中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版九年级上册数学2.3
用公式法求解一元二次方程教学设计
课题
2.3
用公式法求解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用公式法解一元二次方程；3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；4、用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
重点
用公式法解一元二次方程.
难点
一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师课件出示问题。用配方法解下面的一元二次方程：2x2-4x-1=0学生完成后课件出示过程，学生订正。提问：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是什么？教师课件出示步骤：1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)2、把常数项移到方程的右边;3、把方程的左边配成一个完全平方式;4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；5、解一元一次方程，求出方程的两个解。
学生用配方法解一元二次方程。学生思考上节课的学习内容，回答问题。
通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习思维和学习积极性,为后面的探索奠定了良好的基础。
讲授新课
师：我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a+0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.你能用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)吗？解方程：ax2+bx+c=0（a≠0)方程的两边同除以____，得配方，方程的两边同加上_______，得因为a≠0，所以4a2>0当b2-4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得即，这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2-4ac≥0，方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。例
解方程（1）x2-7x-18=0
（2）4x2+1=4x
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；（2）确定a，b，c的值；
(注意a，b，c的确定应包括各自的符号)（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根.解方程
x2-2x+3=0
配方法：x2-2x+3=0
x2-2x=-3
x2-2x+1=-3+1（x-1）2=-2∵不论x为何值，（x-1）2都不能为负数，∴此方程无解。公式法：解：已知a=1，b=-2，c=3.∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3
=-8<0你能发现什么？对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2
-
4ac
>
0时，方程有两个不相等的实数根.当b2
-
4ac
=
0时，方程有两个相等的实数根.当b2
-
4ac
<
0时，方程无实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac
来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母”Δ“来表示.问题：在一块长16
m、宽12
m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗？1.小明的设计方案如图，其中花园四周小路的宽度都相等.你知道他是怎么做的吗？解：设小路的宽为
xm，由题意得：整理得：x2
-14x+24
=
0解方程得
x1=2
,
x2=12.你认为小明的结果对吗？为什么？将x
=12
不符合题意。2.小亮的设计方案如图，其中花园每个角上的扇形都相同.你能帮小亮求出图中的x吗？4个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x
m，根据题意，得解得x1=,
x2=（舍去）
所以图中的x约为5.5.
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.学生利用公式法解方程。学生根据上面的例题，小组讨论用公式法解一元二次方程的一般步骤。学生利用配方法和公式法分别解方程，通过分析对比发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和b2-4ac的关系。学生利用所学知识解决实际问题。
由学生亲身经历公式的推导过程,只有学生经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识,在集体交流的时候,才能有感而发。发挥学生的主体作用,引导学生探究利用公式法解一元二次方程的一般方法,进一步理解求根公式。并引导学生总结步骤。在学生归纳的基础上,老师完善过程。学生独立利用公式法解上述方程,然后观察方程的解的情况,观察解题过程,总结一元二次方程根的规律和b2-4ac的关系,经过讨论得出结论。为了充分利用学生这一重要的教学资源,体现主体性。培养学生利用数学知识解决实际问题的能力,促使学生养成主动提炼现实生活中的数学问题的习惯。
课堂练习
1.下列方程，最适合用公式法求解的是( C )A．(x－1)2＝4
B．2x2＝8C．x2－x－1＝0
D．2(x＋1)2－20＝02.方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝_2___，b＝__-7__，c＝__-4__，b2－4ac＝__81__．3.在方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为( C )A．1
B．－1
C．17
D．－174.定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为( A )A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根C．无实数根
D．只有一个实数根5.不解方程，判断下列方程根的情况：(1)16y2＋9＝24y；
(2)5(x2＋1)－7x＝0解：(1)方程化为16y2－24y＋9＝0，Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，∴此方程有两个相等的实数根．(2)方程化为5x2－7x＋5＝0，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0，∴此方程无实数根．6.【2020·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2，x2＝－2－2B．x1＝2＋2，x2＝2－2C．x1＝2＋2，x2＝2－2D．x1＝2，x2＝－27.【2020·沈阳】一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( B )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
学生利用所学知识做练习。
通过让学生计算和上黑板解方程,即时反映学生的学习情况,查缺补漏,了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
课堂小结
本节课你学到了什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤:（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；（2）确定a，b，c的值；
(注意a，b，c的确定应包括各自的符号)（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根.
