22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
(
基础知识精炼
模块一
)
(
【知识点1】
二次函数
y
＝
ax
2
＋
k
的图象与性质
)
1．函数的图象是
A．直线
B．射线
C．双曲线
D．抛物线
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是
A．
B．
C．
D．
3．二次函数的图象大致是
A．
B．
C．
D．
4．抛物线的图象大致是
A．
B．
C．
D．
5．抛物线的对称轴为
A．轴
B．轴
C．
D．
6．抛物线的解析式，则顶点坐标是
A．
B．
C．
D．
(
【知识点2】
二次函数
y
＝
ax
2
＋
k
与二次函数
y
＝
ax
2
之间的平移
)
7．函数与的图象的不同之处是
A．对称轴
B．开口方向
C．顶点
D．形状
8．对于抛物线和的论断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．将二次函数图象向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
10．将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是
A．沿轴向上平移3个单位
B．沿轴向下平移3个单位
C．沿轴向右平移3个单位
D．沿轴向左平移3个单位
(
综合能力提升
模块二
)
11．函数的图象大致为
A．
B．
C．
D．
12．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是
A．
B．
C．
D．
13．函数与图象不同之处是
A．对称轴
B．开口方向
C．顶点
D．形状
14．抛物线的对称轴是
A．直线
B．直线
C．轴
D．直线
15．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A．
B．
C．
D．
16．抛物线的顶点的横坐标为
．
17．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是 ．
18．如果将抛物线向下平移，使其经过点，那么所得新抛物线的表达式是 ．
19．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
20．求符合下列条件的抛物线的函数表达式：
（1）经过点；
（2）与的开口大小相同，方向相反；
（3）当的值由0增加到2时，函数值减少4．
参考答案
1．解：列表得：
0
1
2
1
描点、连线画出图象如图：
故选：．
2．解：二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，
故选：．
3．解：二次函数中，
，图象开口向上，顶点坐标为，
符合条件的图象是．
故选：．
4．解：
抛物线开口向下
二次函数解析式为
顶点坐标为，对称轴，即轴，
观察选项可知符合，故选：．
5．解：在抛物线中，，
对称轴为：，即轴，
故选：．
6．解：抛物线的解析式，则顶点坐标是，
故选：．
7．解：由与中、相同，得
对称轴相同，开口方向相同，形状相同，
故选：．
8．解：因为抛物线向上平移2个单位，得到，
所以，开口方向相同；形状完全相同；对称轴相同．
正确的有三个，故选．
9．解：将二次函数的图象向下平移3个单位，所得图象的解析式为，
故选：．
10．解：将二次函数的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是，
故选：．
11．解：二次项系数，
开口方向向下，
一次项系数，
对称轴为轴，
常数项，
图象与轴交于，
故选：．
12．解：由可知抛物线的开口向上，故不合题意；
二次函数与轴交于负半轴，则，
，
一次函数的图象经过经过第一、二、三象限，选项符合题意，、不符合题意；
故选：．
13．解：与，
，，
对称轴都是轴，开口方向都向上，形状相同，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
故选：．
14．解：
抛物线，
抛物线对称轴为直线，即轴，
故选：．
15．解：、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，，即，，两者相矛盾；
、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，，即，，两者相矛盾；
、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，，即，，两者相矛盾；
、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，，即，，两者相吻合．
故选：．
16．解：抛物线的顶点的横坐标为0．
故答案为：0．
17．解：函数的图象向上平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为，
平移后得到的函数关系式为．
故答案是：．
18．解：设平移后的抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
则该函数解析式为．
故答案是：．
19．解：如图：
，
（1）与的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，
与的不同点是：开口向上，顶点坐标是，开口向下，顶点坐标是；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
20．解：（1）由题意得，，
解得，
则函数表达式为：；
（2）与的开口大小相同，方向相反，
函数表达式为：；
（3）当时，，
当时，，
由题意得，，
解得，
则函数表达式为：．第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
(
基础知识精炼
模块一
)
(
【知识点1】
二次函数
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
的图象和性质
)
1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．顶点坐标为
2．抛物线的顶点坐标是
A．
B．
C．
D．
3．对于函数的图象，下列说法不正确的是
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．最大值为0
D．与轴不相交
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线上的两点，和，，如果，那么下列结论一定成立的是
A．
B．
C．
D．
6．关于二次函数，下列说法正确的是
A．当时，值随值的增大而增大
B．当时，值随值的增大而减小
C．当时，值随值的增大而增大
