2021-2022学年人教版数学八年级上册 13.3.2 等边三角形 同步练习 （word版含解析）

13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CDfalse，则BD的长是（　　）

A．2 B．2false C．3 D．3false
2．如图，false为等边三角形，false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列说法错误的是（　　）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
4．如图，点false是线段false上任意一点（点false与点false，false不重合），分别以false、false为边在直线false的同侧作等边三角形false和等边三角形false，false与false相交于点false、false与false相交于点false，false与false相交于点false，连false，则下列结论：①false；②false；③false平分false；④false．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，过边长为3的等边false的边false上一点false，作false于false，false为false延长线上一点，当false时，连接false交边false于点false，则false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．2
6．下列所叙述的三角形一定全等的是（ ）
A．边长相等的两个正三角形
B．腰相等的两个等腰三角形
C．含有30°角的两个直角三角形
D．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形
7．如图，在false中，false，点false是false的中点，false交false于false；点false在false上，false，false，false，则false的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．如图，false为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，△ABC是等边三角形，AD=AE，BD=CE，则∠ACE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．如图，在边长为9的等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E、F分别是边AB、AC上的两个点，且AE=CF=4cm，在CD上有一动点P，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．8
11．如图，false是等边三角形，D是线段false上一点（不与点false重合），连接false，点false分别在线段false的延长线上，且false，点D从B运动到C的过程中，false周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
12．如图，等边false的顶点false，false，规定把等边false“先沿false轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，false顶点C的坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．如图，false是等边三角形，false是false上的高，false，图中与false（false除外）相等的线段共有（ ）条
A．false B．false C．false D．false
14．以下说法正确的是（ ）
A．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B．若a b 3，ab 2，则a b 1
C．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线
15．如图，false和false都是等边三角形，且false，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC= false，边AB的垂直平分线分别交AB和BC与点E，D，且AD平分∠BAC则DE的长度为____．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD＝60°，则AD＝___．
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
19．如图是一个正方形和两个等边三角形，若∠3=80°，则∠1+∠2=____________
20．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG＝_____°．
三、解答题
21．如图，false和false是等边三角形，连接false、false．求证：false≌false．
22．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过点C作false，且AE⊥CE．解答下列问题：
（1）∠CAE=∠ABD成立吗？请说明理由；
（2）还有哪些结论？（写出一个即可）
23．如图，在等边false中，高线false和高线false相交于点false．
（1）求证：false；
（2）连接false，判断false的形状，并说明理由．
24．如图，false和false都是等边三角形，false和false交于点false，false绕点false旋转．
（1）如图1所示，求证：false；
（2）如图2所示，求证：false平分false．
参考答案
1．B
解：∵false，false
∴false
∵false的平分线AD交BC于点D
∴false
∴false
∴false
∵false
∴false
故选：B
2．C
解：false为等边三角形，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
解得false，
故选：C．
3．B
解：A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．
故选B．
4．A
解：false为等边三角形，
false
false 即false
false
false 故①符合题意；
false false
false
false
false
false
false 故②符合题意；
如图，过false作false交false于false 过false作false交false于false
false falsefalse为对应边，
false
false平分false 故③符合题意；
如图，在false上截取false 连接false
false
false为等边三角形，
false
false
false
false
false
false
false 故④符合题意；
综上：①②③④都符合题意，
故选：false
5．C
解：过false作false交false于false，
false，false是等边三角形，
false，false，false，false，
false是等边三角形，
false，
false，
false，
false，false，
false，
在false和false中
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
故选：C．
6．A
解：A、边长相等的两个正三角形，利用SSS可得一定全等，选项符合题意；
B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
C、含有30°角的两个直角三角形，因为没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；
故选A．
7．C
解：连接OC，过点O作false于F，如图，
∵false，false，
∴false，
在Rt△CDE中，false，
∴false，false，
∵D为AC的中点，false，
∴false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
在Rt△OEF中，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false；
故答案选C．
8．B
解：∵△ABC为等边三角形，BO为中线，
∴∠BOA＝90°，∠BAC＝60°
