(共9张PPT)
—综合运用公式
回顾 & 思考
步骤：一看系数 二看字母 三看指数
关键：确定公因式
最大公约数
相同字母最低次幂
一、提公因式法
回顾 & 思考
1、平方差公式
二、公式法
a2 b2= (a+b)(a b)
特
点
两数的和与差相积
两个数的平方差；只有两项
①左边
②右边
相同项
相反项
2
2
□－△＝(□＋△)(□－△)
形象地表示为
回顾 & 思考
一、公式法
2、完全平方公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特
点
①左边
（完全平方式）
这两个数的积的两倍
两个数的平方和
有三项
两数的和与差的平方
②右边
可形象表示为
将下列各式因式分解
(1)x(x+6)+9
(2)y(y+4)－4(y+1)
(3)(x2+1)2－4x2
因式分解的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
② 对于二次二项式，考虑套用平方差公式分解。
③ 对于二次三项式，考虑套用完全平方公式分解。
练习一：把下列各式分解因式
1). 3m2-27
2). 1-a4
练习二：把下列各式分解因式
1). 9-12x+4x2
2). -x2+4x-4
3). y3+4xy2+4x2y(共19张PPT)
12.2提公因式法
1、什么叫做因式分解？
2 、整式乘法与因式分解有何区别？
ma+mb=m(a+b)
m(a+b) = ma+mb
多项式ab +bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？
多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的
公因式.
公因式
如：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做
提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
确定公因式的方法：
公因式要提尽
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
定系数
3
定字母
x
所以，公因式是3 x 。
定指数
1
思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
（1）把 3a2-9ab分解因式.
温馨提示
分两步
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式 ，
(即将多项式化为两个因式的乘积)
例1
解：原式 =3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
注意：提公因式后,另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式。
分析:先找出各项的公因式,然后再分解.
解: 8a3b2+12ab3c
=4ab 2 2a2+ 4ab2 3bc
= 4ab 2 (2a2 + 3bc)
公因式： 4ab2
将下列各式分解因式：
1、3x+6
2、2x3+6x2
3、3pq3+15p3q
4、-4x2-8ax+2x
=3(x+2)
=2x2 (x+3)
=3pq(q2+5p2)
=-2x(2x-4a-1 )
如何把-24x3 –12x2 +28x 分解因式.
把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
把下列各多项式因式分解
1)-4a3b3+6a2b-2ab
2）-9a2b3-12ab4+15ab5
3)-4x3y+2x2y2+xy3
4 ) -x4y2-2x2y-xy
把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz；
（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学：
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)
丙同学：
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)
提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
互逆
1 分解的对象必须是多项式.
2 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3 要分解到不能分解为止.
分解因式要注意什么？
3、确定公因式的方法
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)
1、什么叫因式分解？
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽
（2）小心漏掉
（3）多项式的首项取正号(共12张PPT)
第十二章
分解因式
12.1
分解因式
1.
整式乘法有几种形式
(1)
单项式乘以单项式
(2)
单项式乘以多项式
:
a(m+n)=am+an
(3)
多项式乘以多项式
(
a+b)(m+n)=am+an+
bm
+
bn
2.
乘法公式有哪些
(1)
平方差公式
: (
a+b)(a
-
b)=a
2
-
b
2
(2)
完全平方公式
: (
a
±
b)
2
=a
2
±
2ab+b
2
复习：
做一做
计算下列个式
:
(1)
3
x(x
-
1)= _____
(2)
m(a+b+c) = _____
(3)
(m+4)(m
-
4)=
____
(4)
(x
-
3)
2
=
_______
(5)
a(a+1)(a
-
1)=
____
根据左面的算式填空
:
(1) 3
x
2
-
3x=_______
(2) ma+
mb
+mc=______
(3) m
2
-
16=_________
(4) x
2
-
6x+9=________
(5) a
3
-
a=______
3x-3x
ma+mb+mc
m-16
x-6x+9
a - a
3
2
2
2
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)
a(a+1)(a-1)
2
议一议
:
由
a(a+1)(a
-
1)
得到
a
3
-
a
的变形是
什么运算
由
a
3
-
a
得到
a(a+1)(a
-
1)
的变形与
它有什么不同
1)
答
:
由
a(a+1)(a
-
1)
得到
a
3
-
a
的变形
是整式乘法
,
由
a
3
-
a
得到
a(a+1)(a
-
的变形与上面的变形互为逆过程
.
