59
(种)不同的选法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色,要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色,求共有多少种不同的着色方法?
分析按不同的分类标准有不同的计算方法,可以按A,D涂同色或不同色分类,也可以按四个区域所用颜色的种数分类.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)方法一:分类:
第一类,A,D涂同色,有6×5×4=120(种)涂法,
第二类,A,D涂异色,有6×5×4×3=360(种)涂法,
共有120+360=480(种)涂法.
方法二:分步:先涂B区,有6(种)涂法,再涂C区,有5(种)涂法,最后涂A,D区域,各有4(种)涂法,
所以共有6×5×4×4=480(种)涂法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法三:以四个区域涂n种颜色为标准分类,可知至少用三种颜色,最多用四种颜色.
第一类:用三种颜色着色,A,D区域必须是同种颜色,
有6×5×4=120(种)涂法.
第二类:用四种颜色着色,四个区域的颜色均不相同,
有6×5×4×3=360(种)涂法.
所以共有120+360=480(种)不同方法.
当堂检测
反思感悟
1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色.
2.涂色问题往往涉及分类加法、分步乘法计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有 种.?
解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12(种)不同的涂法.
答案12
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标,则第一、二象限内不同的点的个数是多少?
解可分两类.第一类:以集合M中的元素作为横坐标,集合N中的元素作为纵坐标.
从集合M中任取一个元素有3种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合N中只能取5,6两个元素中的一个,有2种方法.
根据分步乘法计数原理,满足条件的点有3×2=6(个).
第二类:以集合N中的元素作为横坐标,集合M中的元素作为纵坐标.
从集合N中任取一个元素有4种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合M中只能取1,3两个元素中的一个,有2种方法.
根据分步乘法计数原理,满足条件的点有4×2=8(个).
根据分类加法计数原理,满足条件的点共有6+8=14(个).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能独立完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.
分析因为黄瓜必须种植,所以先将黄瓜种好,再依次选择其他土地上的种植蔬菜种类.
解方法一(直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6(种)不同种植方法.
同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6(种)不同种植方法.
故不同的种植方法共有6×3=18(种).
方法二(间接法):从4种蔬菜中选出3种,种在三块土地上,有4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有3×2×1=6(种),故共有不同的种植方法24-6=18(种).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视题目的隐含条件而致误
【典例】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
易错分析完成这类题目首要的是读清楚题意.若对题目的隐含条件没有读出或理解不准确,则会导致出错.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:①既会英语又会日语的不当选;②既会英语又会日语的按会英语当选;③既会英语又会日语的按会日语当选.
既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人,有6×2种选法;从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人,有6×1种选法;从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人,有2×1种选法.根据分类加法计数原理,共有6×2+6×1+2×1=20(种)不同选法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得
1.不要忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件,以免导致解题错误.
2.解决计数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.因为该题中既会英语又会日语的有1人,而选不选该人对下一步都有影响,所以要进行分类:第一类他不当选;第二类按会日语当选;第三类按会英语当选.在每一类中,又要分两步,因此是先分类后分步问题.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈{0,1,2,3,4},求不同的二次函数的个数.?
解若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,要完成该事件,需分步进行:
第一步,对于系数a有4种不同的选法;
第二步,对于系数b有5种不同的选法;
第三步,对于系数c有5种不同的选法.
由分步乘法计数原理知,共有4×5×5=100(个).
当堂检测
1.3位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这3位同学不同得分情况的种数是( )
A.3
B.4
C.6
D.8
解析由题意总分为0分二类:第一类得分为20,-10,-10;第二类得分为
-20,10,10.每类有三种情况,总共有6种情况.
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有( )
A.18条
B.20条
C.25条
D.10条
解析第一步取A的值,有5种取法,第二步取B的值,有4种取法,其中当A=1,B=2时,与A=2,B=4时是相同的;当A=2,B=1时,与A=4,B=2时是相同的,故共有5×4-2=18(条).
