江苏省南京市2022届高三上学期零模考前复习卷（8月）数学试题 PDF版含答案
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市2022届高三上学期零模考前复习卷（8月）数学试题 PDF版含答案 |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 574.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-04 15:51:20 | ||
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文档简介
南京市 2022 届高三年级零模考前复习卷
数学 2021.08
第 Ⅰ 卷（ 选择题 共 60 分）
一、单项选择题 （ 本大题 共 8小 题，每题 5分，共 40分 ）
1．已知复数 ，设复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B． 1 C． D．
2．已知 ， 为非零实数，则 “ ”是 “ ”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 既不充分也不必要条件 D． 充要条件
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． 1 C． 2 D． 3
4．棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 的中点，
则过 三点的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若 为锐角， ＝ ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．将正整数 12分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 是这三种分
解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 12的最佳分解．当 是正整
数 n的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 ，则
（ ）
A． B． C． D．
高三 数学 试卷第 1页（共 6页）
7．过点 M（ p， 0）作倾斜角为 150°的直线与抛物线 交于两点 A， B，
若 ，则 的值为（ ）
A． 4 B． C． D．
8．已知 ，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二 、 多 项选择题 （ 本大题 共 4小 题，每题 5分，共 20分 .每题 全选对 的 得 5分， 部分 选 对
的 得 2分 ， 有选错的 得 0分 ）
9．已知函数 图象的一条对称轴为 ，
，且 在 内单调递减，则以下说法正确的是（ ）
A． 是其中一个对称中心 B．
C． 在 单増 D．
10．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，将 分别
绕边 ， ， 所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为 ， ， ，侧面积
分别记为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设集合 S， T， S N*， T N*， S， T中至少有两个元素，且 S， T满足：
① 对于任意 x， y S，若 x≠y，都有 xy T
② 对于任意 x， y T，若 x下列 情况 中 可能出现的 有 （ ）
A． S有 4个元素， S∪ T有 7个元素 B． S有 4个元素， S∪ T有 6个元素
C． S有 3个元素， S∪ T有 5个元素 D． S有 3个元素， S∪ T有 4个元素
高三 数学 试卷第 2页（共 6页）
12．甲 ?乙两人进行围棋比赛，共比赛 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概
率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛 .记甲赢得比赛的概率为
，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
第 Ⅱ 卷（ 非 选择题 共 90 分）
三 、 填空 题 （ 本大题 共 4小 题，每题 5分，共 20分 ）
13．已知 ， ，则 __________．
14．根据下面的数据：
1 2 3 4
32 48 72 88
求得 关于 的回归直线方程为 ，则这组数据相对于所求的回归直线方程
的 4个残差的方差为 ___________.（ 注：残差是指实际观察值与估计值之间的差 ）
15．斜率为 的直线 与椭圆 （ ）相交于 ， 两点，线段
的中点坐标为 ，则椭圆 的离心率等于 ______.
16． “韩信点兵 ”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如 “物不知数 ”“鬼谷算 ”“隔墙
算 ”“大衍求一术 ”等，其中《孙子算经》中 “物不知数 ”问题的解法直至 1852年传由传教士
传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为 “中
国剩余定理 ”．原文如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩
二，问物几何？ ”这是一个已知某数被 3除余 2，被 5除余 3，被 7除余 2，求此数的问
题．满足条件的数中最小的正整数是 ______； 1至 2021这 2021个数中满足条件的数的个
数是 ______．
四 、 解答 题 （ 本大题 共 6小 题， 共 70分 ）
17． （ 本题 满分 10分）
内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， .
（ 1）证明： ；
高三 数学 试卷第 3页（共 6页）
（ 2）若 ，求 的周长 .
18． （ 本题 满分 12分）
设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .
（ 1）求 和 ；
（ 2）是否存在等差数列 ，使得 对 成立？并证
明你的结论 .