把
一个多项式化成几个
整式积的形式
,
这种变
形叫做把这个多项式
分
解因式。
●
想一想
:
分解因式与整式乘法有何关系
分解因式与整式乘法是
互逆
过程
定义：
分解因式要注意的问题:
1.
分解的对象必须是多项式
.
2.
分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式
.
3.
要分解到不能分解为止
.
练习一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法
哪些是因式分解
(1).
x
2
-
4y
2
=(x+2y)(x
-
2y)
(2).2x(x
-
3y)=2x
2
-
6xy
(3).(5a
-
1)
2
=25a
2
-
10a+1
(4).x
2
+4x+4=(x+2)
2
(5).(a
-
3)(a+3)=a
2
-
9
(6).m
2
-
4=(m+4)(m
-
4)
(7).2
π
R+ 2
π
r= 2
π
(R+r)
练习二
试一试
把
下列个式写成乘积的形式
:
(1). 1
-
x
2
(2).
4a
2
+4a+1
(3). 4x
2
-
8x
(4). 2x
2
y
-
6xy
2
(5). 1
-
4x
2
(6). x
2
-
14x+49
=(1+x)(1-x)
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1+2x)(1-2x)
=(2a+1)
2
=(x-7)
2
99
3
99
-
能被
100
整除吗
你是怎样想的
与同伴交流
.
99
3
-
99=99
×
99
2
-
99
×
1
=99
×
(99
2
-
1)
=99 (99+1)(99
-
1)
= 99
×
100
×
98
所以
, 99
3
-
99
能被
100
整除
.
想一想
: 99
3
-
99
还能被哪些整数整除
练习三
拓展应用
1.
计算
: 765
2
×
17
－
235
2
×
17
解
: 765
2
×
17
－
235
2
×
17
=17(765
2
－
235
2)
=17(765+235)(765
－
235)
=17
×
1000
×
530=9010000
解
:
∵
2004
2
+2004=2004(2004+1)
=2004
×
2005
∴
2004
2
+2004
能被
2005
整除
2. 能被2005 整除吗
2004
2
+2004
归纳小结
分解因式与整式乘法是互逆过程
.
分解因式要注意的问题:
1.
分解的对象必须是多项式
.
2.
分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式
.
3.
要分解到不能分解为止
.
分解因式的概念(共17张PPT)
第十二章《因式分解》复习课
一、知识要点
（一）、分解因式的定义
（二）、分解因式的方法
（三）、分解因式的一般步骤
（一）分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。
即：一个多项式 →几个整式的积
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
（1）、提取公因式法：
解： p（y－x）－q（y－x）
= （y－x）（ p －q）
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] 练习
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方和公式 ] 练习
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方差公式 ]
运用公式法中主要使用的公式有如下几个：
（三）分解因式的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
练习题
② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。
③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分解。
练习题：
把下列各式分解因式：
（ x －y）3 － （ x －y）
a2 － x2y2
解： （ x －y）3 － （ x －y）
= （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1）
a2 － x2y2
=（a ＋xy）（ a － xy ）
1、对下列多项式进行因式分解：
（1）-5a2+25a;(2)3a2-9ab;
(3)25x2-16y2; (4)x2+4xy+4y2.
2、把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；
练习题： 分解因式 x2－（2y）2
a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
解： x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
1．把下列各式因式分解：
(1)(m +n)2-n2；
(2)169(a-b)2-196(a+ b)2；
(3)(2x+y)2-(x+2y)2；
(4)(a+ b+c)2-(a+b-c)2；
(5)4(2p+3q)2 -(3p-q)2；
(6)(x2+y2)2-x2y2．
2．分解因式：
(1)81a4-b4； (2)8y4-2y2；
(3)3ax2-3ay4； (4)m4-1．
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋x＋2y2 B、 x2 ＋4x－4
C、x2＋4xy＋y2 D、 y2 －4xy＋4 x2
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
D
1．将下列各式因式分解：
(1)x2+2x+1；
(2)4a2+4a+1；
2．将下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
三、小结
1、分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。
2、分解因式的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
(1)x4-9x2；
(2)-5x3+5x2+10x；
(3)(a+b)(c-d)-2(a+b)·(c+d)；
(4)(a-b)(a-c)+(b-a)·(b-c)；
(5)8x2-2y2；
(6)x5-x3；
(7)9(x+y)2-(x-y)2；
(8)4b2c2-(b2+c2-a2)2；
(9)(x2+4)2-16x2；
(10)m2(m+n)2-n2(m-n)2；
(11)2a2(a+b)2-3(a+b)3．
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!