答案A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是( )
A.10
B.15
C.20
D.25
解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25(种),故选D.
答案D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.如图所示,用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(即图中A,B所示区域)用相同颜色,则不同的涂法共有 种.?
解析:涂“眼睛”的方法有6种;涂“鼻子”的方法有6种;涂“嘴巴”的方法有6种,由分步乘法计数原理得共有6×6×6=216种涂法.
答案:216
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
解从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47(种)不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有28×7×9×3=5
292(种)不同的选法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共29张PPT)
§2 排列
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握排列、排列数的概念.
2.掌握排列数公式,并运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.
?
排列及有关概念
排列、排列数与排列数公式
名师点拨1.排列的定义中包括两个基本内容,一是“取元素”,二是“按照一定的顺序排成一列”.前者容易理解,但要注意这n个元素必须是“不同”的;后者“一定的顺序”表示与位置有关,这里的位置应视具体情况而定.
2.只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列,都不是同一个排列.
3.在定义中规定m≤n,如果m【做一做1】 下列问题中,是排列问题的是( )?
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.
答案A
答案:D
【做一做3】 由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于( )?
A.1
543
B.2
543
C.3
542
D.4
532
解析容易得到千位为1时组成四位数的个数为
=24,则千位为2,3,4,5时均有四位数24个,由于24×3=72,四位数由小到大排列,可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3
542,故选C.
答案C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两个排列的元素相同,则两个排列是相同的排列.( )
(2)式子Anm中m不能为0.( )
(4)在同一排列中,同一元素不能出现两次.( )
(5)(n+1)!-n!=n·n!.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
判断下列问题是不是排列问题.
(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能?
(2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能?
(3)会场有50个座位,要求选出3个座位安排3位客人就座,有多少种不同的方法?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序,有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素的问题就是排列,否则就不是排列.
解(1)不是.因为加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时与两元素位置无关.
(2)是.做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样.
(3)是.“入座”问题同“排队”一样,与顺序有关,故选3个座位安排3位客人是排列问题.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
排列有两层含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 判断下列问题是否是排列问题:?
(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果?
(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?
(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?
解(1)是.选出的2人,担任正、副班长,即与顺序有关.
(2)是.显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,即与顺序有关.
(3)是.点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系,即与顺序有关.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析(1)直接运用排列数的公式计算.(2)用排列数的公式展开得方程,然后求解.要注意x的取值范围,并检验根是否合理.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
排列数公式的应用
(1)排列数的第一个公式
=n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点.
(2)排列数的第二个公式
,适用于与排列数有关的证明、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N+”的运用.
当堂检测
探究一
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探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
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思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
(1)写出从4个不同元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列,并指出有多少种不同的排列.
(2)用0到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数?
分析(1)直接依据排列的定义来解.
(2)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,此方法一般是直接分步法;或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类,再安排一般的元素(或位置),即先分类后分步.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
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思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
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思维辨析
反思感悟
解答排列应用题时,要注意以下几点:
(1)仔细审题,明确题意,明确题目中的事件是什么,可以通过什么样的程序来完成这个事件,进而选用相应的模型计算,不能乱套公式,盲目计算.
(2)明确问题的限制条件,注意特殊元素和特殊位置,必要时可画出框图或树形图帮助思考.
(3)由于排列应用题中的各种情况比较复杂,单纯利用排列知识不能解决问题,应结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理来分析,合理地进行分类或分步,通过讨论来解决问题.
(4)对于有限制条件的较为复杂的问题,通常有正向思考和逆向思考两种思路.正向思考时,要设法将较复杂的问题进行分解后直接求解.逆向思考时,先求不带限制条件的所有情况,再减去不符合限制条件的情况,也就是间接求解.另外,分析排列情况时,要防止重复和遗漏.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
3(1)有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招一名新员工,且3名大学生全部被聘用,若不允许兼职,则共有多少种不同的招聘方案?
(2)有一部电影,被安排到4个单位去放映,每个单位放映1场,不同的放映方式有几种?
