12.3 角平分线的性质 课堂同步训练2021-2022学年人教版 八年级数学上册（Word版含答案）

人教版 八年级数学上册 12.3 角平分线的性质 课堂同步训练
一、选择题
1. 如图，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(　　)

2. 到三角形三边距离相等的点是(　　)
A．三条中线的交点
B．三条高(或三条高所在直线)的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条内角平分线的交点
3. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是 (　　)
A.3 B.-3 C.2 D.-2
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．7
5. 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是 (　　)
A.20° B.25° C.30° D.40°
6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24 B．30
C．36 D．42
7. 如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；③连接交于点．下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
8. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为 (　　)
A.6.5 B.5.5 C.8 D.13
二、填空题
9. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．

10. 如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．
条件：____________________________________.
结论：PC＝PD.
　　　
11. 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5 cm，则BC＝________cm.
　　　
12. 如图，AB∥CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则∠BPD的度数为________．
　
13. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．
14. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．

三、解答题
15. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．
16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝FD.

17. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，点B，C分别在AM，AN上，且BD＝CD，AD是∠BAC的平分线吗？为什么？
18. 如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，斜边AC＝25，P是角平分线AP，CP的交点，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．
20. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.
(1)求证：OC平分∠MON；
(2)如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．
21. 如图,已知AD∥BC,∠D=90°.
(1)如图①,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,CD经过点P,则P是线段CD的中点吗?为什么?
(2)如图②,若P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数.
人教版 八年级数学上册 12.3 角平分线的性质 课堂同步训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D　
2. 【答案】D
3. 【答案】A　[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵点D的坐标是(0，-3)，
∴OD=3.
∵AD是△OAB的角平分线，
∴ED=OD=3，
即点D到AB的距离是3.
4. 【答案】A
5. 【答案】A　[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.
∵AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.
∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.
∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.
∴∠AHC=20°.
6. 【答案】B　[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4.
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.
7. 【答案】C
【解析】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，
但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．
8. 【答案】A　[解析] 如图,过点D作DH⊥AC于点H.∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,
∴DF=DH.
在Rt△DFE和Rt△DHG中,
∴Rt△DFE≌Rt△DHG.
在Rt△ADF和Rt△ADH中,
∴Rt△ADF≌△ADH.
设△EDF的面积为x.
由题意得,38+x=51-x,解得x=6.5,
∴△EDF的面积为6.5.
二、填空题
9. 【答案】3　【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.

10. 【答案】∠AOP＝∠BOP，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D
11. 【答案】15　[解析] ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5 cm.∴BD＝2CD＝10 cm，则BC＝CD＋BD＝15 cm.
12. 【答案】90°　[解析] ∵点P到AB，BD，CD的距离相等，∴BP，DP分别平分∠ABD，∠BDC.
∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴∠PBD＋∠PDB＝90°.故∠BPD＝90°.
13. 【答案】4∶3　【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则＝＝.

14. 【答案】32°　[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.
∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.
三、解答题
15. 【答案】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF.
∵AB＝20 m，AC＝10 m，
∴S△ABC＝×20×10＝×20·DE＋×10·DF，解得DE＝(m)．
∴△ACD的面积＝×10×＝(m2)，
△ABD的面积＝×20×＝(m2)．
故一串红的种植面积为 m2，鸡冠花的种植面积为 m2.
16. 【答案】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB(SAS)．∴BD＝FD.
17. 【答案】
解：AD是∠BAC的平分线．
理由：∵DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在Rt△DBE与Rt△DCF中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AM，DF⊥AN，
∴AD是∠BAC的平分线．
18. 【答案】
解：(答案不唯一)如图，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点P，连接PA，则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比为2∶3∶4.
理由如下：
如图，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴PE＝PF＝PH.
∵S△PAB＝AB·PE＝10PE，S△PAC＝AC·PF＝15PF，S△PBC＝BC·PH＝20PH，
∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.
19. 【答案】
解：连接BP.
∵P是角平分线AP，CP的交点，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，
∴PE＝PD＝PF.
设PE＝PD＝PF＝x.
∵S△ABC＝AB·BC＝84，
S△ABC＝AB·x＋AC·x＋BC·x＝(AB＋AC＋BC)·x＝×56x＝28x，
∴28x＝84，解得x＝3.故PD的长为3.
20. 【答案】
解：(1)证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDA＝∠CEB＝90°.
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)．
∴CD＝CE.
又∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON.
(2)在Rt△ODC与Rt△OEC中，
∴Rt△ODC≌Rt△OEC.
∴OD＝OE.
设BE＝x.
∵BO＝4，∴OE＝OD＝4＋x.
∵AD＝BE＝x，
∴AO＝OD＋AD＝4＋2x＝10.
∴x＝3.∴OD＝4＋3＝7.
21. 【答案】
解:(1)P是线段CD的中点.
理由如下:过点P作PE⊥AB于点E.
∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,∴PD=PE,PC=PE.∴PC=PD,即P是线段CD的中点.
(2)过点P作PE⊥AB于点E.
∵AD∥BC,∠D=90°,
∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.
∵BP平分∠ABC,
∴∠PBE=∠PBC.
在△PBE与△PBC中,
∴△PBE≌△PBC(AAS).
∴∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC.
∵PC=PD,∴PD=PE.
在Rt△PAD与Rt△PAE中,
∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL).
∴∠APD=∠APE.
∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°,
∴∠APD=55°.
∴∠PAD=90°-∠APD=35°.