19． （ 本题 满分 12分）
为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发
展，教育部于 2021年 1月 15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学
生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究 “中学生使用智能手机
对学习的影响 ”，现对我校 80名学生调查得到统计数据如下表，记 为事件： “学习成绩优
秀且不使用手机 ”； 为事件： “学习成绩不优秀且不使用手机 ”，且已知事件 的频率是事
件 的频率的 2倍．
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（ 1）运用独立性检验思想，判断是否有 的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影
高三 数学 试卷第 4页（共 6页）
响？
（ 2）采用分层抽样的方法从这 80名学生中抽出 6名学生，并安排其中 3人做书面发言，
记做书面发言的成绩优秀的学生数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考数据： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20． （ 本题 满分 12分）
如图，四棱柱 中，面 面 ，面 面 ，
点 、 、 分别是棱 、 、 的中点．
（ 1）证明： 面 ．
（ 2）若四边形 是边长为 的正方形，且 ，面 面 直线
，求直线 与 所成角的余弦值．
高三 数学 试卷第 5页（共 6页）
21． （ 本题 满分 12分）
已知双曲线 过点 ，且该双曲线的虚轴端点与两顶点
的张角为 ．
（ 1）求双曲线 的方程；
（ 2）过点 的直线 与双曲线 左支相交于点 ，直线 与 轴相交于
两点，求 的取值范围．
22． （ 本题 满分 12分）
已知函数 在 处的切线方程为 ，
（ 1）求 a的值；
（ 2）若方程 有两个不同实根 、 ，证明：
高三 数学 试卷第 6页（共 6页）
南京市 2022 届高三年级零模考前复习卷 答案
数学 2021.08
一、 单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C C B A A B
二 、 多项 选择 题
9 10 11 12
AD ABC ACD BC
三 、 填空 题
13. 4 14. 3.2 15. 16. 23 , 20
四 、 解答 题
17.（ 1）由 ，可得 ，
所以 ，所以 为锐角， ，
所以 ，
由正弦定理可得 .
（ 2）由（ 1）知 ，
所以
，
设 ， ， ，则 ，解得 ，
所以 的周长为 .
18.解：（ 1）设数列 的公差为 ，则 ，
高三 数学 试卷第 7页（共 6页）
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（ 2）设 ，由 可得 ，
由 ，可得 ，
故存在等差数列 满足条件，其中 ， ，
下面用数学归纳法证明：当 时， 对 成立，
① 当 时，由上面过程可知，等式成立，
② 假设 时等式成立，即 ，
则当 时，
，
，
即当 时等式成立，
高三 数学 试卷第 8页（共 6页）
由 ①② 可知 ，（其中 ）对 成立 .
19. （ 1）由己知得 解得
补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为 ，
所以有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响．
（ 2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生 3名，成绩不优秀的学生 3名．
从而 的所有可能取值为 ，
且
所以 的分布列为
的数学期望为 ．
20. （ 1）如图所示，在底面 中，过点 C分别作 ，
因为平面 平面面 ， ，且 平面 ，
高三 数学 试卷第 9页（共 6页）
由面面垂直的性质定理，可得 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
同理可证： ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（ 2）因为四边形 是边长为 的正方形，且 ，
可得四棱柱 为棱长为 2的正方体，
延长 交 于点 ，连接 ，即为平面 平面 ，
则直线 与 所成角即为直线 与 所成的角，
取 的中点 ，连接 ，可得 ，
则异面直线 与 所成的角即为 与 所成的角，设为 ，其中 ，
在直角 中，可得 ，
在 中，可得 ，
即直线 与 所成角的余弦值为
高三 数学 试卷第 10页（共 6页）
21. （ 1）由已知
（ 2）设直线方程为 ，
直线 的方程为 ，可得
直线 的方程为 ，可得
联立 ，消去 ，整理得 ．
可得
高三 数学 试卷第 11页（共 6页）
又 ，所以 的范围是 .
22. （ 1） ， ， ；
（ 2）由（ 1）得 ，又 ， ，且
在 上单调递增
所以 有唯一实根 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，故两
根分别在 与 内，无妨设 ，
设 ， ，则 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
有最小值 ，即 恒成立， ，
， 又因为函数 在 处的切线方程为 ，所以 恒成
立， ，
，于是 .