解(1)将5家招聘员工的公司看成5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学生,则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题,所以不同的招聘方案共有
=60种.
(2)不同放映方式,即4个单位的所有排列,故共有
=24种不同的放映方式.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用排列所需要的步骤而致误
【典例】
6个人站成前后三排,每排2人,有多少种不同的排法?
易错分析排列问题中,6人排三排,每排2人,与排两排,每排3人,还是一排6人,其排列情况是一样的.千万不要因步骤出错而致误.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得
1.首先要分清是分类还是分步,这是一个大的原则,一般情况下,对于较为复杂的问题,多是先分类,再在每一类中分步解决.
2.其次要分清题型,可将题目大体分为诸如特殊位置(元素)类、相邻问题类、插空问题类等,再利用相应方法计算.
3.最后注意应用正难则反的解题思想,即间接法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
七人并排站成一排,如果甲、乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 .?
答案:3
600
当堂检测
1.下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④
B.①②
C.④
D.①③④
解析根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.
答案A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
解析选出两人,两人的不同站法都要考虑.
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.?
答案:36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共33张PPT)
§3 组合
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合公式及计算原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
?
一
二
一、组合的概念
一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
知识梳理
一
二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,就是不同的组合.
3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”.因此区分某一问题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序就是组合.
一
二
【做一做1】 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题.?
(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法?
(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法?
(3)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?
(4)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
一
二
解(1)(2)都是选出3人,但参加同一劳动没有顺序,而到三个学校参加毕业典礼却有顺序,故(1)是组合问题,(2)是排列问题.
(3)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.
(4)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.
一
二
一
二
名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数,它是一个数.
一
二
答案:C
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C42个积.( )
(2)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话?
(2)从10个人中选出3个为代表去开会,有多少种选法?
(3)从10个人中选出3个不同学科的课代表,有多少种选法?
分析解答本题主要是分清取出的m个是进行组合还是排列,即确定是与顺序有关还是无关.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
区别排列与组合首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
1给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?
(2)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?
(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?
(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?
在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?
解(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.
(2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只赛一场,没有顺序,是组合问题.
(4)争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.有关组合数的计算问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用组合数公式的乘积形式计算,但当组合数中含有字母时,要限制字母的范围,这往往是解题的关键.
2.有关组合数的证明问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用组合数公式的阶乘形式去证明.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选出2名去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因重复计数而致误
【典例】
数学研究学习小组共有13名学生,其中男生8人,女生5人,从这13人里选出3个人准备做报告.在选出的3个人中,至少要有1名女生,一共有多少种选法?
易错分析此类组合题目若不细致审题,则会因出现重复或遗漏等情况而致误.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有 种(用数字作答).?
解析先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有
种.
答案2
520
当堂检测
1.给出下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?
②有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法?
③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?
其中是组合问题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析因为是到两个乡镇调查,所以①是排列问题;②是组合问题;射击命中的4枪之间没有顺序之分,所以③是组合问题.
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.在桥牌比赛中,发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌,一名参赛者可能得到的不同的牌为( )
解析:本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组,故一名参赛者可能得到
手不同的牌.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:165
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选1门,学校规定每位同学选修4门,共有多少种不同选修方案?(用数字作答)
解:每位同学选修4门,可分为两类不同的选取方式.
其一为从A,B,C中选一门,再从其余的六门中选三门,共有
其二为从其余的六门中选四门,共有
(种).
所以共有60+15=75
(种)不同的选修方案.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测(共38张PPT)
§4 简单计数问题
课标阐释
思维脉络
1.会解决分类及分步计数问题.
2.会解决有限制条件的排列、组合问题.
3.会解决排列与组合的综合问题.
?
一
二
一、有限制条件的排列、组合问题
1.对于有限制条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
知识梳理
一
二
2.限制条件排列、组合问题的求解方法与技巧:
(1)若有特殊元素或特殊位置,通常优先安排特殊元素或特殊位置,即特殊位置、特殊元素应优先安排;(2)当限制条件超过两个(包括两个),若互不影响,则直接按分步解决;若相互影响,则首先分类,在每个分类中再分步解决;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,即相邻问题捆绑处理;(5)某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空位,即不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.
