22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
(
基础知识精炼
模块一
)
(
【
知识点
1
】
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
与
y
＝
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的互化
)
1．将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是
A．开口方向不变
B．对称轴不变
C．随的变化情况不变
D．与轴的交点不变
2．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过
A．
B．
C．
D．
3．二次函数图象平移后经过点，则下列可行的平移方法是
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
4．抛物线向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是
A．
B．
C．
D．
(
【
知识点
2
】
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠
0)
的图象和性质
)
5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
6．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
0
1
2
1
由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是
A．
B．
C．2
D．
7．已知的图象如图所示，则点在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
9．已知，，，是上的两点，则下列命题正确的是
A．若时，，则开口一定向下
B．若时，，则开口一定向上
C．若时，，则开口一定向上
D．若时，，则开口一定向下
10．将抛物线进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰好落在坐标轴上的是
A．向左平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
(
综合能力提升
模块二
)
11．将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与轴的交点坐标为
A．
B．
C．
D．
12．把的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的的图象，则和的值分别为
A．1，3
B．3，
C．1，
D．3，
13．若，则二次函数的图象可能是
A．
B．
C．
D．
14．抛物线的部分图象如图所示，其对称轴是，若，则的取值范围是
．
15．若抛物线的顶点在轴上，则的值为 ．
16．已知，二次函数的图象如图所示，当时，的值为
．
17．已知：二次函数为，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）为何值时，顶点在轴上方；
（3）若抛物线与轴交于，过作轴交抛物线于另一点，当时，求此二次函数的解析式．
18．已知抛物线．
（1）当时，请判断点是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点、，若该抛物线与线段只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
参考答案
1．解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意．
、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量不变，则随的变化情况不变，故不符合题意．
、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：．
2．解：
，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线解析式为：，
当时，，故不在此抛物线上，故选项不合题意；
当时，，故在此抛物线上，故选项符合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故选项不合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故选项不合题意；
故选：．
3．解：，
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意；
故选：．
4．解：抛物线向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是：；
故选：．
5．解：、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，不可能；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，可能；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能．
故选：．
6．解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线，经过点，，，
，
解得，，
，
当时，，
当时，，
故选：．
7．解：如图，抛物线开口方向向下，
．
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
对称轴，
，
，
在第三象限，
故选：．
8．解：
由函数图象已知，，
，
，
，
，
故选：．
9．解：、如图1中，满足若时，，抛物线的开口向上，故选项错误，不符合题意．
、如图2中，满足若时，抛物线的开口向下，故选项错误，不符合题意．
、如图3中，若时，，抛物线的开口向上，故选项错误，不符合题意．
故选：．
10．解：抛物线可化为，得顶点坐标为，不在坐标轴上，
、顶点向左平移3个单位长度得到点，不在坐标轴上．
、顶点向右平移3个单位长度得到点，不在坐标轴上．
、顶点先向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点，不在坐标轴上．
、顶点先向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度得到点，在轴上，
故选：．
11．解：
，
将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，
，
则，
故，
则平移后的抛物线与轴的交点坐标为．
故选：．
12．解：抛物线的顶点坐标是，则向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为：，
平移后抛物线的解析式为．
又平移后抛物线的解析式为．
，，
，，
故选：．
13．解：，
抛物线开口向上，
对称轴直线，
对称轴在轴的左侧，
由可知，抛物线与轴的交点为，
故选：．
14．解：由图象可得抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
由对称性可得抛物线经过点，
时的取值范围是．
故答案为：．
15．解：由题意得一元二次方程中判别式为0，
即△，
解得，
故答案为：．
16．解：抛物线的对称轴为，
当和时，值相等．
当时，，
当时，．
故答案为：2．
17．解：（1），
抛物线开口方向向上；
对称轴为直线；
，
顶点坐标为，；
（2）顶点在轴上方时，，
解得；
（3）令，则，
所以，点，
轴，
点、关于对称轴直线对称，
，
，
解得，
所以，二次函数解析式为或．
18．解：（1）当时，抛物线为，
将代入得，
点不在抛物线上；
（2）抛物线的顶点为，，
