《21.2解一元二次方程》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学人教版上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．已知关于x的方程x2+mx+3＝0有两个根x1＝1，x2＝n，则（m+n）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
4．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．0
5．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
6．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
7．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
8．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
二．填空题
9．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为　 　．
10．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
11．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，则x13+2021x2﹣2020＝　 　．
12．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求+的值是　 　．
13．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是　 　．
14．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为 　 　．
15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，求a的取值范围是　 　．
16．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形．
17．若x1，x2是方程x2＝2x+2021两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　 　．
18．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　 　．
三．解答题
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
20．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+25＝9； （2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
2．解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．解：∵关于x的方程x2+mx+3＝0有两个根x1＝1，x2＝n，
∴1+n＝﹣m，即m+n＝﹣1，
则（m+n）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：B．
4．解：∵x2＝16，
∴x1＝4，x2＝﹣4，
则x1+x2＝0，
故选：D．
5．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，
解得k≥且k≠2，
故选：D．
6．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
7．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0,
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
8．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1?x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣
＝x12﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
二．填空题
9．解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
10．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
11．解：∵x1是方程x2﹣x﹣2020＝0的实数根，
∴x12﹣x1﹣2020＝0，
∴x12＝x1+2020，
∴x13＝x1（x1+2020）＝x1+2020+2020x1＝2021x1+2020，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021x1+2020+2021x2﹣2020＝2021（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，
∴x1+x2＝1，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021×1＝2021．
故答案为：2021．
12．解：当m≠n时，
由于m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
∴原式＝＝＝＝﹣6，
当m＝n时，
∴原式＝1+1＝2，
故答案为：2或﹣6．
13．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
14．解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，
当等腰三角形的腰为2，底边为3时，2+2＞3，该等腰三角形的周长为2+2+3＝7；
当等腰三角形的腰为3，底边为2时，3+2＞3，该等腰三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为7或8．
15．解：根据题意得a﹣1≠0且△＝4（a+1）2﹣4（a﹣1）（a+5）≥0，
解得a≤3且a≠1．
故答案为a≤3且a≠1．
16．解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
17．解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，
则原式＝2021x1+2021x2
＝2021（x1+x2）
＝2021×2
＝4042．
故答案为：4042．
18．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
三．解答题
19．解：（1）∵x2﹣6x＝3，
∴x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝．
20．解：（1）x2﹣10x+25＝9，
（x﹣5）2＝9，
∴x﹣5＝±3，
∴x1＝8，x2＝2；
（2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0，
[2（3x﹣1）+3（3x+1）][2（3x﹣1）﹣3（3x+1）]＝0，
∴15x+1＝0或﹣3x﹣5＝0，
则x1＝﹣，x2＝﹣；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
21．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
22．解：（i）∵方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
23．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
24．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．