一
二
二、排列、组合的综合应用
求解排列、组合的综合问题时,首先要认真审题,只有认真审题,才能把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.
1.解排列、组合的综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
2.解排列、组合的综合问题时要注意以下几点:
(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
一
二
(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.
(3)排列、组合的综合问题背景丰富,抽象性较强,一般无特定的模式和规律可循,对思维能力和分析能力要求较高.因此要抓住问题的实质,把问题分解为简单的常规问题进行求解.
一
二
【做一做1】 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数为
( )?
A.100
B.110
C.120
D.130
解析10人中任选3人的组队方案数为
=120,没有女生的组队方案数为
=10,所以符合要求的组队方案数为120-10=110.
答案B
一
二
【做一做2】 现有10个保送上大学的名额,分配给7所学校,每校至少有1个名额,问名额分配的方法共有 种.?
解析每个学校至少有一个名额,则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.
分类:若3个名额分配到1所学校,则有7种方法;
答案84
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例1】已知A,B,C,D,E五个同学,按下列要求进行排列,分别求其满足条件的排列方法数.
(1)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻;
(2)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻,C,D,E也必须相邻;
(3)把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且A,B必须相邻.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析(1)符合“捆绑法”的要求,可直接利用“捆绑法”的解决方法进行解题;(2)由于A,B必须相邻,C,D,E也必须相邻,可考虑将这两部分各自视为整体,先对两个整体排列,再对整体内部排列;(3)先把同学和座位绑到一起,进行排列,然后把剩余的空座位插到已经排好的中间.
解(1)分两步.第一步:把A,B两个同学看作一个整体,看成一个“大元素”,和C,D,E共四个元素进行排列,其排列方法有
(种);
第二步.对捆绑到一起的A,B这两个同学内部排列,即“松绑”,其排列方法有
(种);
故根据分步乘法计数原理,符合题意的排列方法数有
(种).
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探究二
探究三
探究四
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟
解决“相邻”问题用“捆绑法”,就是将n个不同的元素排列成一排,其中k个元素排在相邻位置上,求不同排法种数的方法:(1)先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;(2)把整体当作一个元
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探究四
思维辨析
变式训练
1把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.?
答案:36
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思维辨析
【例2】
有3名男生,4名女生,按下述要求,分别求出其不同排列的种数.
(1)选其中5人排成一行;
(2)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两头的位置;
(3)全体排成一行,其中甲、乙必须在两头;
(4)全体排成一行,其中甲不在首,乙不在尾;
(5)全体排成一行,其中男生、女生都各不相邻;
(6)全体排成一行,其中男生不能排在一起;
(7)全体排成一行,其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变;
(8)全体排成一行,甲、乙两人间恰有3人;
(9)全体排成前后两排,前排3人,后排4人.
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思维辨析
分析本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型,注意在处理这类问题时一般应遵循:“先特殊,后一般”的原则,即先考虑特殊的元素或特殊的位置,再考虑一般的元素和位置,对于“必相邻”元素,常采用“捆绑法”的技巧,对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧,此外“正难则反”是处理排列问题的一个重要策略,还是检查结果是否正确的重要手段.
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思维辨析
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变式训练2 有A,B,C,D,E五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A,B两位学生去问成绩,老师对A说,你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对B说,你是第三名,那么这五位学生的名次排列共有 种不同的可能.?
答案:18
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思维辨析
【例3】
6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本;
(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本.
分析(1)是平均分配问题,可以理解为一个人一个人地来取.(2)是“均匀分组问题”.(3)是不均匀分组问题.(4)分组后排列问题.
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反思感悟
1.解决此类问题要分清是分组问题还是分配问题.