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AD＝AO，
∴∠ADO=∠AOD=30°，
∴∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+30°＝120°，
故选：B．
9．C
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=60°，
在△ABD和△ACE中，false，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
故选：C．
10．C
解：作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：
∴PG=PE，
此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，
∵△ABC是边长为9等边三角形，且CD⊥AB，AE=CF=4，
∴AD=BD=falseAB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60false，
∴ED=GD= AD- AE=4.5-4=0.5，
∴AG=AE+ED+GD=5= AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴FG= AF=5，
∴PF+PE的最小值是5，
故选：C．
11．D
解：false是等边三角形，
false，
false，
false，
false，
又false，
false，
false，
false，
false，
在false和false中，false，
false，
false，
则false周长为false，
false在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，
false在点D从B运动到C的过程中，false周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
12．D
解：∵△ABC是等边三角形AB=3-1=2
∴点C到x轴的距离为1+false，横坐标为2
∴C(2，false)
由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1，false)，即(1，false)，
第2次变换后点C的坐标变为(2-2，false)，即(0，false)
第3次变换后点C的坐标变为(2-3，false)，即(-1，false)
第n次变换后点C的坐标变为(2-n，false)(n为奇数)或(2-n，false)(n为偶数)，
∴连续经过2021次变换后，等边false的顶点false的坐标为(-2019，false)，
故选：D．
13．D
解：∵等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AD⊥BC，
∴ BD= DC
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠DAC=30°
∴∠EDA=∠DAE=30°
∴ED=EA，
又DE//AC
∴∠EDB =∠C=60°，
∴∠EDB =∠B
∴△EDB为等边三角形，DE= DB=BE，
∴DE= DB=BE=EA=DC，
所以图中与 BD （ BD 除外）相等的线段共有4条，
故选择D.
14．D
解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；
B、错误，例如a 1，b=2，满足a b 3 ， ab 2，但不满足a b 1；
C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D．
15．B
解：如图：
∵false和false都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
即false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false；
故选：B．
16．1
解：false直线false是线段false的垂直平分线，
false，false，false，
false平分false，
false
false，
在false中，false，false，
falsefalse，
falsefalse，
在false中，false，设false，
false，
falsefalse，
解得false，
false，
故答案为1．
17．6
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵∠ACD＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵△ABC的周长是19，
∴AB+BC+AC＝19，
∵△BCD的周长为13，
∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，
∴AC＝19﹣13＝6，
∴AD＝AC＝6，
故答案为：6．
18．45°
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，
false
∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；
∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，
设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，
∴∠MNE=∠BEN=7x，
∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，
∴∠BMN=∠BNM =14x，
在△BMN中，14x+14x+8x=180°，
∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，
∴∠AEN=105°-60°=45°；
故答案为：45°
19．70°
解：如图所示，根据△ABC的外角和定理可得：
false，
由题意，false，
∴false，
故答案为：70°．
20．30°
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，
∵AD＝BE，
∴BD＝CE，
∵在△ACE和△CBD中
∵false，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF＝90°，
∴∠FAG＝90°?60°＝30°．
故答案为30°．
21．见解析．
证明：∵false和false是等边三角形
∴false
∴false
∴false
又∵false，false，
false在false和false中
false
∴false≌falsefalse
22．（1）成立，理由见解析；（2）AE= BD．
解：（1）成立，理由为：
∵三角形ABC是等边三角形， AD=CD，
∴AB=BC=AC，BD⊥AC 即∠AEC=∠BDA=90°，
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAD．
在△ABD和△AEC中，
false，
∴△ABD≌△AEC(AAS)，
∴∠CAE=∠ABD；
（2）AE= BD，
由（1）得：△ABD≌△AEC，
∴AE= BD．
23．（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析
解：（1）证明：false是等边三角形，
false．
false和false是等边false的高线，
即false和false是等边false的中线，
false，false，
false．
在false与false中，false，
false．
（2）false是等腰三角形．
理由：false是等边三角形，
false．
false，
false是等边三角形，
false．
false是等边false的中线，
false，
false，
false是等腰三角形．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析
证明：（1）∵false和false都是等边三角形
∴false，false，false
∴false，即false
在false和false中，
false
∴false．
（2）过点false作false交false于点false，过点false作false交false于点false，
由（1）可得：false，
∴false，
∴false
∴false平分false．