高三 数学 试卷第 12页（共 6页）
数学 2021.08
第 Ⅰ 卷（ 选择题 共 60 分）
一、单项选择题 （ 本大题 共 8小 题，每题 5分，共 40分 ）
1．已知复数 ，设复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B． 1 C． D．
2．已知 ， 为非零实数，则 “ ”是 “ ”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 既不充分也不必要条件 D． 充要条件
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． 1 C． 2 D． 3
4．棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 的中点，
则过 三点的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若 为锐角， ＝ ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．将正整数 12分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 是这三种分
解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 12的最佳分解．当 是正整
数 n的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 ，则
（ ）
A． B． C． D．
高三 数学 试卷第 1页（共 6页）
7．过点 M（ p， 0）作倾斜角为 150°的直线与抛物线 交于两点 A， B，
若 ，则 的值为（ ）
A． 4 B． C． D．
8．已知 ，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二 、 多 项选择题 （ 本大题 共 4小 题，每题 5分，共 20分 .每题 全选对 的 得 5分， 部分 选 对
的 得 2分 ， 有选错的 得 0分 ）
9．已知函数 图象的一条对称轴为 ，
，且 在 内单调递减，则以下说法正确的是（ ）
A． 是其中一个对称中心 B．
C． 在 单増 D．
10．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，将 分别
绕边 ， ， 所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为 ， ， ，侧面积
分别记为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设集合 S， T， S N*， T N*， S， T中至少有两个元素，且 S， T满足：
① 对于任意 x， y S，若 x≠y，都有 xy T
② 对于任意 x， y T，若 x
A． S有 4个元素， S∪ T有 7个元素 B． S有 4个元素， S∪ T有 6个元素
C． S有 3个元素， S∪ T有 5个元素 D． S有 3个元素， S∪ T有 4个元素
高三 数学 试卷第 2页（共 6页）
12．甲 ?乙两人进行围棋比赛，共比赛 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概
率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛 .记甲赢得比赛的概率为
，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
第 Ⅱ 卷（ 非 选择题 共 90 分）
三 、 填空 题 （ 本大题 共 4小 题，每题 5分，共 20分 ）
13．已知 ， ，则 __________．
14．根据下面的数据：
1 2 3 4
32 48 72 88
求得 关于 的回归直线方程为 ，则这组数据相对于所求的回归直线方程
的 4个残差的方差为 ___________.（ 注：残差是指实际观察值与估计值之间的差 ）
15．斜率为 的直线 与椭圆 （ ）相交于 ， 两点，线段
的中点坐标为 ，则椭圆 的离心率等于 ______.
16． “韩信点兵 ”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如 “物不知数 ”“鬼谷算 ”“隔墙
算 ”“大衍求一术 ”等，其中《孙子算经》中 “物不知数 ”问题的解法直至 1852年传由传教士
传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为 “中
国剩余定理 ”．原文如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩
二，问物几何？ ”这是一个已知某数被 3除余 2，被 5除余 3，被 7除余 2，求此数的问
题．满足条件的数中最小的正整数是 ______； 1至 2021这 2021个数中满足条件的数的个
数是 ______．
四 、 解答 题 （ 本大题 共 6小 题， 共 70分 ）
17． （ 本题 满分 10分）
内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， .
（ 1）证明： ；
高三 数学 试卷第 3页（共 6页）
（ 2）若 ，求 的周长 .
18． （ 本题 满分 12分）
设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .
（ 1）求 和 ；
（ 2）是否存在等差数列 ，使得 对 成立？并证
明你的结论 .