2.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相同;
(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有m组均匀,最后必须除以m!;
(3)完全非均匀分组,不用考虑重复现象.
3.分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
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变式训练3 将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案种数是 .?
答案:24
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【例4】
现有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内:
(1)共有几种放法?
(2)恰有1个空盒,有几种放法?
(3)恰有2个空盒,有几种放法?
分析(1)可用分步乘法计数原理.(2)恰有一个空盒相当于4个不同的球放到三个不同的盒子内,必有一个盒子放2个球.(3)恰有两个空盒,相当于4个球放到两个盒子内,可以是3,1放法,也可以是2,2放法.
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反思感悟
1.解排列组合的综合问题,首先要认真审题,把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,再注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确立分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.
2.解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
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变式训练
4有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法种数.
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)有某女生且一定要担任语文课代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任语文课代表;
(4)有某女生且一定要担任语文课代表,有某男生但不担任数学课代表.
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思维辨析
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因对限制条件考虑不全而致误
【
典例】从1~9的9个数字中,取出5个数字作排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有 个.?
易错分析含有限制条件的排列组合题目容易出现对限制条件考虑不全而致误.
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思维辨析
答案:2
520
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思维辨析
纠错心得
1.解决受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.
2.解组合应用题时,应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义.
3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.
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变式训练 赛艇运动员10人,3人会划右舷,2人会划左舷,其余5人两舷都能划.现要从中选6人上艇,平均分配在两舷上划桨,有 种不同的选法.?
答案:675
当堂检测
1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )
A.280种
B.240种
C.180种
D.96种
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思维辨析
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答案:B
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2.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有( )
A.90种
B.180种
C.270种
D.540种
答案:D
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思维辨析
当堂检测
3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
答案:B
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思维辨析
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4.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是
(用数字作答).?
答案:336
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思维辨析
当堂检测(共33张PPT)
§5 二项式定理
课标阐释
思维脉络
1.熟练掌握二项展开式的通项,并能运用这个通项求指定项或指定项的系数.
2.掌握二项式定理展开式中系数的规律,明确二项式系数与各项系数的区别.
3.理解并掌握二项式系数的性质,会利用二项式系数的性质解决综合问题.
?
一
二
知识梳理
一
二
名师点拨1.一个二项展开式的某一项的二项式系数
与这一项的系数(二项式系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项式系数一定为正值,而项的系数既可以是正值也可以是负值,还可以是0.
一
二
答案:2
一
二
二、二项式系数表
当n依次取1,2,3,…时,(a+b)n展开式的二项式系数如图所示:
上图所示的表叫作二项式系数表.
在二项式系数表中,有如下两个结论:
一
二
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.
一
二
答案:1
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)二项式定理中字母a,b的顺序是可以任意变换的.
( )
(2)“二项式系数”与“二项式的展开式系数”可以相等.
( )
(3)(a+b)n的展开式第5项是
( )
(4)(1+x)n中,令x=1可得展开式的所有项系数和为2n.
( )
(5)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.
( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
(1)求
的展开式;
(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.
(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.
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反思感悟
1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点,如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n的形式.
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【例2】
已知在
的展开式中,第9项为常数项,求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的个数.
分析先根据通项确定n的值,再根据特定项的特征逐一求解.
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反思感悟
1.在通项公式
五个元素,只要知道其中四个就可以求出第五个,同时注意幂指数n是正整数,r是自然数,且r≤n.在未知r,n的情况下,用通项公式解题,一般都需要先将通项公式转化为方程(组)求出r,n,再代入通项公式求解.
2.利用通项公式可以解决以下问题:
(1)求指定项.
(2)求特征项,如常数项,即字母的次数为零;有理项,即字母的次数为整数等.
(3)求指定项、特征项的系数.
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答案:(1)7 (2)1 (3)2
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【例3】设
,求下列各式的值.