化简得，，
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而，
时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：；
（3）设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线的解析式为，
由得：或，
直线与抛物线的交点为：和，
而在线段上，
若该抛物线与线段只有一个交点，则不在线段上，或与重合，
或或（此时，
此时抛物线顶点横坐标或或．第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
(
基础知识精炼
模块一
)
(
【
知识点
1
】一般式确定二次函数的解析式
)
1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数解析式为
A．
B．
C．
D．
2．已知二次函数，当等于时，函数值是；当时，函数值是5．则此二次函数的表达式为
A．
B．
C．
D．
3．已知抛物线过点，，与轴交于点，且．则这条抛物线的解析式为
A．
B．
C．或
D．或
(
【
知识点
2
】顶点式确定二次函数的解析式
)
4．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为
A．
B．
C．
D．
5．已知二次函数（其中，，是实数，，当时，；当时，，
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为
A．
B．
C．
D．
(
【
知识点
3
】交点式确定二次函数的解析式
)
7．如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为
A．
B．
C．
D．
8．二次函数经过和，对称轴是直线，则这个二次函数的表达式为
A．
B．
C．
D．
9．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点则此抛物线对此函数的表达式为
A．
B．
C．
D．
(
综合能力提升
模块二
)
10．如果抛物线经过点和，且与轴交于点，若．则这条抛物线的解析式是
A．
B．或
C．
D．或
11．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为
A．
B．
C．
D．
12．抛物线的形状、开口方向与相同，顶点在，则关系式为
A．
B．
C．
D．
13．已知一个二次函数，当时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线相同，则这个二次函数的表达式是
A．
B．
C．
D．
14．顶点是，开口方向，形状与抛物线相同的抛物线是
A．
B．
C．
D．
15．已知，是抛物线上两点，该抛物线的解析式是 ．
16．二次函数的图象经过点，且当时，有最大值，则该二次函数解析式为
．
17．如图，平行四边形中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，，则此抛物线的解析式为 ．
18．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点，，对称轴是直线；
（2）图象顶点坐标是，且过点．
19．在平面直角坐标系中，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）对于这个函数，若自变量的值增加5时，对应的函数值增大，求满足条件的的取值范围．
20．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：二次函数的图象经过，，三点
设二次函数的解析式为：，将点代入得
，解得
故函数解析式为：
整理得：
故选：．
2．解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为．
故选：．
3．解：抛物线与轴交于点，且，则点的坐标是或，
当点坐标是时，图象经过三点，可以设函数解析式是：，
把，，分别代入解析式，
得到：，
解得：，
则函数解析式是：；
同理可以求得当是时解析式是：．
故这条抛物线的解析式为：或．
故选：．
4．解：设抛物线的表达式为，
则抛物线表达式为，
将代入上式得，，解得，
故抛物线的表达式为．
故选：．
5．解：当时，；当时，；代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故错误；
若，则，故错误；
若，则，故正确；
若，则，故错误；
故选：．
6．解：设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
故选：．
7．解：因为抛物线与轴的交点坐标为，，
可设交点式为，
把代入，
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故选：．
8．解：点关于直线的对称点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，
即．
故选：．
9．解：由抛物线与轴交于点和，
设此抛物线的解析式为，
又抛物线与轴交于，
把，代入得：，
即，解得：，
则抛物线的解析式为．
故选：．
10．解：设抛物线解析式为，
，
点坐标为或，
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即；
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即．
即抛物线解析式为或．
故选：．
11．解：设抛物线解析式为，
因为所求抛物线与的图象开口大小相同，
而的最大值为，
所以，
所以这条抛物线解析式为．
故选：．
12．解：抛物线的形状、开口方向与相同，所以．
顶点在，所以是．
故选：．
13．解：二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，
故设该二次函数的解析为，
该函数的顶点坐标为：，
又当时，有最大值8，
该二次函数的顶点为，
，，
该二次函数的解析为，
即，
故选：．
14．解：根据题意得：抛物线解析式为，
故选：．
15．解：抛物线过，，则函数的对称轴为：，
故抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的解析式是；
故答案为：．
16．解：设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得，
．
故答案为．
17．解：在平行四边形中，且，点的坐标是，
点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴相交于点，
则，
点，的坐标为，，，
设抛物线的解析式为，
把代入得，，
解得，
，
抛物线的解析式为，
故答案为．
18．解
（1）设函数的解析式为
由题意得，解得，
函数解析式为；
（2）图象的顶点为，且经过点，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
，
抛物线的解析式为：（或．
19．解：（1）当抛物线经过点、时，
将，代入，
得：，解得，
此时抛物线解析式为：，
当抛物线经过点、时，
将，代入，
得：，解得，
此时不符合条件，
当抛物线经过点、时，
将，代入代入，
得：，此时方程无解，
综上所述，抛物线解析式为：．
（2）由题意得：，
解得，
满足条件的的取值范围为：．
20．（1）设该抛物线解析式为，
将点坐标代入解析式得：，解得，
，
故该抛物线的解析式为：，
（2）如图，
设存在点在抛物线上，连接、，过点作轴且与直线交于点，
设直线表达式为：，将，代入其表达式得：
，解得，
直线，
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
，
当时，，即点坐标为，
此时的面积最大，最大值为4．