19． （ 本题 满分 12分）
为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发
展，教育部于 2021年 1月 15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学
生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究 “中学生使用智能手机
对学习的影响 ”，现对我校 80名学生调查得到统计数据如下表，记 为事件： “学习成绩优
秀且不使用手机 ”； 为事件： “学习成绩不优秀且不使用手机 ”，且已知事件 的频率是事
件 的频率的 2倍．
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（ 1）运用独立性检验思想，判断是否有 的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影
高三 数学 试卷第 4页（共 6页）
响？
（ 2）采用分层抽样的方法从这 80名学生中抽出 6名学生，并安排其中 3人做书面发言，
记做书面发言的成绩优秀的学生数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考数据： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20． （ 本题 满分 12分）
如图，四棱柱 中，面 面 ，面 面 ，
点 、 、 分别是棱 、 、 的中点．
（ 1）证明： 面 ．
（ 2）若四边形 是边长为 的正方形，且 ，面 面 直线
，求直线 与 所成角的余弦值．
高三 数学 试卷第 5页（共 6页）
21． （ 本题 满分 12分）
已知双曲线 过点 ，且该双曲线的虚轴端点与两顶点
的张角为 ．
（ 1）求双曲线 的方程；
（ 2）过点 的直线 与双曲线 左支相交于点 ，直线 与 轴相交于
两点，求 的取值范围．
22． （ 本题 满分 12分）
已知函数 在 处的切线方程为 ，
（ 1）求 a的值；
（ 2）若方程 有两个不同实根 、 ，证明：
高三 数学 试卷第 6页（共 6页）
南京市 2022 届高三年级零模考前复习卷 答案
数学 2021.08
一、 单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C C B A A B
二 、 多项 选择 题
9 10 11 12
AD ABC ACD BC
三 、 填空 题
13. 4 14. 3.2 15. 16. 23 , 20
四 、 解答 题
17.（ 1）由 ，可得 ，
所以 ，所以 为锐角， ，
所以 ，
由正弦定理可得 .
（ 2）由（ 1）知 ，
所以
，
设 ， ， ，则 ，解得 ，
所以 的周长为 .
18.解：（ 1）设数列 的公差为 ，则 ，
高三 数学 试卷第 7页（共 6页）
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（ 2）设 ，由 可得 ，
由 ，可得 ，
故存在等差数列 满足条件，其中 ， ，
下面用数学归纳法证明：当 时， 对 成立，
① 当 时，由上面过程可知，等式成立，
② 假设 时等式成立，即 ，
则当 时，
，
，
即当 时等式成立，
高三 数学 试卷第 8页（共 6页）
由 ①② 可知 ，（其中 ）对 成立 .
19. （ 1）由己知得 解得
补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为 ，
所以有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响．
（ 2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生 3名，成绩不优秀的学生 3名．
从而 的所有可能取值为 ，
且
所以 的分布列为
的数学期望为 ．
20. （ 1）如图所示，在底面 中，过点 C分别作 ，
因为平面 平面面 ， ，且 平面 ，
高三 数学 试卷第 9页（共 6页）
由面面垂直的性质定理，可得 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
同理可证： ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（ 2）因为四边形 是边长为 的正方形，且 ，
可得四棱柱 为棱长为 2的正方体，
延长 交 于点 ，连接 ，即为平面 平面 ，
则直线 与 所成角即为直线 与 所成的角，
取 的中点 ，连接 ，可得 ，
则异面直线 与 所成的角即为 与 所成的角，设为 ，其中 ，
在直角 中，可得 ，
在 中，可得 ，
即直线 与 所成角的余弦值为
高三 数学 试卷第 10页（共 6页）
21. （ 1）由已知
（ 2）设直线方程为 ，
直线 的方程为 ，可得
直线 的方程为 ，可得
联立 ，消去 ，整理得 ．
可得
高三 数学 试卷第 11页（共 6页）
又 ，所以 的范围是 .
22. （ 1） ， ， ；
（ 2）由（ 1）得 ，又 ， ，且
在 上单调递增
所以 有唯一实根 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，故两
根分别在 与 内，无妨设 ，
设 ， ，则 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
有最小值 ，即 恒成立， ，
， 又因为函数 在 处的切线方程为 ，所以 恒成
立， ，
，于是 .
高三 数学 试卷第 12页（共 6页）
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