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
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分析要求常数项a0只需令x=0即可,而要求除了常数项a0之外的其他项的系数和,则令x=1求得所有项的系数和,由a1,a3,a5,a7对应的x的指数幂都是奇数,剩下各项对应的x的指数幂都是偶数,分别令x=1,x=-1,可区别指数幂为奇数或偶数的项.|a0|+|a1|+…+|a100|.只要根据a0,a1,a2,…,a100的正负去绝对值号,再进行求解.
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反思感悟
二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少,应就具体情况而定,有时取“1”,有时取“-1”,也有时要取其他值.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式各项系数之和
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变式训练3 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:?
(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解(1)令x=0可得(1-0)7=a0,则a0=1.
令x=1可得(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7,
即a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1,
所以a1+a2+…+a7=-1-a0=-2.
(2)由(1)得x=1时,a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1.①
令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=(1+2)7=37.②
①-②得2(a1+a3+a5+a7)=-1-37,
(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-…-a7=37.
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思维辨析
因二项式系数与项的系数混淆而致误
【典例】
设(x-
)n展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,试求含x2的项.
易错分析二项式中二项式系数与展开式中某一项的系数及某一项这些不同的概念容易混淆而致误.
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思维辨析
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1.化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得
( )
A.x4
B.(x-1)4
C.(x+1)4
D.x5
解析原式=(x-1+1)4=x4.故选A.
答案A
探究一
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思维辨析
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答案:B
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探究二
探究三
思维辨析
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3.在二项式
的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则n= .?
解析(赋值法)由题意可知,B=2n,令x=1,得A=4n,由A+B=72,得4n+2n=72,即2n=8,n=3.
答案3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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答案:40
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探究二
探究三
思维辨析
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5.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:
(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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解(1)令x=0可得(1-0)7=a0,则a0=1.
令x=1可得(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7,
即a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1,
所以a1+a2+…+a7=-1-a0=-2.
(2)由(1)得x=1时,a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1.①
令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=(1+2)7=37.②
①-②得2(a1+a3+a5+a7)=-1-37,
(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-…-a7=37.
探究一
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探究三
思维辨析
当堂检测(共44张PPT)
第1课时 计数原理
知识网络
要点梳理
①分步乘法计数原理;②排列数公式;③组合;④组合数的性质;⑤二项式定理;⑥二项式系数的性质.
知识网络
要点梳理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m·n种不同的方法.
3.排列与排列数
(1)排列:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识网络
要点梳理
(2)排列数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作
4.组合与组合数
(1)组合:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作
知识网络
要点梳理
5.排列数、组合数的公式及性质
知识网络
要点梳理
6.二项式定理
(1)定理
(2)通项
7.二项式系数与项的系数
(1)二项式系数
二项展开式中各项的系数
(k∈{0,1,…,n})叫作二项式系数.
(2)项的系数
项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与二项式系数是两个不同的概念.
知识网络
要点梳理
8.二项式系数的性质
知识网络
要点梳理
9.各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在分类加法计算原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.( )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
知识网络
要点梳理
(8)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
(9)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( )
(10)(a+b)2n中系数最大的项是第n项.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)× (8)× (9)√ (10)×
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题一 分类与分步计数原理的综合运用
【例1】
某校高中部,高一有7个班,高二有7个班,高三有9个班,学校利用周天组织学生到某养老院进行社会活动.
(1)任选一个班的学生参加社会活动,有多少种不同的选法?
(2)三个年级各选一个班的学生参加社会活动,有多少种不同的选法?
(3)选两个班的学生参加社会活动,要求这两个班来自不同年级,有多少种不同选法?
分析运用两个原理解答问题时注意以下两点:(1)要根据具体问题,看是先分步后分类还是先分类后分步;(2)要思维清晰,保证分类标准的唯一性.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
解:(1)分三类:第一类从高一年级选一个班,有7种不同方法;第二类从高二年级选一个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选一个班,有9种不同方法,由分类加法计数原理,共有7+7+9=23(种)不同选法.