D．当时，值随值的增大而减小
(
【知识点2】
二次函数
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
与二次函数
y
＝
ax
2
之间的平移
)
7．把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为
A．
B．
C．
D．
8．将抛物线向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为
A．
B．
C．
D．
9．将抛物线向左平移一个单位后，所得新抛物线的函数表达式是 ．
10．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则
，
．
(
综合能力提升
模块二
)
11．同一坐标系中，抛物线与直线的图象可能是
A．
B．
C．
D．
12．已知二次函数，下列说法正确的有
①因为，所以开口方向向上；
②顶点坐标为；
③对称轴为直线；
④当时，随的增大而增大．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
13．已知抛物线的形状与抛物线的形状相同，且顶点坐标为，则
．
14．有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上
乙：对称轴是直线
丙：与轴的交点到原点的距离为2
满足上述全部特点的二次函数的解析式为
．
15．已知函数；自己画出草图，根据图象回答问题：
（1）求当时，的取值范围；
（2）求当时，的取值范围．
16．（1）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
（2）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
①求抛物线的解析式；
②从图象上观察，当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，函数有最大值（或最小值）？
参考答案
1．解：由得抛物线开口向下，
对称轴为直线，顶点坐标为，
时随增大而增大，
时随增大而减小．
故选：．
2．解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
3．解：对于函数的图象，
，
开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0，
故、、正确，
故选：．
4．解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在轴上，
故选：．
5．解：，
，有最小值为0，
抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线，
，
．
故选：．
6．解；如图，由图象可得：当时，值随值的增大先减少后增大，故错误；
当时，值随值的增大先减少后增大，故错误；
当时，值随值的增大而减少，故错误；
当时，值随值的增大而减小，故正确；
故选：．
7．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线右平移1个单位，所得函数解析式为：．
故选：．
8．解：抛物线顶点坐标为，把点向左平移2个单位后所得对应点的坐标为，所以平移后的新的抛物线的表达式为．
故选：．
9．解：抛物线向左平移一个单位后后，所得抛物线的表达式是（或，
故答案为：（或．
10．解：将抛物线向左平移3个单位，
得到的解析式为，
，．
故答案为，．
11．解：、由一次函数的图象可得：或，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；
、由一次函数的图象可得：或，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；
故选：．
12．解：中，，
抛物线开口方向向下，对称轴为直线，顶点为，
当时，随的增大而增大，
故②③2个，
故选：．
13．解：已知抛物线的顶点坐标为，可设此抛物线的解析式为，，由于抛物线和的图象形状相同，因此，所以或．
故答案为0或．
14．解：二次函数的图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
二次函数的解析式为，
与轴的交点到原点的距离为2，
与轴交于点或，
把代入得，，
，
把代入得，，
（舍去）
解析式为：．
故答案为：．
15．解：画出函数的图象如图所示：
（1）当时，的取值范围是；
（2）当时，的取值范围是．
16．解：（1）抛物线的顶点坐标为，
抛物线，
将代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）①为抛物线的对称轴，
抛物线的解析式为：，
将代入可得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
②该抛物线的对称轴为：，
顶点坐标为，
根据抛物线的对称性得，当时，随的增大而增大，
，
函数有最大值，
当时，函数有最大值是0．第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(
基础知识精炼
模块一
)
(
【知识点1】
二次函数
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的图象和性质
)
1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向下
B．当时，有最大值是2
C．对称轴是直线
D．顶点坐标是
2．抛物线的顶点坐标是
A．
B．
C．
D．
3．抛物线的对称轴是
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
4．抛物线，下列说法正确的是
A．开口向下，顶点坐标
B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标
D．开口向上，顶点坐标
5．在函数中，当时，随的增大而
．（填“增大”或“减小”
(
【知识点2】
二次函数
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的平移与应用
)
6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
7．若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则、、的值可能为下列哪一组？
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
9．将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是
A．向左平移3个单位，向上平移4个单位