学生在教师的引导下总结归纳。
通过回顾本节课的学习,感受到公式推导的全过程,发展学生逻辑思维能力,提高推理技能通过解方程,进一步提高了学生的运算能力。
板书
课题：2.3
用公式法求解一元二次方程一、公式法二、判别式三、利用一元二次方程解决面积问题
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
2.3
用公式法求解一元二次方程
北师版
九年级上册
新知导入
用配方法解下面的一元二次方程：2x2-4x-1=0
解：两边同时除以2，得
配方，得
移项，得
即
所以x1=
,
x2=
利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是什么？
新知导入
4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)；
5、解一元一次方程，求出方程的两个解。
配方法解一元二次方程的基本步骤：
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a+0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)吗？
新知讲解
新知讲解
解方程：ax2+bx+c=0（a≠0)
方程的两边同除以____，得
配方，方程的两边同加上_______，得
a
新知讲解
解方程：ax2+bx+c=0（a≠0)
因为a≠0，所以4a2>0
当b2-4ac≥0时，
是一个非负数，此时两边开平方，得
即
新知讲解
解方程：ax2+bx+c=0（a≠0)
当b2-4ac≥0，方程的两个根为
这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
新知讲解
例
解方程
（1）x2-7x-18=0
（2）4x2+1=4x
解：已知a=1，b=-7，c=-18.
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
=121>0
即x1=9，x2=-2
解：将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0.
这里a=4，b=-4，c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0
即x1=x2=
合作探究
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；
（2）确定a，b，c的值；
(注意a，b，c的确定应包括各自的符号)
（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根.
新知讲解
解方程
x2-2x+3=0
x2-2x+3=0
x2-2x=-3
x2-2x+1=-3+1
（x-1）2=-2
∵不论x为何值，（x-1）2都不能为负数，∴此方程无解。
配方法：
公式法：
解：已知a=1，b=-2，c=3.
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3
=-8<0
你能发现什么？
合作探究
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2
-
4ac
>
0时，方程有两个不相等的实数根.
当b2
-
4ac
=
0时，方程有两个相等的实数根.
当b2
-
4ac
<
0时，方程无实数根.
新知讲解
由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac
来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母”Δ“来表示.
新知讲解
问题：在一块长16
m、宽12
m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗？
1.小明的设计方案如图，其中花园四周小路的宽度都相等.
你知道他是怎么做的吗？
新知讲解
解：设小路的宽为
xm，由题意得：
问题：在一块长16
m、宽12
m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗？
整理得：x2
-14x+24
=
0
解方程得
x1=2
,
x2=12.
你认为小明的结果对吗？为什么？
x
=12
不符合题意。
新知讲解
2.小亮的设计方案如图，其中花园每个角上的扇形都相同.
你能帮小亮求出图中的x吗？
4个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x
m，根据题意，得
解得x1=
,
x2=
（舍去）
所以图中的x约为5.5.
课堂练习
1.下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A．(x－1)2＝4
B．2x2＝8
C．x2－x－1＝0
D．2(x＋1)2－20＝0
C
课堂练习
2.方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，
a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝____．
2
－7
－4
81
3.在方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为( )
A．1
B．－1
C．17
D．－17
C
课堂练习
4.定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
A
拓展提高
5.不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)16y2＋9＝24y；
(2)5(x2＋1)－7x＝0
解：方程化为16y2－24y＋9＝0，
Δ＝b2－4ac
＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根．
解：方程化为5x2－7x＋5＝0，
Δ＝b2－4ac
＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0，
∴此方程无实数根．
中考链接
B
中考链接
7.【2020·沈阳】一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；
（2）确定a，b，c的值；
(注意a，b，c的确定应包括各自的符号)
（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根.
板书设计
课题：2.3
用公式法求解一元二次方程
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、公式法
二、判别式
三、利用一元二次方程解决面积问题
作业布置
课本
P44
练习题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