(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选一个班,有7种不同的方法;第二步从高二年级选一个班,有7种不同的方法;第三步从高三年级选一个班,有9种不同方法,由分步乘法计数原理,共有7×7×9=441(种)不同的选法.
(3)分三类,每类又分两步,第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有7×7种不同方法;第二类从高一、高三两个年级各选一个班,有7×9种不同方法;第三类从高二、高三两个年级各选一个班,有7×9种不同方法,由分类加法计数原理,故共有7×7+7×9+7×9=175(种)不同选法.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟
“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成,才能完成所给事情,所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
跟踪训练1用1,2,3,4四个数字可重复地任意排成三位数,并把这些数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项;
(2)求这个数列共有多少项;
(3)若an=341,求n.
解(1)用1,2,3,4四个数字排成三位数,前11项由小到大的顺序为111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每一个位置都有4种排法,根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.
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专题一
专题二
专题三
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专题三
专题二 排列与组合的应用
【例2】
有1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20
000大,并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数,共有 个.?
答案:78
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专题三
跟踪训练2由0,1,2,3,4,5六个数字可组成 个被5整除且数字不同的六位奇数.?
解析:由题意可知,首位、末位是两个特殊位置,“0”是特殊元素,首位可取元素的集合A={1,2,3,4,5},末位可取元素的集合B={5},B?A.
答案:96
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专题二
专题三
【例3】
将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有( )
A.120种
B.96种
C.78种
D.72种
答案:C
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专题一
专题二
专题三
跟踪训练3从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答)?
答案:36
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【例4】
A,B,C,D四人排成一排,A,B必须相邻的排法有
种.?
答案:12
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专题三
跟踪训练4五位老师和五名学生站成一排:
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法?
(2)五名学生不能相邻共有多少种排法?
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【例5】
7个人站成一排照相,要求甲、乙、丙两两不相邻有多少种排法?
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【例6】
今有2个红球、3个黄球和4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成1列,有 种不同的方法(用数字作答).?
答案:1
260
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【例7】
7人站成一排照相,要求甲、乙之间恰好间隔2人的站法有多少种?
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反思感悟
将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键一步.(1)正确分类或分步,恰当选择两个计数原理.(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.
1.特殊元素特殊位置“优先安排法”
对于带有特殊元素或特殊位置的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素或特殊位置,再考虑其他元素.
2.合理分类与准确分步法
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏.
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3.相邻问题“捆绑法”
对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个“大”元素与其他元素排列,然后再对相邻元素内部之间进行排列.
4.不相邻问题“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可.
5.顺序固定问题用“除法”或“自动上位法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数.
6.“小团体”问题“先整体后局部法”
对于“小团体”排列问题,与“相邻问题”相似,可先将小团体看作一个元素与其余元素排列,最后再进行小团体内部的排列.
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专题三
跟踪训练5高一年级7个班级要组成年级篮球队,共需10名队员,每个班至少要出一名,则不同的组成方式共有多少种?
解设7个班出的队员数分别为x1,x2,…,x7,则x1+x2+…+x7=10,即相当于在10个小方块之间的9个空档中插入6块隔板将其分成7部分,故不同的组成方式为
=84种.
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专题三 二项式定理的应用
(1)求含有x3的项;
(2)求系数最大的项.
分析先根据条件求出n的值,再求解.
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【例9】
若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
(1)求a1+a2+…+a10;
(2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.
解(1)令f(x)=(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,a0=f(0)=25=32,
a0+a1+a2+…+a10=f(1)=0,故a1+a2+…+a10=-32.
(2)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-…+a10)=f(1)·f(-1)=0.
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反思感悟
二项式定理丰富地展示了待定系数法、构造法、特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想和方法.二项式定理的主要应用有以下几个方面:(1)求特定项的系数.根据二项式定理写出展开式的通项
中的r进行赋值,从而求出特定项的系数.(2)求和.求二项展开式系数和的基本方法是赋值法.在解决有些数列求和问题时,要注意将问题转化,为应用二项式定理创造条件.(3)解不等式或证明恒等式(不等式).