B．向左平移3个单位，向下平移4个单位
C．向右平移3个单位，向上平移4个单位
D．向右平移3个单位，向下平移4个单位
10．二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为
．
(
综合能力提升
模块二
)
11．下列二次函数的图象的对称轴是轴的是
A．
B．
C．
D．
12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
13．对于抛物线，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线；
③顶点坐标为；
④时，随的增大而减小．
其中正确结论的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
14．抛物线可由如何平移得到
A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
15．二次函数的最小值是
A．
B．
C．1
D．2
16．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．有最低点，坐标是
B．有最高点，坐标是
C．有最高点，坐标是
D．有最低点，坐标是
17．已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
（2）选取适当的数值填入下表，并在如图所示的直角坐标系中描点画出该抛物线的图象．
（3）说明该抛物线与抛物线有什么关系．
18．已知：抛物线．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数有最大值还是最小值？并求出这个最大（小值；
（3）设抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，求直线的函数解析式．
19．已知抛物线经过点
（1）求的值；
（2）若点、，都在该抛物线上，试比较与的大小．
20．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）已知点为轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点的坐标．
参考答案
1．解：二次函数的图象的开口向上，故错误；
当时，函数有最小值2，故错误；
对称轴为直线，故错误；
顶点坐标为，故正确．
故选：．
2．解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
3．解：由二次函数顶点式，可知在中，，
其对称轴为直线．
故选：．
4．解：抛物线，
该抛物线的开口向下，顶点坐标为，
故选：．
5．解：函数，
，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
故答案为：增大．
6．解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到：，
再向上平移1个单位长度得到：．
故选：．
7．解：二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，
．
故选：．
8．解：根据题意知，将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：．
故选：．
9．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
点需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点．
抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．
故选：．
10．解：二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为：，即．
故答案是：．
11．解：、，对称轴是直线，故此选项不合题意；
、，对称轴是直线，故此选项不合题意；
、，对称轴是直线，故此选项不合题意；
、对称轴是轴，符合题意．
故选：．
12．解：，
对称轴为，
，
抛物线开口向下，
在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，解得，
故选：．
13．解：，
抛物线开口方向向下，故①正确；
对称轴为直线，故②错误；
顶点坐标为，故③正确；
时，随的增大而减小，
时，随的增大而减小，故④正确；
综上所述，正确结论有①③④共3个．
故选：．
14．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，因为点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，所以把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得抛物线．
故选：．
15．解：二次函数的顶点坐标为，因此当时，，
故选：．
16．解：二次函数，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，有最高点，
故选项中的说法正确，选项、、中的说法错误；
故选：．
17．解：（1）抛物线的关系式是．
该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标，
故答案为：直线，，
（2）列表：
0
1
2
3
4
2
3
2
描点、连线：
；
（3）抛物线与抛物线形状、开口方向完全相同，把抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线．
18．解：（1）抛物线，
，
抛物线的开口向上，
对称轴为直线；
（2），
函数有最小值，最小值为；
（3）令，则，
所以，点的坐标为，
令，则，
解得，，
所以，点的坐标为或，
当点，时，设直线的解析式为，
则，
解得，
所以直线的解析式为，
当，时，设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或．
19．解：（1）抛物线过点，
，解得．
（2）当时，抛物线的解析式为．
抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
，
．
20．解：（1）依题意知，抛物线解析式为．
把，分别代入，得
，
解得，
所以该抛物线解析式是或．
（2）由题意得：，；
由勾股定理得：，
．
当为等腰三角形时，
①若为底，
，
此时点即为所求的点，
故点的坐标为；
②若为腰，
以点为圆心，以长为半径画弧，交轴于两点，
此时两点坐标为或，
以点为圆心，以长为半径画弧，交轴于点；
综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标分别为
、、，、．