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专题一
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专题三
跟踪训练6(x+2)5的展开式中,x2的系数等于 .(用数字作答)?
答案:80
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考点一 两个计数原理
1.(2020全国Ⅱ,文3)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤iA.5
B.8
C.10
D.15
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解析:结合题意,原位大三和弦有(a1,a5,a8),(a2,a6,a9),(a3,a7,a10),(a4,a8,a11),(a5,a9,a12),共5个,原位小三和弦有(a1,a4,a8),(a2,a5,a9),(a3,a6,a10),(a4,a7,a11),(a5,a8,a12),共5个,故原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10.故选C.
答案:C
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考点二 排列与组合
2.(2021全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
答案:C
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4.
某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)?
解析:该问题是一个排列问题,故共有
=40×39=1
560条毕业留言.
答案:1
560
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答案:C
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6.
(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80
B.-40
C.40
D.80
答案:C
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答案:C
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答案:240
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答案:-56
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10.
在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)?
答案:60
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11.(2020浙江,12)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= .?
解析:由题意可知a4表示x4的系数,即a4=
·24=80;
当x=1时,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,①
当x=-1时,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,②
①-②得2(a1+a3+a5)=35+1.
所以a1+a3+a5=122.
故答案为80;122.
答案:80 122(共28张PPT)
习题课——二项式定理的应用
课标阐释
思维脉络
1.了解二项式系数的性质,学会求二项展开式系数最值问题.
2.掌握“赋值法”并会灵活应用.
3.会用二项式定理解决整除问题.
?
二项展开式的应用
1.利用通项公式
求指定项、特征项(常数项,有理项等)或特征项的系数.
2.近似计算,当|a|与1相比较很小且n不大时,常用近似公式(1±a)n≈1±na,使用公式时要注意a的条件以及对计算精确度的要求.
知识梳理
3.整除性问题与求余数问题,对被除式进行合理的变形,把它写成恰当的二项式的形式,使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除.
4.解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是:观察——分析,试验——猜想结论——证明,要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律,取决于我们的观察能力,注意观察方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.
【做一做1】
设a∈Z,且0≤a<13,若512
016+a能被13整除,则a=( )
A.0
B.1
C.11
D.12
答案:D
答案:2
【做一做3】
(1+2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等,则系数最大项为 .?
答案:672x5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
在(3x-2y)20中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
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【例2】
(1)用二项式定理证明1110-1能被100整除;
(2)求9192被100除所得的余数.
分析利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
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反思感悟
1.整除性问题或求余数问题的处理方法
(1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式.
(2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了.
(3)要注意余数的范围,a=c·r+b这式子中b为余数,b∈[0,r),r是除数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换.
2.利用二项式证明多项式的整除问题
关键是将被除式变形为二项式的形式,使其展开后每一项均含有除式的因式.若f(x),g(x),h(x),r(x)均为多项式,则
(1)f(x)=g(x)·h(x)?f(x)被g(x)整除.
(2)f(x)=g(x)·h(x)+r(x)?r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.
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【例3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
A.1或-3
B.-1或3
C.1
D.-3
解析令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3.
答案A
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互动探究本例变为:若(x+2+m)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+
a9(x-1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为 .?
解析:令x=2,得到a0+a1+a2+…+a9=(4+m)9,令x=0,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=(m+2)9,
所以有(4+m)9(m+2)9=39,
即m2+6m+5=0,解得m=-1或m=-5.
答案:-1或-5
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反思感悟
1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.
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A.x=5,n=5
B.x=5,n=4
C.x=4,n=4
D.x=4,n=3
答案:B
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2.在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.第n项和第n+1项
B.第n-1项和第n项
C.第n+1项和第n+2项
D.第n+2项和第n+3项
答案:C
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3.已知(2-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+…+a9= .?
解析:由题意,令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=-1,令x=0,得a0=29,所以a1+a2+…+a9=-1-29.
答案:-1-29
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答案:180
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